数学文化的教育功能

第二节　数学文化的教育功能

数学文化的内容是广泛的、博大的、精深的，数学文化所蕴涵的教育意义是丰富而巨大的。数学作为一种工具，对各个不同学科领域的专业人士的吸引力是有目共睹的，但是数学不仅仅是工具，它也以自己独特的思维方式、独特的表现形式，与其他科学如文学、艺术等一样，具有重要的文化价值，对人的发展起着举足轻重的作用。可以这样说：数学深刻地影响着人类的精神生活，大大促进了人的思想解放，提高与丰富了人类的整体精神文明水平，它使人成为更完全、更丰富、更有力量的人。从以下几个方面可明显看出数学文化的教育功能。

一、帮助学生树立正确的世界观

丘成桐先生在一次接受《东方时空》采访时说道：“我把《史记》当做歌剧来欣赏”，“由于我重视历史，而历史是宏观的，所以我在看数学问题时常常采取宏观的观点，和别人的看法不一样。”几乎每位数学家都不只是停留在数学上，他们会通过数学来看世界，当然，他们对世界的看法也推动和影响了他们的数学工作。

从逻辑上说，数学是最讲究普遍联系的。数学的最大特点之一就是抽象性，虽然别的学科也有一定的抽象性，但远不如数学的抽象。这就使得数学广泛存在于众多事物中。辩证唯物主义讲联系、讲统一，更讲求以发展变化的观点看待事物。数学在有了变数、特别是有了微积分之后，更多地需要辩证逻辑的思考。微积分强有力地表现变化；同时几乎任何变动的过程都需要微积分来表现或刻画；微积分更深刻地反映了世界，而且学习微积分也帮助我们更深入地认识世界。庞加莱就曾说过：“没有数学这门语言，事物间大多数密切的类似的关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这种和谐正是唯一真正的客观现实。”其实数学家们的观点，如果从哲学的层次来理解，就是说任何事物都是量和质的统一体，都有自身的量的方面的规律，不掌握量的规律，就不可能对各种事物的质获得明确清晰的认识，而数学正是一门研究“量”的科学，正是由于它不断总结和积累各种量的规律性，因而成为人们认识世界的有力工具，从而也为人们树立正确的世界观产生了积极的影响。

二、有利于思维发展

培根曾说：哲理使人深刻，读诗使人聪慧，演算使人精密。其实数学不仅使人精密，数学也能使人深刻，使人聪慧。因为数学是一种思维工具，数学思维有着逻辑严谨性、高度抽象性和概括性、丰富的直觉与想象等特征，这些特征使得数学思维在寻求事物本质属性、探索事物间联系、把握物质结构和对事物发展趋势作出预测等方面显示出惊人的优势。如被称为“思维体操”的欧氏几何，曾对许多伟大科学家的早期思维方式的形成产生过巨大的影响。爱因斯坦对科学的热爱就始于少年时代接触到欧氏几何之后，他对几何学中用很少的公理通过演绎推理得到大量的定理惊叹不已，使他坚信世界是以一种整体的简单性而存在的，他说：“一切科学的伟大目标，即要从尽可能少的假说或者公理出发，通过逻辑的演绎，概括尽可能多的经验事实。”这导致了他毕生的物理学信念与执著的追求。可见，数学文化在人的思维发展中所起的作用至关重要。

（一）有利于思维逻辑性的培养

数学赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性，它使认识从感性阶段发展到理性阶段，而且使理性认识进一步深化。在数学中，每一个公式、定理都要严格地遵守形式逻辑法则，以保证从前提到结论的推导过程中的每一个步骤都准确无误。所以运用数学方法从已知的关系推求未知的关系时，所得结论就是有逻辑上的确定性和可靠性。数学的逻辑性还表现在它的公理化方法，它可以使理性认识的初级水平发展到更高级水平，可以使一个理论系统发展到抽象化程度更高的公理化系统。通过数学公理化方法，以最基本的概念、命题作为逻辑的出发点，运用演绎理论论证各种派生的命题（如牛顿所建立的力学系统就可看成自然科学中成功应用公理化方法的典型例子）。那么，经过长期地、系统地、有效地数学训练必然会非常有利于学生逻辑思维能力的发展。一个人的逻辑思维能力很大程度上是靠数学训练培养出来的，一个训练有素的人，在说话、做事、思考时都会很有逻辑顺序，不少哲学家在哲学探索中需要很强的逻辑分析能力，一个企业家也需要逻辑头脑。企业的工作千头万绪，要作出正确的决策，就要进行周密思考、合理布局。这种有条不紊地进行工作的思维习惯对每一个人都十分重要，而数学文化对人在这方面的影响最大。

