早期文明的数学

按照历史学家的说法，一个社会的文明进程包含五个阶段。第一阶段里人们熟练掌握生火技能——智人以及他们的祖先对火的使用也有五十万年了。第二阶段里人们会耕种农作物，而这确实需要驯养家畜去辅助。新石器革命，大约于10000年前在全球各个不同的地方出现，见证了人类开始停留在一个地方、种植作物、驯服和圈养牲畜。

早期的牧羊人需要一种点算动物的方法，因而，他们擅长于计数似乎是显然的事。难道不是吗？同样的，早期的农民需要一种方法去弄清楚日子，以便知道什么时候去播种——难道不是要用到更多的数吗？

新石器时代里人们使用一种称作卵石计数的方法。为了算出他们羊群中的羊的数量，牧羊人会把一个算筹——可能是一块卵石或者一颗果仁——放在袋里以代表羊群中的一只羊。为了查明羊群中是否有羊走失，牧羊人每数一只羊就会拿走一颗果仁。如果他们把羊都数了一遍而袋里还有剩下的果仁，他们便知道有一只或几只羊已经走失了。但愿他们是出色的牧羊人，那羊的数量只会是低位数（1—10）中的一个，而我们现在已经知道狩猎采集者是具备处理这些数的能力的。农民会用一种相似的方法去计算重要事件的到来，比如雨季的开始，又或者是候鸟的南迁，据此他们知道何时去种植作物。

剩余是农业生产与动物驯养所带来的不可避免的结果。一旦粮食超产，早期文明中的人类便开始交易他们的剩余物，这反过来促进了价值观念的形成。这是文明进程的第三个阶段——经济体的存在；在这个经济体里，货物被交换或者被出售。自然而然地，他们需要一种方法把剩余的货物载运到各个地方，所以文明进程的第四个标志就是车轮的出现，而到了公元前4000年，有轮的车似乎已经相当普遍。

随着粮食有着稳定的剩余，有些人除了搜索或者耕种粮食来保证生存外，还可以干一些别的事情去打发时间。到了公元前3000年，城镇中充斥着这样的人。庞大的城市社会要正常运作就需要良好的组织，而对大数计算的能力就是当中的关键。这种需求也因这一些新出现的、要被记录的大数而产生——也因此第一次——这些数要被写出来。在各种新涌现出的标志性的职业当中——工匠、军人、农夫、商人——一个新型的识字的阶层——抄写员——应运而生；几乎可以肯定的是，这些抄写员中的许多人都是会计算的会计——而且，必然地——也是税务员。

文明进程的第五个标识是对金属的利用，这一阶段的开始与第一个城镇的出现几乎是同期的。最早被用的金属是铜，人们用它来制作青铜器。因而我们把历史上的这一时期称作青铜器时代。

绝大多数最早期的文明都围绕着河流附近肥沃的地区发展起来，因那里的土地适宜耕种和圈养牲畜。三个显著的文明在这个时期崛起，而我们对他们了解甚多。他们是：

1．美索不达米亚人：苏美尔人、阿卡德人、巴比伦人和亚述人的总称。他们从公元前3000年开始居住在中东地区。

2．古埃及人：《旧约全书》中的坏人。他们从公元前3000年开始聚居于尼罗河沿岸。

3．玛雅人：他们来自中美洲。他们最早于公元前1500年开始发展；在公元250年后，他们进入了与美索不达米亚人和埃及人相似的发展阶段。

由于一些城市的地位变得越来越重要，并且他们依靠经济或者军事力量开始控制附近的区域，某些地区开始采用最有效的数系。遗憾的是，这类文明的早期记录没有保存下来，原因可能是这些人聚居于洪水多发的河流附近。然而，要是我们快速浏览一下从各个文明中遗留下来的一些重大考古发现，我们可以从人类那些居住在城市的远古祖先当中了解到数的书写和数系的演化。

在古希腊语中，美索不达米亚的意思是“河流之间”，而且指的是地处现今伊拉克境内、在底格里斯河和幼发拉底河之间崛起的文明——其所处的土地非常肥沃，经常被称作文明的摇篮。尽管他们文明的初期神秘依旧，但我们也了解到美索不达米亚人大量的事情，因为他们所有的写作都在泥版上完成，而这些泥版足够坚固，经得起反复的浸泡。

然而，在泥版上书写并不是容易的事。起初，美索不达米亚人使用一种象形文字，当中的每一个字都是一幅用于描述某事件的风格化的图画。可是，在又厚又湿的泥版上画出漂亮的图画是比较棘手的。于是，他们使用楔形铁笔（一种具有尖头的杆状工具）的末端去标写记号。

