培养学生数学建模能力的教学策略

第四节　培养学生数学建模能力的教学策略

数学建模在科学技术发展中的作用越来越受到人们的重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力。培养学生的数学意识及运用数学知识解决实际问题的能力，既是数学教学目标之一，又是提高学生数学素质的需要。学生的数学素质主要体现在能否运用数学知识（数学思维）去解决实际问题，以及形成学习新知识的能力和适应社会发展的需要。数学建模是数学问题解决的一种重要形式，从本质上来说，数学建模活动就是创造性活动，数学建模能力就是创新能力的具体体现。数学建模活动就是让学生经历“做数学”的过程，是学生养成动脑习惯和形成数学意识的过程；它为学生提供了自主学习的空间；有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和思想方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。

一、数学建模的含义

数学模型一般是实际事物的一种数学简化。要描述一个实际现象可以有很多种方式，为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。因此，数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。关于数学模型，目前还没有一个公认的定义。本德（E．A．Bender）认为：“数学模型是关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构。”^[2]也有人将数学模型定义为现实对象的数学表现形式，或用数学语言描述的实际现象，是实际现象的一种数学简化。

建立数学模型的过程称为数学建模。数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。因此，数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包含具体的自然现象，例如，自由落体现象；也包含抽象的数学现象，例如，顾客对某种商品所持有的价值倾向。这里的描述不仅包括外在形态、内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容。

在现实世界中，许多自然科学和社会科学问题，并不是以一个现成数学问题的形式出现的，在数学建模的基础上才有可能利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而能够从定性或定量的角度，为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一。不同的科学领域同数学有机地结合起来，在不同的学科中取得了巨大的成就。例如，力学中的万有引力定律，电磁学中的麦克斯韦方程组，化学中的门捷列夫周期表，生物学中的孟德尔遗传定律等都是经典学科中应用数学建模的范例。

二、数学建模的步骤

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，需要通过调查和搜集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法分折和解决问题。完成这个过程，需要有深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力、大胆的想象力以及对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。

一个合理、完善的数学建模步骤是建立一个好的数学模型的基本保证，数学建模讲究灵活多样，所以数学建模步骤也不能强求一致。下面介绍的一种“八步建模法”，是在大学数学建模教学中总结出的一套比较细致全面的建模步骤，具体包括以下八个步骤：

（一）提出问题

能创造性地提出问题是顺利解决问题的一半，也是成功解决问题的关键一步。很多问题没有得到很好的解决，其原因是问题没有提好。这一步骤的关键在于明确建模目的和要建立的模型类型，即从问题的情景以及可获得的可信数据中可得到什么信息，所给条件有什么意义，对问题的变化趋势有什么影响，并且要弄清该问题所涉及的一些基本概念、名词和术语。通过对实际问题的初步认识和分析，明确问题的情景，把握问题的实质，找准待解决的问题所在，提出明确的问题指标，明确建模的目的所在。

（二）分析变量

分析变量的过程，首先要将研究的对象所涉及的量尽可能的找准、找全，然后根据建模目的和要采用的方法，确定变量的类型是确定性的还是随机的，并分清变量主次地位，忽略引起误差小的变量，初步简化数学模型。在研究变量之间的关系时，一个非常重要的方法是数据处理，即对我们从开始所获得的数据作适当的变换或其他处理，以便从中找出隐藏的数学规律。

（三）模型假设

模型是通过问题的分析和提出问题而得出的，是被建模目的所决定的。模型的假设作为奠定数学建模的基础要将表面上杂乱无章的现实问题抽象、简化成数学的量的关系。模型假设，是建模的关键一步，在一定程度上决定了后续工作的展开、建模的复杂程度，甚至关系到整个建模过程的成败。因为影响一个现实事件的因素通常是多方面的，我们只能选择其中主要影响因素以及它们中的主要矛盾予以考虑，但这种简化一定要合理，过分的简化会导致模型距离实际太远而变得失去建模意义。因此，根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

