罗马的数学

公元前146年，希腊本土被罗马人征服。罗马帝国在此后的200年达到鼎盛，占据了地中海及其周边的所有地区。

遵守制度是罗马人生活的主要方面，而这也反映到他们的教学系统中。较富有的年轻人会被教授基本算术，并且很可能是在家里学习的，但他们接受教育的主要目的还是要理解其社会的运作。演说被认为是教育中最高级的内容，另外，男孩会接受体育训练，他们之后会去服兵役，而女孩会被教授家政学，她们将会是持家的不二人选。

在较高等的数学方面，相对于他们的希腊前辈而言，罗马人学得不多。罗马人是一个非常务实的民族，他们把精力都集中在工程学和医学的发展上；务实的心态并不适合为数学本身而探索数学。

罗马人从希腊人那里继承了计数系统，但也于事无补。罗马数字的意义取决于它们在一串字母中所处的位置，因而用这些数字来计算是相当困难的。

基本的罗马数字如下：

I：1

V：5

X：10

L：50

C：100

D：500

M：1000

罗马人写数是从左边开始的，并且以最大的数字开头。所以，为了读出一个数，你得从左到右地把数字加起来。例如：

MMMDCLXVII就是1000＋1000＋1000＋500＋100＋50＋10＋5＋1＋1＝3667

然而，罗马人设计出一种便捷的方法，当一个数的值与另一个罗马数的值相近时适用。这种方法把一个字母排放在序列外面，表示要从下一个字母的值减去它表示的值。

例如，在普通的写法中，数9 9 9应该写成DCCCCLXXXXVIIII，但用便捷的写法它就可以写成IM。然而，这当中似乎没有既定的书写规则。而且，要是能够避免，罗马人似乎不喜欢把I放在M或者C的前面。因此，999更可能写成CMXCIX，就是（1000-100）＋（100-10）＋（10-1）＝900＋90＋9＝999。毋庸置疑，有多于一种写数方式不会为生活带来任何便捷！

罗马帝国包括古老的希腊帝国，因此，希腊的数学传统得以延续。罗马帝国的数学研究都集中在埃及的亚历山大。那是一个非凡卓越的学术中心，在公元前331年由希腊的首领亚历山大大帝建立，当时他正横跨欧亚一路东征。

海伦是亚历山大的一名科学家和数学家，他因详述了一台原始蒸汽机而闻名，也许还因为他是第一个借助风车在陆地上驾驭风能的人。

海伦对数学也做出了两大贡献：

1．他提出了一个在只知道三边长度的情况下计算三角形面积的公式。

2．他想出一个计算平方根（一个与自身相乘后得到某一特定值的数）的方法。

有很多种方法计算三角形的面积。我们大多数人都在学校学到这条公式：

三角形的面积＝1/2×底×高

要运用这条公式，你需要确定哪一条边作为底边，同时也要算出三角形的高。如果三角形不是直角三角形，那么高就不会是其他的两边。

海伦定理不再需要选择底边和测量高的长度，尽管这是以定理的简洁性为代价的。

三边长度分别为a、b、c的三角形面积＝

海伦计算平方根的方法是运用公式产生一个新值，这个新值随后会被代入到公式，而这个过程会重复许多次，直到得出的结果越来越接近真实的值。

这种手法称为迭代——数学发展的另一个重要产物。例如，如果你要算出2的平方根，而这个值我们在前面已经看到，是一个无理数——一个不能写成分数的数，而且它小数位上的数字是无限不循环的（参见此处）——海伦的方法运用起来就像这样：

新值＝1/2×（旧值＋R÷旧值）

R是你要求平方根的数。你第一次运用公式时，“旧值”是不存在的，所以你需要作一个估算。2的平方根一定在1和2之间，因为1×1＝1而2×2＝4，而2又在1和4之间。我们选择一个中间值，1.5，看看得到些什么：

新值＝1/2×（1.5＋2/1.5）＝1.41666666……

现在你可以重复这个过程，用1.41666作为旧值：

新值＝1/2×（1.41666＋2/1.41666）＝1.414215686

新值＝1/2×（1.414215686＋2/1.414215686＝1.41423562）

新值＝1/2×（1.41423562＋2/1.41423562）＝1.41423562

此时，你应该注意到旧值与新值相等，所以我们的工作完成了——而这个值也确实是2的精确到小数点后8位的平方根。

如果你想求出另外一个数的平方根，你需要用另外一个R开始。要注意的是，如果你为R取一个负值，这条公式是不可用的。例如，如果R的值为-2并且你的初始估值为1，那么就有：