美索不达米亚的计数系统是以60为基数的（也被认为是六十进制），这意味着他们是以60为一个计数单元，而不是像我们现在那样以10为一个计数单元。60是很多数的乘积（数学家会说60拥有许多因子），这使得以此作为基数去做算术是方便的。我们现今依然可以见到一些遗留下来的用六十进制表示的事物——一分钟有60秒，一小时有60分钟，这些都要追溯到巴比伦人了。

巧妙的是，他们的计数系统只包含一个用铁笔末端表示的符号：

这些符号，他们最多会用九个。要表示10，他们会把铁笔旋转90度，得到一个稍有不同的符号：

所以47看起来就像这样：

按照这种方式，美索不达米亚人可以把数书写到59，并且分别用一个子数位记录一和十各自的组合。书写比59大的数时，他们会在前一个数旁边写上另一个数（就如同我们进位之前最多只能用一个数位表示到9）。鉴于我们把数位表示为个位，十位，百位，千位，等等，根据我们思考的方式，美索不达米亚人的数位是个位，六十位，三千六百位，二十一万六千位。一个美索不达米亚人会把我们的数字437想成7个60（7×60＝420）加上17，他们会写成这样子：

虽然，这似乎是一个相当优秀的计数系统，好像与我们的计数系统差不多，但这当中存在着好几个问题。第一个问题是直到公元前500年，美索不达米亚人还没有表示零的符号，这意味着他们没法表示空的数位。例如，如果我写下205，中间的零告诉你，我的意思是两个一百再加上五，没有其他的了。美索不达米亚的计数系统是有缺陷的，因为缺乏在数中间和后端对空数位的表示。比如：

这看起来像60＋10＝70。但在中间可能有一个空的数位，这种情况下，数字就会变成3600＋0＋10＝3610。或者在末端可能还有一个空数位，这样我们又得到了216000＋60＋0＝216060——区别是相当的大。看来，为了最合理地对读数进行解读，美索不达米亚人倾向于依赖数使用时的背景。

早期的算术

许多人认为算盘（abacus）是电子计算器的上古世界版本。实际上，附有算珠的算盘——大多数人听到算盘这个词时都会联想到的工具——是一种较为近代的科技，在公元1000年以后首先在中国流行起来。

人们认为“abacus”一词起源于希伯来语中表示“尘土”的词语，而早期的算盘也仅仅是——一块木板或者一个水平面，上面布满了在计算时可充当便笺的尘土。最终，尘土被一块带有算子的木板取代，这些算子可被放在表示数位的竖行中，使得进行大数的加法时不需要数超过十的数。

后来，罗马人使用卵石充当算子，或者是拉丁语中叫calculi的东西（从这个词中我们得到calculus和calculation）。在英格兰，我们把算子称作“counters”，这就是为什么店铺会把算盘放在柜台（counter-top）上。

当美索不达米亚人试图把两个数相乘时，第二个问题出现了。无论你以何种方式在十进制的计数系统下进行乘法，你都需要牢记九九乘法表（因为9是我们拥有的最大的个位数）。然而，根据美索不达米亚的计数系统，你需要知道一个59×59的乘法表！我们认为他们会把关键的乘法表写在小泥版上，以借助这些乘法表进行乘法运算。但尽管如此，他们课堂上的乘法表测试都会是一场噩梦。

考古学家已经发现了数百块写满了美索不达米亚式数学运算的泥版。看起来美索不达米亚人能够运用分数，能够算出矩形和三角形的面积，能够算出比较复杂的等式。我最欣喜的是，在许多泥版上似乎都写有数学作业！但要体味到这一点，你也许要成为一名数学教师……

古埃及人天赋秉异。他们建造的金字塔许多都经历了4000个春秋依然屹立不倒，另外，他们也发明了在纸莎草纸上写字。纸莎草纸是一种有纸质感的材料，用芦苇相互交织而成。比起处于更北位置的美索不达米亚人用来写字的泥版，纸莎草纸是一种更适合书写的材料。同样的，与美索不达米亚人不同的是，古埃及人并不拘泥于使用单一的符号。然而，因为纸莎草纸会腐烂，尤其是弄湿了的时候，这确实意味着古埃及人大量的书稿随着时间而毁掉了。