（四）建立模型

在前三步的基础上，根据所研究的对象本身的特点和内在规律，以模型假设为依据，利用适当数学工具和相关领域的知识，通过联想和创造性的发挥及严密的推理，最终形成描述所研究对象的数学结构的过程。可能是一个方程组的求解问题，也可以是一个最优化问题，还可以是其他数学表示。从简单的角度讲，这一环节要求用尽可能简洁清晰的符号、语言和结构将经过简化的问题进行整理性的描述，只要做到准确和贴切即可。当然数学和应用数学学科的发展已有大量和丰富的概念与方法积淀，因此所建立模型在表述上应尽可能符合一些已经成熟的规范，以便于应用已知结论求解以及模型的应用与推广。

（五）模型求解

建立数学模型还不是建模的最终目的，建模是为了解决问题，因此还要对建立的数学模型进行求解，以便应用于实践。不同的模型要用不同的数学工具求解，可以采用解方程、画图形、定理证明、逻辑运算以及数值计算等各种传统的或近代的数学方法。随着信息科学的高速发展，在现在的多数场合下，数学模型必须依靠计算机软件求解才能得到较好的解决。因此，熟练利用数学软件会为数学模型的求解带来方便，其在解模的过程中起着不可替代的作用。

（六）模型分析

模型求解只是问题解决的初步阶段，因为在模型建立的过程中，只是近似的抽象出实际问题的框架与实质，在设计变量、模型假设、模型求解等阶段，都会忽略掉一些实际因素，或者引进一些误差，使得数学模型仅是问题的近似与估计，从而得到的结果也只是实际情形的近似或估计。因此，在模型求解后有必要进行结果的检验分析与误差估计，以便了解所得结果在什么情形下可信，在多大程度上可信，也就是下面将要论述的模型分析。

模型分析主要包括：误差分析、对各原始数据或参数进行灵敏度、稳定性分析等。过程可简化如下：分析—不合要求—重新审查修改重建—合要求—评价、优化—解释、翻译成通俗易懂的语言。

（七）检验模型

检验模型，通俗地讲，就是把模型求解所得的数学结果解释为实际问题的解或方案，并用实际的现象、数据加以验证，检验模型的合理性和适用性。检验模型主要包括以下两类：①实际检验：回到客观世界中检验，用实验或问题提供的信息来检验。②逻辑检验：一般是结合模型分析以及对某些变量的极端情况获取极限的方法，找出矛盾，否定模型。如果模型的结果距离实际太远，应当从改进模型的假设入手，可能是因为将一些重要的因素忽略了，也可能是将某些变量之间的关系作了过分简化的假设。需要修改或重新建立模型，直到检验结果获得某种程度的满意。

（八）模型应用

模型应用是建模的宗旨，也是对建模最客观、公正的检验，数学建模需要在实践的检验中多锤炼、提高、发展和完善。

以上提出的数学建模的八个步骤，各步骤之间有着密切的联系，它们是一个统一的整体，不能截然分开，在建模过程中应灵活应用。

三、高等数学教学中培养数学建模能力的必要性

（一）有利于学生动手实践能力的培养

传统的数学教学中，大多是教师给出题目，学生给出计算结果。问题的实际背景是什么，结果怎样应用等问题在传统数学教学中很难得到体现。数学建模是一个完整的求解过程，要求学生根据实际问题，抽象和提炼出数学模型，选择合适的求解算法，并通过计算机程序求出结果。在数学建模过程中，学生将学过的知识与周围的现实世界联系起来，对培养学生的动手实践能力很有好处，有助于学生毕业后快速完成角色的转变。

（二）有利于学生知识结构的完善

一个实际数学模型的构建涉及多方面的问题，如工程问题、环境问题、生物竞争问题、军事问题、社会问题等等，就所用工具来讲，需要计算机处理、Internet网、计算机检索等，因此数学建模有利于促进学生知识交叉、文理结合，有利于促进复合型人才的培养，另外数学建模还要求学生具有很强的计算机应用能力和英文写作能力。数学建模教会了学生面临实际问题时，如何通过搜集信息和查阅文献，加深对问题的理解，构建合理的数学模型。这个过程就是自主学习、探索发现的过程。“授人以鱼，不如授人以渔”。通过这样的训练，学生具备了一定的自我学习的方法和能力，这与现代社会要求人才具有终身学习的能力是相符合的。