新值＝1/2×（1-2/1）＝-0.5

如果你像之前那样重复求解过程，你就会得到：

1.75

0.3035714286

-3.142331933

-1.252930967

0.1716630854

这个过程没完没了，不会得到一个稳定的值。为什么呢？因为负数没有平方根——负数乘以负数总是得到正数。因此，公式是在寻找一个不存在的值。

然而，海伦认为负数是可能拥有平方根的，但这需要一点想象力（参见此处）。

丢番图自公元250年开始居住在亚历山大，因为他对方程求解所做的贡献，他有时被称为“代数之父”。今天，提起代数，大家联想起的就是用字母去替换数，然而，丢番图没有遵从这个原则。在真正的符号代数被发明之前，数学家不得不用普通文字去描述方程。

如今，很容易就能写出一条代数方程，比如：3a＋4a2。然而，丢番图的方法要比这费劲得多，他对方程的描述包含以下的话：“3乘以未知数再加上4乘以未知数与自身相乘的积。”这让方程的求解变得棘手，在书写和阅读两方面都是。

丢番图对毕达哥拉斯的定理颇感兴趣。当他尝试算出周长为12而面积为7的直角三角形的三边时，他注意到一些奇怪的事情。它产生了一条不可解的方程，这预示着该尺寸的三角形不可能存在。然而，丢番图谈到，如果负数拥有平方根，他就能够解这个方程——这将意味着该三角形是存在的。很久以后，这些数被称为复数（参见此处），因为要避免这个问题，你得构想出一个数作为-1的平方根，而这个数是用符号“i”表示。

他对毕达哥拉斯定理的兴趣引发了另外一个几百年后才被解决的数学谜题。丢番图对毕达哥拉斯三元组感兴趣，而毕达哥拉斯三元组是一些诠释该定理的整数方程。

例如：

32＋42＝52

52＋122＝132

82＋152＝172

在他的大作《算术》中，丢番图介绍了如何找出这些数的方法。1637年，法国数学家皮埃尔·德·费马在他那本《算术》的副本中留白的位置上写到，当数的幂不是2时，要找到毕达哥拉斯三元组是不可能的。他以一条撩人的评论结束，而这评论也戏弄了数学家们好几年：“我已经找到对此命题的一种非常了不起的证明，但此留白的位置有限，我无法把证明写下来。”

这番无伤大雅的话提出了一个历时350年的挑战，那就是要去解决称为费马大定理的难题。

解谜

尽管我们对丢番图的生平知之甚少，但一个迷人的谜语，有时被称为“丢番图的墓志铭”，与他关联甚大，能让我们对他在地球上活着的日子有个简短的认识。公元6世纪的某一天，希腊哲学家梅特罗多劳斯在一本谜语书中首次注意到这个谜语。

“丢番图躺在这里，”人们惊愕地注视着。

通过代数演算，石头能道出他的年纪：

上帝赐予他1/6的生命作为童年，

1/12的生命作为青年，那时他的胡子长满脸庞；

在结婚之前他又渡过了1/7的人生；

又过5年，他迎来了新生的儿子。

唉，圣贤之子

当儿子的年纪达到父亲岁数的一半时，

冷漠的命运打击了他。

他掌控自己的命运，用4年时间研究代数，随后，他的生命终止了。

你能算出丢番图死的时候是多少岁吗？

亚历山大的数学家、哲学家和天文学家希帕蒂亚是塞翁的女儿。塞翁创作了欧几里得《几何原本》的一个版本。他用教育儿子的方法去教育女儿，这令希帕蒂亚得以接触到她的希腊祖先那些丰富的哲学遗产。

希帕蒂亚是一名老师，专门研究柏拉图和亚里士多德的哲学，此外，她在数学、物理学和天文学方面都有所钻研。她编辑了父亲版本的欧几里得和丢番图的著作，以她作为老师的视觉去帮助读者理解当中较难的部分。

人们大多认为希帕蒂亚是第一个对数学和科学做出贡献的女人，虽然她的原创作品几乎没有流传下来。她穿着学者的长袍，而不是女士服饰。她经常驾驶马车穿梭于城市之中，无人陪伴，在那时这被认为是非淑女的行为。那时候的罗马基督徒认为希帕蒂亚是一个异教徒。她的演讲是来者不拒的，不论种族，不论宗教，这一点被基督徒盯上了，从而引发了暴乱。这种分歧不可避免地以流血告终。在公元415年3月，希帕蒂亚被一个基督教暴徒残忍地杀害了。

罗马帝国在公元380年分崩离析。缺乏了庞大的官僚机构以及罗马人曾经灌输的森严戒律，西欧进入了人们所说的黑暗时代：据说，这个时期，人类在智能上几乎没有发展过。