埃及人似乎也不拘泥于单一的书写体系。

埃及的象形文字举世闻名——埃及人会把象形图刻在他们的纪念碑上，而这些纪念碑在法军于1799年掘出罗塞塔石碑之前仍然披着神秘的面纱。

象形文字等同于古埃及人的书法——一种仅用于婚礼请柬或者题字的装饰性文字。埃及人也采用另一种称为僧侣体的书写体系，并把其应用到日常生活中——这种体系使得抄写员可以更便捷地在计算时打草稿。

象形文字拥有表示1，10，100，1000等等的符号，古埃及人会结合这些符号去表示一个数：

因此，如果一个埃及人想要在拉美西斯新近的方尖碑上表示他坐拥的1234辆战车，这个埃及人便会用到以下的符号：

因为加上所有的符号就能够得到想要的数，埃及人便可以随心所欲地以自己喜欢的顺序和方向去书写符号——可非常便捷地作装饰之用。

僧侣体的计数方式就更复杂一些，因为每一个一，每一个十，每一个百，以及每一个千都要用不同的符号来表示。比如，表示40和50的符号是相互没有联系的。似乎，这种计数方法是依赖于这样的一个事实，那就是，抄写员需要熟悉各个符号，并且，要么能够心算，要么能够把一些复杂晦涩的结果转换成用象形文字表示的数。

有三部重要的数学著作从古埃及流传下来：《莱因德纸草书》、《莫斯科纸草书》和《柏林纸草书》。这三部著作均记有算术问题和几何问题，并且，有趣的是，还首次记有与妊娠测试相关的信息。

从这三部著作之中我们了解到埃及人使用分数。然而，他们仅仅使用分子为1的分数——那就是说，分数线上方的数字只能为1。他们会把这些单位分数累加，以表示更复杂的分数。举个例子，他们会把3/4认作是1/2＋1/4。虽然有点繁琐，但这种方法还是经受了时间的考验——直到中世纪时数学家还在使用单位分数。

金字塔的建造者显然对几何有深刻的理解；纸莎草纸上的文稿中记载有他们着手构造这些古老建筑的相关细节。金字塔由大量的石块堆砌成层，而金字塔的倾斜度就由两层之间重叠部分的大小来决定——重叠得越多，金字塔就越陡峭。埃及人想出一个办法去根据不同倾斜度的需要来设计重叠部分的大小。这也暗示了埃及人或多或少知道点毕达哥拉斯定理（参见此处），这一定理使得他们只要知道直角三角形其他两边的长度就能求出第三边的长度。

当然，关于古埃及人还流传有许多不靠谱的推测，当中就有说他们是从传说中的亚特兰蒂斯（或者是外星人，又或者是时间旅行者……）那里获取超高端的技术。我不能断定这些说法的真伪，但我确实知道古埃及人是非常聪明的。

一个关于高度的顺序

我总是觉得胡夫金字塔的修建是古埃及人最非凡的成就。胡夫金字塔于公元前2560年建成，直到公元1311年林肯大教堂竣工之前它都是世界上最高的建筑——这中间相隔了将近4000年！

在第一个公元千禧年到来之际，玛雅人在文化和数学的发展上已经达到了与美索不达米亚人和古埃及人相当的水平。随着时间的推移，他们多少有点衰落了，但在15世纪初期，在西班牙入侵者抵达时，玛雅人已成功重现之前的鼎盛。

玛雅人留下大量的遗迹，这些遗迹都揭示了他们是怎样进行数学演算的，不幸的是，西班牙入侵者到来后力图迫使当地异教徒皈依天主教，几乎所有的遗迹也就此被毁掉了。《德累斯顿法典》是三部幸存的玛雅作品之一。尽管在第二次世界大战期间它遭到严重损坏，但该书依然包含大量的信息让我们洞悉玛雅数学的发展。现今，在墨西哥和危地马拉境内的许多幸存的纪念碑都刻有数值信息，比如日期。

美索不达米亚文明和古埃及文明之间有知识交流，与之不同的是，玛雅文明完全在孤独的环境中发展。他们也无法达到“文明进程”后两阶段的标准：他们没有车轮，也许这是因为在他们居住的中美洲并没有过大的负载需要运输；他们似乎也没有能力鉴别金属。然而，尽管在技术上依然处于石器时代，但玛雅人能够建造庞大的城市，其中一些城市的人口数量还超过了50000。