（三）有助于学生创新意识和创新能力的培养

我国传统数学内容过多注重确定性问题的研究，采用的是“满堂灌”的教学方式。这种方法容易造成学生的“惰性思维”，难以充分展示学生的个性。而数学建模是通过大量生动有趣的实例来激发学生学习的兴趣和学习热情。数学建模不同于传统的解题教学，在建模过程中没有固定的模式和固定的答案，即使是对同一问题进行研究，其采用的方法和思路也是灵活多样的。建模没有最好，只有更好。从对实际问题的简化假设，到数学模型的构造，再到数学问题的解决，最后到模型在实际生活中的应用，无不需要创造性的思维和创新意识。通过数学建模，培养了学生的洞察力、想象力和创造力，提高了学生解决实际问题的能力。

（四）有利于学生团队精神的培养

大学生毕业后，大多从事的是一线工作，非常需要合作精神和团队精神。数学建模需要学生以团队形式参加，通过全体同学在建模的过程中合理的分工与协作，最后完成问题的解决。集体工作、共同创新、荣誉共享，这些都有利于培养学生的团队精神，培养学生将来协同创业的意识。任何一个参加过数学建模的学生都对团队精神带来的成功和喜悦感到由衷的鼓舞。因此，数学建模活动的开展，有利于学生团队精神的培养。

总之，数学建模所体现的创新思维意识、团队合作精神正是我们这个时代所需要的，是高职院校数学课教师必须努力实现的目标，数学建模的开展也为高校数学课教学指明了方向。

四、数学建模的教学要求

（1）在数学建模中，问题是关键。数学建模的问题应是多样的，应来自于学生的日常生活，现实世界以及不同的专业知识。同时，解决问题所涉及的知识、思想与方法与高等数学课程内容有密切的联系。

（2）通过数学建模，学生将了解和经历解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实际能力。

（3）每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度及层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。

（4）学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息。

（5）将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动与综合实践活动有机结合起来。数学模型有广义和狭义之分，广义的数学模型包括从现实原型抽象概括出来的一切数学概念、各种数学公式、方程式、定理以及理论体系等。可以说数学概念、命题教学可看做广义数学模型的建立过程。狭义的数学模型是将具体问题的基本属性抽象出来成为数学结构的一种近似反映，是那种反映特定的具体实体内在规律性的数学结构．

五、培养学生数学建模思想的教学对策

（一）在理论教学中渗透建模思想

数学理论是由因为实际需要而产生的，也是其他定理和应用的前提。因此在教学中应重视从实际问题中抽象出数学概念，让学生从模型中切实体会到数学概念是因有用而产生的。从而培养学生学习数学的兴趣。例如，在讲定积分概念时运用求曲边梯形面积作为原型，让学生体会一定条件下“直”与“曲”相互转化的思想以及“化整为零、取近似、聚整为零、求极限”的积分思想。通过模型来学习概念，加强数学来自现实的思想教育。重要的是让学生看到问题的提出，对数学建模产生兴趣。同时应重视传统数学课中重要方法的应用，例如，利用一阶导数、二阶导数求函数的极值和函数曲线的曲率在解决实际问题中的应用。

（二）在应用中体现建模思想

教师可以选择一些简单的结合数学课程内容的实际或改变后的一些题目，根据建模的一般含义、方法、步骤进行讲解。培养学生学习数学建模的兴趣，激发其数学建模的积极性，使学生具有初步的建模思想。例如，在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时便可采用微分关系式来描述该系统，即建立微分方程模型。在教学过程中，应注意培养学生用上述工具解决实际问题的能力。

（三）在考核中增设数学建模环节

目前，考试仍然是高校考查学生学习情况的重要环节，但考试并不能充分体现出学生各方面的能力。除数学建模课程外，教师同样可以在数学课程中设立数学建模考试环节作为参考，具体可将试题分为两部分：一部分是基础知识，可在规定时间内完成；另一部分是一些实用性的开放性考题，考查的形式可以参考数学建模竞赛。这样不仅能考查学生的能力，而且能从中挖掘有潜质的学生，为选拔参加全国大学生数学建模竞赛作参考。

（四）建立适合数学建模思维的教学方法

数学建模本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和不断提高的过程，其培养过程需要一定的数学基础以及广博的知识面和丰富的想象力。与其他数学类课程相比，数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活等特点，对教师和学生的要求相对比较高，教师必须采取适合数学建模思想的教学方法。