（二）有利于思维创新性的培养

所谓创新，是指发现新事物、揭示新规律、获得新成果、建立新理论、创造新方法、发明新技术、研制新产品、做出新成绩或解决新问题等等。它所涉及的范围十分广泛，包括科学发现、技术发明、艺术创造与其他物质或文化方面的创新等等。正是由于人类思维的不断创新，社会才得以不断发展，这种思维品质对现代社会的人们尤为重要。思维的创新性实际上就是合理地、协调地运用逻辑思维、形象思维以及直觉思维等各种思维方式，使有关信息有序化以产生积极的效果，它具有新颖独特、突破常规和灵活变通的特性。数学思维的目的性与问题性具有训练思维创造性的作用，那种认为数学思维只管训练人的逻辑思维的观点是错误的。因为就创造性思维而言，可以按创新的相对程度分为创造与再发现两类。创造是指人类认识史上第一次产生的、前所未有的、具有社会价值的思维活动。如17世纪后半期牛顿和莱布尼兹建立的微积分学说就是一种创造。再发现是指相对于思维主体而言具有一定的自身价值或认识意义的新颖独到的思维活动。如学生在解决某个数学问题时发现了一种新的解法，虽然前人早已有此作法，但对于这个学生而言的确是自己发现的，所以称为再发现。严格意义下的创造并不是一蹴而就的，它是“再发现”式创造性思维的累积与发展。只有“再发现”式的创造性思维得到充分的发展之后，才能达到真正的发明、创造。因而，创造性思维对于任何人都是可能产生的，而数学思维在训练人的创造性思维方面具有独特的作用。

诺贝尔奖获得者物理学家杨振宁先生曾语重心长地谈到：“中国的教育方法（东方的传统）是一步步地教、一步步地学……这对于他进大学、考试有帮助，但这种教法的主要缺陷是学生只宜于考试，不宜于做研究工作……传统的学习方法是被大家指出来的路你去走，新的学习方法是自己去找路。”培养学生的创造性思维，除了需要对各种思维形式作综合训练，更要求我们教育工作者在教学方法方面作一定的改革和尝试。在教学实践过程中绝不能只满足于知识的传授，还要精选一些材料（当然是经教师设计、编制、简化了的材料），使学生像数学家那样去思考、去经历发现和创新的过程，让他们在解决问题的过程中发展创造性思维。

总之，利用数学文化可以从多方面培养人的思维，它对人的思维发展起着积极的作用。

三、有利于科学审美观的培养

数学美具有科学美的一切特性，数学不仅具有逻辑美，更具有奇异美；不仅具有内容美，而且具有形式美；不仅具有思想美，而且具有方法美、技巧美。简洁、匀称、和谐在数学中到处可见。从文化的角度来看，数学美是人类一种理性的审美心智活动，在更高的层次和更丰富的内涵上发展了美的文化。数学美有它独特的内容和特征。然而在传统的数学教学中，由于教师存在着对数学在认知和理解上的偏差，使得数学课堂充满的只是概念、公式、定理和例题，让学生感受到的只是复杂的公式、冷冰冰的符号、抽象的演绎和繁杂的计算。数学教学只有通过加强数学文化教育方可使学生感受到数学丰富的方法、深邃的思想、高贵的精神和品格，领略数学发展进程中的五彩斑斓、多姿多彩，分享数学前行足迹中的创造、超越及其背后折射出的人类智慧和人性光芒。

在数学研究中，虽然有大量表面看来枯燥乏味的推理和计算，其中却蕴藏着内在的、深邃的、理性的美。正如我国著名数学家徐利治教授指出的：“作为科学语言的数学，具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美。数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性；数学结构系统的协调性、对称性；数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性。还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。”

（一）简洁美

数学能以极其简洁明了的形式概括出客观事物的数与形或其他种种关系，这就是数学的一种形式美——简洁美。数学之所以用途如此广泛，是由其自身特点决定的，数学的首要特点就在于它的简洁性。数学家莫德尔说：“在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了。”数学中人们对于简洁的追求是永无止境的，例如，建立数学公理体系时人们试图找出最少的几条（摒弃任何多余的赘物）；人们力求命题的证明严谨、简练（因而人们对某些命题证明不断地在改进）；计算方法尽量简洁、明快（因而人们不断地在探索计算方法的创新）等等。数学的简洁美主要体现在符号美、抽象美、统一美三个方面。

（二）对称美

公式、图形、结构等方面所表现出来的对称、均衡性质的数学结果，在数学的形式美上称为对称美。“对称”在数学上的表现是比较普遍的。比如，从运算关系角度看，加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等这些互逆运算都可视为对称关系。可以这样说：数学中不少概念与运算，都是由人们对“对称”问题的探讨派生出来的；再如，三角形面积的海伦公式S（p为三角形半周长）便是以一种对称多项式形式出现的，人们根据它的对称性很自然地将公式进行推广：若为圆内按四边形四条边长，则其面积为S＝（p为该四边形半周长）。