那么，他们的数学又是怎样的呢？《德累斯顿法典》仅与占星学和天文学相关，所以我们了解到的玛雅数学都是从这两个学科得知。

玛雅人采用二十进制计数法，在这之中还使用了五进制计数法（与美索不达米亚的六十进制计数法和十进制计数法非常相似）。

与现代数学一样，玛雅数学也涉及到位值：依附在每一个数位上的值。与现代数学不同的是，玛雅数学是纵向排放数字的，位值最大的被安置在最顶端。因为玛雅人以20为一组来计数，所以纵列上某一水平位置上的数是下一水平位置上的数的20倍。从底部开始，数是这样算的：一个或几个1，一个或几个20，一个或几个400，一个或几个8000，诸如此类。那么我们的数8577就是一个8000，一个400，八个20和十七个1，依玛雅人所见就是这样：

玛雅人用符号去表示纵列上空的水平位置，他们拥有零的概念，这就避免了美索不达米亚人要面对的困惑。因此数419（一个400，零个20和十九个1）看起来就是这样：

《德累斯顿法典》中包含的信息可以佐证，玛雅人的生活方式受到占星学管束。例行的献祭是玛雅文明中的主体，人们认为这有助于玛雅人延续自己的宇宙哲学。

高级祭师被委以重任，他们要探索出最能取悦神灵的祭祀仪式，同时负责确定太阳、月亮和金星所在的位置。他们发展出一套由不同历法构成的体系，这些历法被玛雅人同时使用。他们拥有一个以365日为一年的称为哈布历的民用历。该历法以20天为一个月，一年有18个月，再加上5个“不知从哪里来”的称作“Uayeb”的倒霉日，总共就是365天。

玛雅人主要使用卓尔金历，这个历法以260天为一个循环。玛雅人把一个星期设计为13天，他们相信20位神灵都与每年的某天有所联系，而且13×20＝260也刚好是一个循环。卓尔金历是在日常生活中使用的，通常被用来算日子。

每隔18980天，以260日为一个循环的历法和以365日为一年的历法又会同时开始，如他们所说，也就是经过73个260日的循环或者52个“不精确的”年循环。那些天里，52岁被认为是长寿，所以，为了记录历时比这更长的任何事物，玛雅人也使用另一种历法——长计历。这种历法被用来记录重要事件发生的日期，比如国王驾崩或者火山爆发；他们把这些日期用石质的工具刻在寺庙和雕像上。在以360日为一年的情况下（忽略了Uayeb，5个不知从哪里来的日子——他们不希望为自己的遗迹带来厄运！）使用二十进制的玛雅人推算出每20年就会迎来一个k'atun，而20个k'atun组成一个b'ak'tun。一个b'ak'tun大概就是395年。玛雅人需要为日期的开始定立一个起点——如同我们现在把耶稣的诞辰作为公元元年一样——这一天被定在公元前3114年。一切重要的日子都从这个时间点开始计算。

世界末日

当前的b'ak'tun在2012年12月就会完结（译者注：作者写这书的时候还未到2012年12月31日）。有些人相信玛雅人利用他们超凡的智慧预测地球将会在这一天毁灭。然而，这些人没有意识到玛雅人其实是留有一手的，他们的历法至多可以扩充3亿670万天。所以，我不会担心世界末日。

美索不达米亚、埃及以及玛雅的文明都有许多共同之处。从数学上来讲，他们对数的使用是面向应用的，是一种达到目的的手段——不管那目的是征税，是推算下一次日食的时间，抑或是如何建造一个金字塔。在那些文明里，数学从未为自身的发展而服务。美索不达米亚人和埃及人确实拥有大量的知识，我们要谈的下一个文明——古希腊文明就建基于这些知识。

格里高利历法

自古时候开始，人们广泛接受一年有365零1/4天。尤里乌斯·恺撒在公元前45年鼓吹使用儒略历之后，这个对年的概念在罗马帝国就大行其道。每隔四年他们还有一个闰日。

但事情开始变得有点失衡，在观察一年里的一些固定的日期点时，比如春分和夏至，人们发现随着时间的推移，每一年的这些日期都不是在同一天。究其原因，就是一年并没有多出四分之一天，而是比四分之一天少11分钟——这没有太大的不同，但经过数百年后就会累积出一个相当大的误差。

直到16世纪，这个误差合计已有10天，教皇格里高利十三世对此忍无可忍。欧洲的大多数天主教国家都转用格里高利历法，这让一切都重回正轨。英国一如既往地对欧洲大陆的进取之举抱有怀疑，依旧沿用旧历法一直到1752年，从那时起，日子一下子从9月2日跳到9月17日。俄国人直到1918年十月革命之前都在使用旧历法，根据新历法，这场革命其实是在11月发生的。