1．采用教师与学生双向互动的教学模式

在建模课程中要突出学生主体，充分发挥学生的主动性和积极性以及学生作为活动主体应有的地位和作用。建模教学一般都是采用双向式教学，有利于改变过去传统教学方式的单一性，强化“启发式”教学方法的实施。建模教学中应适当减少老师理论讲解的时间，增加课堂交流的时间，给学生留下独立思考的空间，并增加课堂练习时间，便于老师及时掌握学习效果。部分教学内容可以采用学生讲解、课堂讨论的形式，让学生自己充当一次教师，并在学生讲解完展开讨论，鼓励其他学生提出质疑并发表不同的见解。最后，教师可以就其中所出现的一些问题进行纠正或补充总结。教师要学会驾驭课堂，学会耐心倾听学生意见，培养学生的求知欲望，激发学生的创新意识，培养学生的创新精神和创新能力，同时也要有意识地提出疑问，培养学生发现问题、解决问题的意识。

2．采用教学与自学相结合的教学方法

数学建模涉及的知识面比较广泛，不可能让学生先学会所有的知识再去建模，且仅靠课堂学的知识也难以圆满完成建模过程。这就要求学生要利用丰富的学习资源不断地自我学习、自我充实。教师除课堂上传授数学理论知识外，还应培养学生学会利用各种资源快速获取信息及掌握新知识的能力，指导学生利用图书馆、网络的书籍和论文，阅读与建模相关的资料。广泛阅读学习可以开拓学生的视野，培养学生的自学能力。通过这样的训练，可使学生具备一定的自我学习方法和能力，这与现代社会所需人才具有终身学习的能力是相符合的。通过自学以获取相关知识的能力表明，数学建模是激发学生学习欲望，培养学生主动探索、努力进取和团结协作精神的有力措施。

3．采用现代的开放式教学方法

在数学建模思想的培养中可引入开放式的教学方法，如探究式、研讨式、案例式、启发式等，建模初始应从简单问题入手，引导学生初步掌握用数学形式刻画和构造模型的思想，培养学生积极参与和勇于创造的意识。随着学生能力和经验的增长，可让其通过实习作业或活动小组的形式，由学生展开分析讨论，分析每种模型的有效性，并提出修改意见，以确定讨论是否有进一步扩展的意义。这样学生可以在不断发展、不断创造中培养信心，纠正理解的片面性。受应试教育的影响，很多学生形成了思维定势，认为数学问题只有一个标准答案。因此，学生在解答数学问题后，就不会再考虑是否还有其他方案，缺少创新思维。为此，教师应开拓学生的思维方式，启发调动学生积极讨论，鼓励学生从多个角度考虑问题，大胆提出不同的解决方案，鼓励标新立异、另辟新径。在小组讨论后说出各自的答案，集体评价各种思路的利弊。通过教师的引导与启发，通过集体讨论，学生逐渐发现自己认知方面的不足，并养成多方面、多角度考虑问题的习惯。

4．借助现代教学手段辅助教学

运用计算机工具解决建模问题，是促进数学建模教学的有效方法。采用多媒体教学方式进行建模学习，通过运用多媒体向学生展示生动有趣的案例、丰富多彩的图形动画，可激发学生学习建模的兴趣与热情。同时，注重对学生运用计算机软件建立数学模型的培养，如对Mathematical、Maple、Maflab、Lingo等数学软件的运用。学校建立计算机交互式多媒体实验室，扩充原数学建模实验室，供广大数学建模爱好者使用，为数学建模教学创造良好的实验条件和环境。数学建模课可以整合开设，除了调整教学内容，增加最新技术成果及应用介绍之外，还要增加知识模块之间的衔接，从建模能力和软件运用的结合培养学生的探索兴趣与解决实际问题的能力。

六、数学建模能力培养的教学策略

要提高高等院校学生的建模综合能力，首先要在平时的数学课堂教学中从以下各项能力的培养入手。

（一）培养学生的双向翻译能力

实际应用问题，一般由普通语言或图表语言给出，而数学建模多是用符号描述。所以，双向翻译能力是应用数学的基本能力，也是传统教学中缺乏的，为了提高这方面的能力，在教学中应该做到：

