东方的数学

数学的历史并不局限在欧洲。中国、印度还有中东的一些国家在这门学科上有着深厚的底蕴。而且，一般来说，数学知识是由东方传到西方的。当欧洲陷入了黑暗时代，东方的数学发现确保了这一学科还在不断地突破发展。

中国的历史由朝代构成——一系列统治家族创建了不同朝代，他们统治时的第一要务就是清理所有的前朝遗物。正因如此，许多重要的中国数学研究都流失在历史长河中。

我们对中国数学的认识大部分都归功于同为学者和官员的秦九韶（1202—1261年）。他写了一本名为《数书九章》的书，书中讨论了与政府官员相关的涉及许多方面的实用性数学。秦九韶的书也详述了中国的数学史，并且清晰地介绍了中国的数学家及其在数学上的领先研究。

把所有都加起来

中国的数字建基于一个称作算筹的系统：把短棒按某个顺序放在一起，表示某个十进制数。他们书写数字也单单是把短棒的某种排列画下来。

公元700年，中国人从印度（参见此处）那里借来零的概念，这意味着他们是其中一个最先使用完备的十进制计数系统的国家。

《周易》是一本著名的中国书籍，至少写于公元前1000年，还可能更早。据此书所述，你可以使用经卦和别卦去占卜未来，这两种卦各自都有相应的数学起源。

经卦是三条横线，每一条线要么是阳（线是连续的）要么是阴（线是断裂的）。按照这种方法，可以构造八个不同的经卦，而每一个经卦都被赋予了各种各样的意义，包括一些中国的元素：土、山、雷、水、湖、风、天堂、火。

两个经卦可以组合成一个别卦，因此8个经卦就可以组合出64（8×8）个别卦——你可以用它来预测未来。占卜者要熟悉每个经卦与每个别卦的解析，以能够编织出一段预测你未来的话。

德国哲学家戈特弗里德·莱布尼茨（参见此处）被中国的哲学吸引，他注意到《周易》中的经卦和别卦可以写成二进制数——这种数制以2为基数，而不是10——如果阳是1，那么阴就是0。

祖冲之（公元429—500年）是中国的天文学家与数学家，他的发现在那时是领先时代的。祖冲之计算的多个天文常数达到了非常高的精度；他也运用阿基米德的穷举法，利用超过12000条边的多边形独自一人计算出π的值。他算出了一个可行值，这个值精确到了小数点后六位（参见此处）。经过了1000多年，欧洲人算出的值也未能达到这个精度。

《九章算术》是其中一部最古老、最重要的中国数学著作，大概成书于公元100年。这本书向我们展示了与希腊文明几乎同期的中国数学状况。其章节包含以下内容：

1．平面几何图形面积的计算方法；

2．谷物粮食的按比例折换；

3．比例分配法则；

4．除法；平方根和立方根；圆的面积和球的体积计算；

5．其他立体的体积计算；

6．合理摊派赋税；

7．解方程；

8．一次方程组；

9．毕达哥拉斯定理。

虽然中国人比希腊人更关心实际问题，但我们可以看出大家在数学方面的发展是并驾齐驱的。

宫廷太监贾宪（1010—1070年）研究的三角形在后来被欧洲人称作帕斯卡三角形（参见此处），他被认为是对此三角形进行研究的第一人。中国数学家杨辉（1238—1298年）在1261年发表了贾宪的发现，这比帕斯卡公开他的发现早了400年。贾宪也对我们称为幻方的东西很感兴趣。幻方长期以来一直吸引着中国的数学家。一个幻方是一个由数构成的方阵，其中，每一行，每一列，每一条对角线的和都相等。例如：

4　9　2

3　5　7

8　1　6

在上面的例子里，每一行，每一列，每一条对角线的和都是15。这个幻方称作洛书河图，因为这个方阵与一个传说有关。在传说中，洛河泛滥，一只神龟把幻方背在壳上去帮助受灾的人们。

中国的算盘

在公元1000年的某个时候，中国人开始使用带有算珠的算盘，然而，在此前的一段时间内算盘已经问世，而且影响了西方的算盘。

这种算盘在杆上挂有算珠，而算珠是分为两层的。杆在下层的部分挂有五个算珠，每一个算珠表示一；杆在上层的部分挂有两个算珠，每一个算珠表示五。每一根杆都表示一个十进制数位（个位、十位、百位，等等），而把算珠推向中间的分隔版就能表示一个数。比如，123456看起来就是这样子：

每一层多出的算珠可作计算之用。

1920年，印度西北部的考古挖掘发现了存在于公元前3500年到公元前2000年的印度河流域文明。这些青铜器时代的居住地，比埃及和美索不达米亚的城市地区更加先进，这表明古印度人对基本数学概念有很好的认识，而且拥有一个标准化的度量衡系统。