数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，也可以看成启迪人们思维、研究问题的方法。

（三）奇异美

冲破传统观念和经验的局限性，以新奇的方法或从新奇的前提（如公理）出发，所得出的新颖的数学结果，在数学的形式美上称为奇异美。奇异包括两个方面的含义：一是奇妙，二是变异（变异是指数学理论拓广或统一性遭到破坏后，产生新方法、新思想、新概念、新理论的起点，变异有悖于人们的想象与期望，因此就更引起人们的关注与好奇）。数学中不少结论巧妙无比，令人赞叹，正是因为这一点数学才有着无穷的魅力。数学中许多新的分支的诞生，都是人们对于数学奇异性探讨的结果，罗巴切夫斯基、黎曼等人一反欧几里德的第五公设而创立非欧几何学就是最典型的例子。

在数学发展史上，往往正是数学自身的奇异性的魅力，吸引着数学家向更新、更深的层次探索。法国数学家蒙德布罗（B．Man－delbrot）由海岸线问题出发，将具有分数维的图形称为“分形”，并建立了以这类图形为对象的新的数学分支——分形几何。分形这个以无穷多的形状呈现出来的美妙物体，吸引了科学家们的广泛兴趣和对它深入的研究。现在蓬勃发展的分形几何已经被人们誉为“自然界的几何学”，事实表明它是描述和探索自然界大量存在的不规则现象（海岸线形状、大气运动、海洋湍流、野生生物群体涨落、乃至股市升降等等）的崭新数学工具。

以上仅仅是数学美的三个方面，数学的理性美当然远远不止这些。马克思曾说，社会进步就是人类对美的追求的结晶。数学自身发展所具有的创造性的美学价值，可以启迪学生的思维、开阔他们的视野、激发他们的热情；数学所揭示的规律会加深学生对美的理解，同时学习数学的过程也会使他们体验数学作为人类智慧的结晶所洋溢出的精神美。而这不正是体现数学文化价值的良好契机吗。学生在领略数学那丰富、优美甚至动人心魄的一面时，对美的鉴赏能力也得到相应的提高，从而有利于学生科学审美观的培养。

四、有利于科学精神的培养

数学作为探索真理的事业，可以造就一种极负责任的人文精神——不懈地探索真理、勇于质疑、实事求是的科学精神。所有这些如果通过数学教育活动内化为学生的个性品格并成为他们今后的行为规范与价值取向的话，才真正达到了数学教育的目的。

（一）勇于探索的科学精神

许多科学家不愿意承认自己有多高的天赋，但特别愿意说自己主要是靠了勤奋。我们都把牛顿视为有史以来最伟大的数学家，他的异常勤奋、刻苦的学习精神为大家所熟知。在他刚刚接触高深的数学知识时是这样做的：“笛卡尔的《几何学》很难懂，只读了大约10页，就不得不停下来。然后再开始，比第一次稍进步一点，又停了下来，再从头开始，直至真正掌握了全书的主要内容。到这种程度时，他对笛卡尔几何的理解才比对欧几里德几何的理解要好一些。他又重新开始研读欧几里德，然后又第二次读笛卡尔的几何。”用他自己的话来讲“在上大学的生涯中，仅沉迷于扑克牌两次，上小酒馆两次”。另外，为了成功还要勇于面对失败。一个成功者，特别是一个有重大成就者，其成功的道路是由失败铺垫而成的。有一位英国数学家兼物理学家开尔文曾说：“我坚持奋斗了55年，致力于科学的发展，用一个词可以道出我最艰辛的工作特点，这个词就是失败。”有时候是成功鼓舞着我们，有时候是失败推动着我们，追求成功与不怕失败是并生的。数学史中的许多故事都能令我们为前人追求数学真理的科学精神所感动。让学生在数学文化中体验数学家们不畏艰难追求真理的精神，将有利于培养学生勇于探索的科学精神。

（二）勇于批判的科学精神

批判精神表现在不迷信、不盲从、不轻信、有主见地评价事物，敢于怀疑，喜欢独立思考，善于提出批判性问题和发表不同的看法。在思考问题时不受材料暗示的影响，能冷静地分析一种决定的是非利弊，能严格而客观地评价思维结果，特别是对一些容易产生混淆、产生错觉的结果进行辨异。批判精神要以独立思考为前提，力求严密准确地反映事物的本来面目。可以说，它在一定程度上又蕴涵着思维的独创性。批判精神的对立面是思维的盲从性，要做到既不人云亦云，也不自以为是，才能正确培养批判精神。华罗庚教授指出：学习前人的经验，并不是说要拘泥于前人的经验，我们可以也应当怀疑与批评前人的成果。但怀疑与批评必须从事实出发。这些语重心长的教诲值得我们记住。华罗庚教授治学严谨，既善于独立思考，又不盲从古人和权威。1929年才初中毕业的他就对苏家驹发表在《学艺》杂志上的论文《代数的五次方程式之解法》进行了质疑。而后华罗庚发表了《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》，这篇文章对华罗庚的个人命运是决定性的，使他从此走上了一条通往大数学家的征途。华罗庚人生的最大转折就得益于既能独立思考，又具有勇于批判的精神。数学文化教育将有助于学生勇于批判的科学精神的培养。