（1）注重数学概念、公式、定理的产生和发展的问题背景。语言作为问题描述的载体，不同的语言有不同的表示形式，它们之间互译准确熟练与否，直接决定了建模能力的强弱。而诸多数学概念、公式、定理的产生和发展都有着丰富的问题背景，这为我们在数学教学中训练学生语言之间的互译提供了素材，如Stokes公式、第二类曲面积分的建立等。教师应在数学教学中适当补充概念、公式以及定理的应用性，充分体现知识产生于实践又服务于实践的全过程。

（2）以思维方法为视角，精选、剖析优秀的数学建模竞赛试题和参赛作品。科学的思维方法是人们进行科学认识的手段，是使思维运动通向客观真理的途径和桥梁。因此，在数学教学中必须重视科学思维方法的教育。精选往年的突出思维方法的数学建模竞赛试题并引导学生分析解决以及引导学生研读优秀的参赛作品，无疑是提升他们语言翻译能力的有效途径。

例如，1996年的洗衣机的优化设计问题是一个纯文字描述的、典型的运用优化方法解决的实际问题，以下就是在数学教学中启发引导学生将该问题翻译成实际问题的过程。

首先，弄清与洗衣机有关的主要因素有物理、人为和化学因素；物理因素与转速有关，人为因素涉及干净程度（干净程度的定义怎样），化学因素有化合物与污染物的反应（有关假设）；

其次，弄清对象是衣服（衣服的特征有重量）；

再次，弄清洗衣机洗一轮需要统计的数字（加水量，加洗涤剂的质量，水温，转数，时间等）；

最后，问题的提法可以用数学语言描述，寻找一个变换：

A衣服→变换1（衣服）→…变换n（衣服）≥干净程度

满足目标为：，（其中f_i表示第i次变换时的用水量）。

（二）培养学生的解模能力

通过讲授数学建模的具体思维方法，可以培养学生的解模能力。具体思维方法是哲学思维方法、一般思维方法在数学学科的某些特殊领域的特殊应用，是认识对象的特殊属性所决定的特殊方法，有参数辨识建模方法、线性规划、多目标规划以及各种统计方法等。如2000年DNA分类问题涉及的聚类分析方法，2001年公交车调度问题中如何将多目标规划问题转化为单目标归划问题等。通过以上具体事例的学习，熟练掌握方法的使用和处理问题的技巧，是提高学生解模能力的有效措施。此外，结合实验课中的实验内容，还应分层次、有目的地设计层次不同的题目锻炼学生应用数学软件包的能力。

（三）培养学生的观察和猜想能力

通过类比引导等方法，可以培养学生的观察和猜想能力。

（1）教给学生观察、猜想的方法。达尔文说过：“最有价值的知识是关于方法的知识。”在数学教学中，教师应该有意识、有目的、有步骤地对学生进行观察、猜想训练，帮助他们掌握科学的观察、猜想方法。如介绍一些数学家的著名猜想及发展脉络，通过追踪数学家的猜想思路获得猜想的思维方法如探索性猜想方法、类比性猜想方法等。强化过程教学，培养学生的判断、否定意识及创新精神。结合数学史料进行教学，让学生在学习中体验科学家创造知识成果的艰难曲折历程，感受科学家为追求真理而献身的崇高境界，从而逐渐培养他们实事求是、独立思考、勇于创造和不畏艰难的科学精神。

（2）加强传统数学课、实验课教学，培养学生观察、猜想的能力。数学中的许多著名公式与定理是数学家通过细心观察、归纳、类比等过程提炼出来的，这为加强观察能力的培养提供了富饶的“土壤”。

首先，在概念、定理以及公式的教学中，结合该课型的特点，注意分析概念、定理以及公式的产生过程，通过比较它们的各个侧面、特点、差异，引导学生概括出它们的共同本质，进而抽象出新概念、新理论。如随机变量概念的引入和建立，可以从骰子的点数、产品中次品的件数等数字表示的事件入手，观察其特点，然后，将非数字表示的随机事件数字化，观察其特点，最终抽象概括出建立在样本空间（事件域）上的函数——随机变量。

其次，解题教学是数学教学的一种间接实践形式，是训练基本技能的主要方法。在教学设计中，应注意选择适当的题目，在审题、想题、解题三大阶段中，充分利用题目的特点进行训练，让学生体会“数学的感觉”。