古印度的宗教文献也包含数学知识；在印度教中，数学、天文学和占星学被认为是同一个领域的学科，而且都有宗教寓意。根据宗教规定，每一个祭坛的占地面积都要相同，即使它们形状不一或者用不同外形的砖块堆砌而成——要做到这一点，人们需要掌握良好的几何知识。公元前700年的文献显示，古印度人掌握了毕达哥拉斯定理、无理数以及计算无理数的方法。

天文学家婆罗摩笈多（598—668年）是第一位把零作为数的人。印度的计数系统是我们今天所用的印度-阿拉伯计数系统（参见此处）的前身。这个计数系统随着时间不断发展，到公元1世纪末期已经非常完备了。在婆罗摩笈多把零作为一个数之前，零在许多计数系统中都只是一个为了显示间隔而使用的占位符。然而，婆罗摩笈多认为0是一个介于1和-1之间的整数。他写下了零在算术中的使用规则，同时也写下了负数的使用规则。

有用的函数

阿耶波多（475—550年）是一名天文学家，他被认为是第一个提出三角函数以及正弦、余弦和正切等概念的人。我们今天通常使用三角函数去计算三角形边的长度和角的度数。

婆罗摩笈多意识到方程的解可能为负数，进而，任何正整数都拥有一个正的平方根和一个负的平方根。例如，36的平方根是6和-6，因为，如婆罗摩笈多所说，两个负数相乘会得到正数。

婆罗摩笈多也因为钻研出婆罗摩笈多公式而著名。这条公式告诉我们如何求圆内接四边形的面积——该四边形的每个顶点都落在圆周上：

当代的印度数学

斯里尼瓦瑟·拉马努金（1887—1920年）是印度的数学天才。从大学辍学后，他在政府机构担任记账员，在那里他把自己的论文发给了多个英国数学家，希望他们能阅读。英格兰数学家高德菲·哈代（1877—1947年）看出了拉马努金的天赋，为他在马德拉斯大学安排了一个研究职位。

1914年，拉马努金到剑桥大学加入哈代的研究。他在英格兰逗留了5年，成为那时候皇家学会史上最年轻的成员，并且发布了研究成果，最终取得一个学位。然而，拉马努金经常生病。

在他的一次生病期间，哈代在拜访他的时候提到自己的出租车号码1729“相当枯燥”。拉马努金立即反应到1729是能以两种方式分解成两数立方和的最小整数，如此看来，这个数字其实是挺有趣的：

13＋123＝1＋1728＝1729

93＋103＝729＋1000＝1729

有更小的数可以分解成两个数的立方和。但是，1729是能以两种方式分解的最小整数。拉马努金能瞬间意识到这一点，这简直不可思议。

在短暂的人生之中，拉马努金想出了大约4000条定理、方程以及恒等式，这些成果至今依然影响着数学研究。

如果你知道内接四边形周长的一半（我们记为“s”），那么就能用婆罗摩笈多公式求出该图形的面积：

√（s-a）（s-b）（s-c）（s-d）

尽管印度人明显是出色的数学家，但当英国人在17世纪开始掌管印度时，他们认为这些落后的异教徒除了便宜的劳动力和巨大的自然资源外，没能做出什么有价值的贡献。直到近100年，我们才开始赏识来自次大陆的数学遗产。

伊斯兰教的创立人穆罕默德生于公元570年。在穆罕默德出生后的两个世纪里，伊斯兰帝国统治了中东、中亚、北非以及后来成为西班牙和葡萄牙的地区。这个伊斯兰世界的鼎盛时期见证了重要的数学发展从帝国治下的那些国家中涌现出来，而此时的欧洲还处在黑暗时代。

伊斯兰教本身对科学是相当宽容的，这与中世纪时期欧洲所奉行的思想大相径庭。在那时的欧洲，要是质问或者研究由上帝创造的世界就会被认为是异端。

伊斯兰帝国也致力于吸取古老世界的知识。古希腊、拉丁、古埃及、美索不达米亚、印度、中国以及波斯的书籍全都被伊斯兰的学者翻译了，以方便他们帝国的科学家和数学家去阅读。

数学家阿尔·花剌子模生于地处现今乌兹别克斯坦的地方，人们认为他对数学做出了几个重要的贡献。虽然他有几本原作流传于世，但我们对他的了解主要是通过他某些著作的拉丁文版本。人们之所以要把那些著作翻译成拉丁文，是为了以后把它们引进欧洲。

阿尔·花剌子模最重要的遗产之一就是我们今天仍然在使用的印度-阿拉伯计数系统。阿尔·花剌子模的计数系统源于他的著作《花剌子模算术》，该系统的前身早于公元前300年在印度得到发展，而后流传到波斯，引起了算术的革命。

直到那时，没有一个文明拥有一个可以在计算中方便使用的计数系统。数总是被转换成字母或者符号（要么在心里转换，要么使用算筹、算盘或者其他工具）。计算完以后，结果又重新转换成数。表示一个数就要用到大量的符号，当中的许多符号并非一看就能够知道其表示的值。

