史前的数学

据估计，最早期的人类大约于250000年前在非洲出现。除了一些化石，这些人基本没有留下可以证实他们曾经存在的证据。因此，要是他们之中真有形成文化，我们则对其知之甚少。那么，对于他们的数学能力，我们能谈些什么呢？

所有的人类都有一种特质——事实上，灵长类动物以及其他的动物也有——就是凭直觉去估算：对数目小的东西瞥上一眼以获知其数量。以下就有一个例子：

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如果你具有凭直觉估算的能力，你迅速看一下上面的线条就能够知道它们有三条，而不需逐条地数。现在尝试这个：

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一共有二十三条线，我知道数量皆因是我把它们从键盘上敲打出来的。通过一瞥，你最多只能说“大约有二十”或者“二十几”条线。凭直觉去估算的一个现代例子是骰子上的点数能被瞬间辨认并计算出来。

我们认为这种凭直觉去估算的特质在动物身上得到了发展，因而使得动物面临“或战或逃”的处境时可以迅速做出决定：如果面对一两只野狗你会乐于留在原地（只要你可以利用附近的一支长棍驱赶他们）；若有三只或者更多的野狗你就可能跑上最近的一棵树。

你和我都是受过教育会计数的人，我们无法记起没有计数能力是什么状况。我们看到三条线就不禁会想起数字三。然而，我们的第一任祖先，却不知如何形容三，或者更显著地，可能对三是一个数字没有概念。

大约在第一代人类行走于地球200000（空格可以帮助你识别有多少个零）年后，人类获得了人类学家所称的那种“现代型行为”：他们开始做一些异于其他动物的事情。他们发展出语言，工具，烹饪，伪装，绘画，并且开始思考世界的本质以及发展其他一切人类的本领。他们就是在石器时代以狩猎和采集为生的人类。我们对他们的数学了解得更多一点，因为自19世纪起，穴居野人的遗迹被发掘出来，而当中的发现也被那些带着头盔的探索者记录下来。

伊塞伍德骨是一块大腿骨，在1960年被发现于非洲的刚果民主共和国。这块约有20000年历史的骨头在科学家中引起争议。骨头上刻有三套凹槽，要是你去数凹槽的数量，你会发现以下的序列：（9，19，21，11），（19，17，13，11）以及（7，5，5，10，8，4，6，3）。有科学家相信，这一证据不仅证明了石器时代的人类有能力比近代土著数到更大的数（反正就是比3要大；见5页方框部分），而且每套凹槽的数目也表明他们懂得数十、奇数和质数。这个论断受到挑战，一些科学家认为这些凹槽要么就是装饰用的，要么就是让平滑的木头更容易被握紧，因而在数学上是没有意义的。

当代的狩猎部落

毗拉哈部落目前生活在亚马逊的热带雨林里。他们在丛林生存方面是无与伦比的专家。部落的语言相当简单，他们的猎人外出狩猎时只是吹口哨交流。令人惊讶的是（至少对于我们来说），他们的语言里没有数字，尽管他们与其他的部落和河流商贩交易T恤、金属刀具和酒等商品，但毗拉哈人也没打算去采用一个数系。数字在这些人的生活中毫无用处——他们生活在位于赤道的热带雨林里，这里全年都不缺食物，刚好能满足他们的生存需求。

澳大利亚的原始部落在18世纪被人发现，之前他们生活在一个狩猎社会中。拥有数字概念的部落一般有词语表达一，二，有时还有三。对于比三大的数字，他们把前三个数字进行组合相加来表示。所以一个有词语表达一，二和三的部落就能够数到九：一，二，三，三—一，三—二，三—三，三—三—一，三—三—二，三—三—三。这些人没有词语去表达比三大的数字，说明了他们很少需要用到这些数字。

尽管伊塞伍德骨的发现或许表明原始人有较好的计数能力，但平心而论，许多石器时代的部落对数字的理解都是相当幼稚的。而且，我们十分肯定我们的祖先用手指去数数，就像当今的小孩子一样——在人类开发计算能力的过程中，这是一个关键的进展。

我们人类有两只拇指以及八只其他指，要是你观看任何一个年幼的儿童去学数数或者学加法（数数实际上就是每次在基数上多加一），你会发现他们很难抗拒这十个方便的计数器。所以，我们本能上喜欢以十为单位的数字。

不需要用语言，我们可以用自己的手指来交流数，当你处于异国的时候，这作用就好比其对于同石器时代的原始人那样。他们也许会用手指表达他们无法用词语描述的数，或者跨越障碍向别人传达一个想法。

数手指的上限是十，但正如我们所了解的一样，这对石器时代的人类来说已经是绰绰有余了。随着社会的发展，更大的数需要被用上，然而，以十为单位的计数法依旧被沿用。现今我们表达数的词语通常都可以追根溯源——英语单词“twenty”和“thirty”各自来源于“two-tens”和“three-tens”。一些古老的文明如玛雅人和凯尔特人会用手指和脚趾数数，以二十为单位，而不是十，现今的一些语言还保留着与此相关的词语。法语中的八十，quatre-vingts，照字义翻译成“四-二十”；威尔士语也应用相似的一个系统：三十一在威尔士语中是ar ddeg ar hugain，意思是“二十又十又一”。

当你数手指时，或者在更具体的场合，如你要用手指向来自希腊的酒保表明你要买多少杯迈塔克瑟白兰地酒，而你用上哪些手指是无关紧要的——我们不自觉地会用上感觉更舒适的手指。比如，在表示数字四时，用上其他手指而不用拇指，并且有三只手指会在同一只手上，这样做是容易得多的（试试吧！）。无论如何，这都表明，用手指表示一有十种不同的方式，而且，手指计数系统依赖于一个人把所有手指加起来的能力。

一些文明已经克服了这些潜在的困难，为身体的不同部位附上一个数值。位于澳大利亚和巴布亚新几内亚之间的托雷斯海峡群岛的人用身体上三十个不同的部位去计数，甚至把他们作为表示数的词语。例如，对于托雷斯海峡群岛居民来说，左手的无名指表示十六，右肩膀表示八，左膝表示二十四而右脚的小脚趾表示三十三。这一系统的发展使得由几种不同语言主导的小岛可以进行有效的交流。

传统得以保留

当代，我们有高度发展的数系，几乎没有必要用手去交流数，但偶尔我们也会看到人们这样做。股票交易所的交易员有一种“公开喊价”机制，当中包含喊叫和手势，以在嘈杂的交易场中买卖股票。

对于石器时代的人类来说，生活就是狩猎和采集食物，根本没有用上许多数的需要。然而，大约10000年前，在大河流域附近肥沃的土地上生活的人类决心定居下来，发展文明。这导致了应用更大数的需要以及记录这些数的方法的出现，还有每一个学龄儿童的最爱——算术的诞生。