再次，改革教学模式，突出观察、猜想能力的培养。培养学生观察、猜想能力可运用探究与发现的教学模式，在传统数学课和数学实验课中均可以运用。如单摆运动周期问题，首先在理想状态下，师生共同建立单摆运动周期函数，θ₀为单摆偏离平衡位置的初始角。然后，通过Matlab等软件，建立实验平台，让学生观察随着摆角的变化，周期T与的变化趋势，通过比较发现当θ₀变小时，上述两值的差有变小的趋势，进而引导学生提出的猜想。若能证实这一猜想，且能得到对上述极限收敛速度的较好估计，则将为用近似单摆周期提供理论依据；最后再引导学生去证实所得结论的正确性。通过这样的教学，对于培养学生的观察、猜想能力，自觉地把感性认识上升到理性认识的意识和能力是大有益处的。

（四）培养学生的逻辑思维能力

思维的逻辑性是人的一种重要的思维品质，这种品质表现在考虑问题和解决问题时能遵循严格的逻辑顺序，推理时能有充分的逻辑依据，工作时能思路清晰、条理分明、有条不紊地处理头绪复杂的各项任务。逻辑思维能力是创新能力的重要支撑。因此，教师在数学教学中应该加强学生逻辑思维能力培养和训练。

（1）强化数学语言训练，培养学生思维的逻辑性。语言是思维的工具，思维是借助语言来进行的。数学语言是有自身特点的，数学内容的严谨性和抽象性就是以一定的逻辑程序通过数学语言来阐述的。因此，在教学中，一是教师要让学生运用数学语言进行“说”的训练，如说法则、说算法、说解题思路，使学生不断组织整理自己的语言，促进思维的发展。如通过解题、证题思路的口述可以把分析推理过程逐一表达出来，从而促进学生自觉地掌握正确的分析推理方法，提高逻辑思维能力。二是教师的语言要清晰、明确、富于系统性和逻辑性，需要教师加强本学科特点的语言修养。三是强化学生对数学教材的阅读。数学教材基本上是按逻辑演绎结构，以定义、定理、法则、公式的形式演绎方式展开的。教材所展现的“逻辑演绎”线索，体现得完美无缺的知识体系，是对庞杂无序的科学创造成果的提炼和简化，通读和熟悉以“逻辑演绎”为线索的教材，是十分必要的，它有利于强化学生的数学语言训练，培养学生思维的逻辑性。

（2）以知识结构为主线，加强逻辑思维方法教学，启发引导逻辑思维。数学是有较强逻辑的科学，因此在教学中，可以用较强的逻辑线索把前后内容联系起来，使知识更趋于有序化（反应知识固有的本质联系）和综合化（以知识本质联系为线索的综合）。在此教学过程中，学生对知识的把握更具有科学性、系统性，有利于其知识的迁移，有利于学生思维能力的发展。

（3）加大逻辑思维的训练强度和难度，实现质的飞跃。在数学建模教学中，涉及的问题是比较大的、有一定的难度的，恰当的使用可以提高其逻辑思维能力。如2002年建模竞赛中的车灯优化设计问题，通过抛物面反射到达给定点的点的轨迹的推导，使用的数学工具无非是高等数学和工程数学，学生完全可以利用学习过的知识进行合理的推理训练，从而达到较好的逻辑思维训练。

（五）培养学生的创造性思维

数学建模是一种创造性思维。迄今为止，在数学建模过程中，还没有可以应用的公式和定理，也没有统一的方法。数学模型的特点决定了数学模型不可能做到“形似”，所以建立数学模型的重中之重就是要注意“神似”。例如，，实践证明这个数学模型能非常好地模拟单摆运动，但它在外形上与单摆无“相似”可言，这种“神似”的要求就决定了数学建模在理念上要具备自身特点的创造性思维。人们的思维通常是复制性的，也就是以过去遇到的相似问题为基础，遇到问题时就会这样想：我在生活、教育及工作中学到的知识是怎样告诉我解决这个问题的？然后就会选择出以经验为基础的最有希望的方法，这些以经验为基础而采取的步骤的可靠性，往往使我们对于结论的正确性非常自负。而当以这种思维方式来建立数学模型时，就会变现为追求模型与客观事物的“形似”，这与我们的数学建模目的与宗旨是大相径庭的。创造性思维是遇到问题会问“能有多少种方式看待这个问题？”“怎样反思这些方法”，“有多少种解决问题的方法”，通过这样思考，我们就会找到多种解决方法，有些方法是非传统的，甚至可能是独特的。要培养学生的创造性思维，可在数学教学过程中贯彻以下六种策略。^[3]