（三）崇尚真理、实事求是的科学精神

崇尚真理、实事求是通常被看成是人类理性精神的重要内涵之一。无论是对国家民族的发展，还是对个人的发展，这种精神都具有特别的重要性，因为它可以促使人们养成良好的思维习惯和严谨朴实的科学态度。一旦学生形成这种思维习惯或科学态度，将会对他们今后的学习、工作和生活等各方面产生积极的影响。在崇尚真理、实事求是的科学精神的形成和发展的过程中，数学应当说发挥了举足轻重的作用：首先，在数学研究的过程中人们会将主客体进行严格的区分，这正是数学研究的一个重要特征，即尽管数学对象并非现实世界中的真实存在，而只是抽象思维的产物，但我们应采取纯客观的立场，即把数学对象看成是一种不依赖于人类的独立存在，并通过严格的逻辑分析去揭示其固有的性质和相互关系。另外，数学的研究又是精确的、定量的，而不是含糊的、直觉的。如果人们只是通过感官或者经验去认识客观世界，那么得到的结论往往是模糊、混乱和矛盾的，从而也是不可靠的；而如果从量的角度去研究真实世界，我们才能获得确定无疑、永远为真的结果（事实上真实世界可被看成是量的特征的世界，科学研究的基本目标即是要揭示自然界内在的数学规律）。最后，数学这种理性思维的训练使得人们对真理的辨别也有着独特的能力。任何权威或是自身强烈的信念，都不能被看做判断真理性的可靠依据，而都必须接受理性法庭的裁决，采取实事求是的态度。通过日常的数学学习，人们已经养成了这样的思维习惯，即我们应当坚持“证明”的要求，而不应过多地去关注所说的命题是由谁（教师、教材或某个权威）所提出的。数学再一次清楚地证明了自身对于人类理性精神的形成的特殊价值所在。就如克莱因指出的：“数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探索和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”

“数学是一门研究模式的科学”，数学展现给人们的是进行理性思考的一些“范式”，通过数学的学习，它能教给你如何进行有效的思考。数学文化教育就是要让学生学会这样的思考，认这个死理，树立起这种数学理性的文化信念。在实际的数学教学活动中，通过对一些相关问题的分析和解答，使学生们置身于数学的这种“思考”当中，让他们深切体验数学推理的好处和威力，将有助于学生崇尚真理、实事求是的科学精神的培养。

五、有利于学生应用意识的培养

中国学生数学应用意识淡薄，已是不争的事实。我国学生在数学奥林匹克竞赛上夺取金牌犹如探囊取物，而在有关实际操作技能的比赛中则显得技不如人，缺乏应有的创造性，这在日益重视“数学化”的当代社会，不能不使每个关心祖国未来发展的数学教育工作者感到担忧。因此，要提高国民的整体素质，就应该大力加强数学应用意识的教育，应该像宣传重视环境意识、健康意识、国防意识那样宣传数学意识。只有这样，数学的应用才能成为人们的一种自觉行为，数学也才能真正成为国民的一种文化素质。张奠宙教授在《数学的明天》中指出：“搞数学的应用教育，非不能也，乃不为也，数学教育理论若不正视这一问题，不给予充分的研究，实在不能称为真正的理论。”数学的应用教育在我国当前的数学教育中具有非常重要的现实意义。

实际上，从数学文化的角度，我们将会比较容易认识和理解数学广泛的应用价值，因为数学所研究的对象并不是客观现实中的事物，而是抽象思维的产物。因此，数学是受特定情境限制最少的学科，数学应用的触角很容易延伸到社会的各个领域之中。对此，恩格斯曾十分精辟地说：“正因为数学可以暂时脱离物质形式而进行研究，所以它在这里提出，却可以在另外的地方应用。”数学文化教育，就是要通过具体实例的展示，例如：CT扫描、天气预报、军事模拟、《红楼梦》作者鉴定等等，让学生直观地感受到数学的这种巨大的应用价值。通过类似上述这些材料的展现，可以使学生在数学文化熏陶的过程中，树立和强化应用数学的意识，从而体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动。

总之，数学文化所蕴涵的思想是博大精深的，数学文化的教育功能是多元的、多维度的、立体的。数学教育教学中要重视蕴涵于数学之中的文化观念，弘扬数学的文化教育功能，全面提高学生的数学文化素质。