印度—阿拉伯计数系统仅包含十个符号——0 1 2 3 4 5 6 7 8 9——可以用它们来写出任何数。需要着重注意的是，这些符号就是那个模样——并没有用条纹线或者一连串的圆点去把它们与其表示的值关联起来。零（源于阿拉伯语zifer，意思是“空的”）的存在意味着依据符号在数中所处的位置，符号可以拥有不同的值——这让人们从美索不达米亚人所面对的难题中解放出来。今天，位值的概念被认为是理所当然的。8在80里表示八个十，在一些零的帮助下，还可以表示为800或者8个百万，这个想法在当时是革命性的。实际上，欧洲的学者对这种异端的计算方法抱有深深的怀疑，尽管它有一定的优点。

在《花剌子模算术》一书中，阿尔·花剌子模描述了如何应用这些新的数去进行算术运算。他的译者把他的名字译成拉丁文“阿拉伯计数法（Algorism）”。久而久之，花剌子模的计算方法被称为算法（algorithms），这个词我们今天仍然在用，它指的是按照一系列指令去执行运算——这绝对是阿尔·花剌子模想要的意思。

数学中的替换

阿尔·花剌子模的另一本著作《代数学》致力于展示如何去求解二次方程（未知数的次数为二的方程）。“替换”在阿拉伯语中是Al-Jabr，从这个词我们得到（通过拉丁文）英文单词代数学（algebra）。尽管阿尔·花剌子模自己没有用字母去替换未知数，但他确实为这种方法的出现铺平了道路。

波斯学者莪默·伽亚谟最著名的就是他的《鲁拜集》，那是一本诗集，在19世纪被诗人爱德华·菲兹杰拉德翻译后引入了英格兰。多才的莪默·伽亚谟生平的大部分时间都是担任皇宫的天文学家和苏丹，同时，他也是一名科学家和数学家。

莪默·伽亚谟的数学工作影响广泛。他扩展了阿尔·花剌子模早期在代数学上的研究。他也是其中一名最先在方程中用字母替换未知数而使解方程变得简便的数学家。他也研究出一种解三次方程的方法，在该方程中，未知数的次数是3。伽亚谟的学识使得他成为其中一个最先把几何与代数联系起来的人，那时候这两个学科是没有交集的。

伽亚谟也钻研二项式定理。这个定理在数学上有众多应用，当中的许多都与微妙的代数相关。二项式定理的一个副产物是帕斯卡三角形，那是以17世纪的法国数学家布莱兹·帕斯卡来命名的。帕斯卡从伽亚谟那里借用了这个三角形，而伽亚谟又从中国人（参见此处）那里也用了它。与二项式定理不同的是，帕斯卡三角形简单易懂：三角形中的每一个数都等于其所处位置上面的两个数的和。

帕斯卡三角形相当有用，因为三角形的每一行都罗列了二项式定理展开式中的二项式系数。这些系数告诉我们两个不同的物体可以有多少种组合。

例如，想象一下你要在一行里种植四个花蕾。包装上说明花可能是蓝色也可能是粉红色，而这两种情况出现的概率均等。

只有一种方式去栽种四朵蓝色花：

BBBB

有四种方式去栽种三朵蓝色花和一朵粉红色花：

BBBP

BBPB

BPBB

PBBB

栽种两种色的花各两朵就有六种方式：

BBPP

BPPB

PBBP

PPBB

BPBP

PBPB

有四种方式去栽种三朵粉红色花和一朵蓝色花：

PPPB

PPBP

PBPP

BPPP

仅有一种方式去栽种四朵粉红色花：

PPPP

如果你看完三角形的第四行，你会发现该行的数是1，4，6，4，1，这跟上面那些栽种方式的数目是——对应的。因为蓝色和粉红色的概率均等，你最后很可能种上两种色的花各两朵，因为这种情况有6/16的机会发生。

伽亚谟也写了一本书去解决欧几里得的第五公设。这条公设长期以来都使不少数学家绞尽脑汁。欧几里得的第五公设与平行线相关，因此通常被叫做平行公设。

想象一下存在两条线（PQ和RS）与第三条线（XY）相交。在PQ和RS之间我们得到四个分别位于XY两侧的角：a，b，c和d：

平行公设表示，如果你把位于XY同一侧的两个角相加（例如a＋b或者c＋d），那么PQ和RS就会在和少于180°的两角所在的一侧相交。如果两角和等于180°，那么PQ和RS就相互平行，因而永不相交。

然而，几个世纪以来数学家一直在争论，他们认为这条公设不是欧几里得认为的那样不言自明。伽亚谟是第一个举出反例的人，他提出当平面是弯曲时，欧几里得的平行公设不成立。因此，伽亚谟极力推广椭圆和双曲几何的思想，这对之前一直沿用的欧几里得几何来说是一个直接的挑战。类似的主意最终帮助阿尔伯特·爱因斯坦提出他有关时空和引力的想法。