（1）多角度考虑问题。从心理学角度分析，看待某个问题的第一角度太偏向于自己看待事物的惯常方式，所以要不停地从一个角度转向另一个角度，重新构建这个问题，直到对问题的理解随视角的每一次转化而逐渐加深，最终抓住问题的实质。

（2）思想形象化。更多的尝试利用画图和图表来描述问题，并且在视觉和空间方面扩展问题。想要建立一个与客观世界具体对象“神似”的数学模型，用尽可能多的方式，通过更多更加灵活的途径来表述思考对象。

（3）艺术的创造。数学建模的一个突出特点就是可以发挥建模者的无限创造力。Modeling一词在英文中有“塑造艺术”的意思，从而可以理解从不同的角度去考察问题，就会有不尽相同的数学模型，建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术，它类似一种雕塑，具有很强的技巧。经验、想象力、洞察力、判断力、直觉、灵感等在建模中会起到很大的作用。

（4）进行独创性的组合。数学模型的建立，要求我们在意识和潜意识中不断地把想法、形象和见解重新组合以构成不同的形式。例如，爱因斯坦的方程式，他并未发明关于光的能量、质量或速度的概念，而是以一种新颖的方式把这些概念重新组合起来，面对与其他人一样的世界，他却能够看到不同的东西。

（5）设法在事物之间建立联系。把不同的对象放在一起进行比较，在看似没有任何联系的事物之间寻找内在的联系，这是数学建模所要求的一种特殊的思想方式。

（6）从相对立的角度去思考问题。人们之所以能够对一个问题提出各种不同的见解，是因为他们可以容纳相对立的观点或两种互不相容的观点。研究创造过程的著名学者爱伯特·罗滕伯格指出，如果你把两种对立的思想结合到一起，你的思想就会处于一个不定的状态，然后发展到一个新的水平。

（六）培养学生的自我评价能力

自我评价是学生应用已有的知识经验，自觉地对自己或他人的思维过程或结果进行检验、判断的过程，也是自我调节、完善、发展认知结构的过程。它有利于调动学生学习的积极性、主动性，提高自学能力；有利于培养学生有理有据的思考和抉择的判断能力。在教学中，一是注重引导，培养学生自我评价的习惯。可以通过反思自纠、品析错例（如，研究往年的失败参赛作品或同学作业中的错误解答）、评价思路（如，通过阅读同一内容的优秀的竞赛作品或同一数学问题的不同解决方法）三种方式来培养学生自我评价的意识。二是加强数学思想方法及认知策略的教学。学生对问题解答的自我评价是以自己掌握的数学思想方法及认知策略为依据进行检验判定的，因此，教师在教学中不能照本宣科，要把问题中用到的方法及认知策略有机结合起来，既介绍如换元法、微分法等具体的数学方法，又介绍化归思想、极限思想、变换思想等更深层次的数学思想及进行推理论证的一般方法如综合法、分析法、系统法等。

数学课程在高职院校的课程中是一门涉及面广、收益面大、服务于各专业的重要基础课，也是培养学生整体素质不可或缺的一门课程，它肩负着为后续课程服务的重任，在高等职业院校人才培养过程中具有基础性地位和工具性作用。因此，高职院校的数学教学要按照基础理论教学以突出应用为目的，坚持“必需、够用为度”的原则，落实“打好基础、突出应用、强化能力、适当延伸”的目的，努力培养学生的数学应用素质。

【注释】

[1]黄庭希．心理学导论［M］．北京：人民教育出版社，2001．

[2]刘建州．实用数学建模教程［M］．武汉：武汉理工大学出版社，2004：13．

[3]邢宇．对数学建模形式与理念的几点思考［J］．中国现代教育装备，2007（4）：70．