文艺复兴之后

早在12世纪，文艺复兴就在意大利开始，见证了人类在各个领域突飞猛进。文艺复兴激发人们对古老文明产生新的兴趣，使得大家对科学、文化、哲学大为赏识——更不用说在这些方面上投资——而14世纪欧洲富有的资助者当然会慷慨解囊。

文艺复兴首先在意大利的佛罗伦萨引起轰动，当地非常富有的美第奇家族成为艺术和文化的资助者。莱昂纳多·达·芬奇就是一位受益于他们那善举的人。

达·芬奇几乎在各个知识领域里都有傲人天赋，这使他成为一个传奇。达·芬奇对艺术和科学同样擅长。他出众的能力和想象力使他能够画出《蒙娜丽莎》，能够发明飞行器，还能够取得其他非凡的成就。

达·芬奇也是一个狂热的解剖学家，可能他希望把一些真实的元素带进自己的艺术作品。他对人体各部分的相对比例很感兴趣，而他的名作《维特鲁威人》显示出他对这方面的理解。

这幅画作的名字要追溯到罗马的建筑师维特鲁威斯。他认为人体的比例理所当然是赏心悦目的，这让他在设计建筑物的时候也采用相似的比例。维特鲁威斯认为肚脐是人体天然的中心点。他相信当人体展开四肢时围绕此而做出的正方形或者圆能展现出身体的自然比例。许多艺术家尝试依照维特鲁威斯的比例来画人体，但所有作品看起来都是有点畸形的。然而，达·芬奇发现，当正方形的中心和圆形的中心重合时就能画出正确的比例。

帮他一把

尽管达·芬奇没有被培养成一名数学家，但他确实花时间从著名的数学家和会计师卢卡·帕西奥利那里学习知识。达·芬奇为卢卡·帕西奥利的一部著作创作了不少立体的画像，并且利用专业的透视技巧把图形画得相当清晰。

波兰的天文学家尼古拉·哥白尼是其中一个最先提出太阳中心学说的人：地球不是宇宙的中心；事实上，地球是围绕太阳转动的。尽管这本身不是一个数学发现，但哥白尼探索这一理论的方法为数学和科学带来了深刻的影响。

据《圣经》所述，地球是宇宙的中心。这个假设虽然有点自大，但也是合情合理的。毕竟，太阳和月亮似乎每天都在围着地球转动；夜空中的所有其他物体似乎都在做着同样的事情。

然而，一个在天文学方面的探索很快就揭示出这个假设存在问题。例如，有时候行星似乎在作反向运动，要是地球是静止的，这个想象就不能解析了。

那个时候的科学家奉行经验主义，也就是说，他们对现象做出观察，然后想出一个符合该现象的解析。但哥白尼做了一些被当时的科学家认为是落后的事情——他首先想出一个关于太阳系是如何运作的理论，然后根据观察验证理论，并以数学作为他的主要工具。

尽管哥白尼的日心说没有在当时引起轰动，但他从理论出发的研究方式是一种全新的现代科学探索方法。

苏格兰贵族约翰·纳皮尔发明了一种称作纳皮尔算筹的新式算盘。他也发现了对数。

在许多数学领域里对数都是非常重要的，而纳皮尔的书《奇妙的对数表的描述》迅速被那些经常要进行对数运算的人所采用。纳皮尔为了完成书中的对数表，花了惊人的20年时间去做计算——这是一种奉献。

对于一个数，为了得到与它相等的以10为底的幂，我们要把幂的指数设为该数的对数。例如：

100的对数就是2，因为100＝102

1000的对数就是3，因为1000＝103

上面可以简写为log（1000）＝3

有一些数并非是10的整数次幂，我们也可以找出它们的对数：

log（25）＝1.39794因为25＝101.39794

除了10之外，我们也可以用其他数字作为底数，继而寻找一些数的对数：

log5（25）＝2因为25＝52

自然对数（参见此处）是以e为底数的对数。e是数学上的一个非常特殊的数，借助它可以解决许多微积分的问题。

今天我们利用计算机或者计算器去求对数，但最初的时候就只能通过手工或者纳皮尔的对数表去求对数。在桌面计数器普及以前，人们会利用对数和计算尺（参见此处）去进行复杂的运算。

纳皮尔也研究出一种便捷地进行乘法运算的方法。该方法是以斐波那契从阿拉伯人那里学来的一种网格法为基础。

纳皮尔算筹是一个有用的工具，它由一组刻有数字的棒组成。每一根棒上都写有一个乘法表，记录着2到9与棒上所刻数字相乘的积：

如果你想计算567乘以3，你要把表示5、6、7的三根棒排放在一起，然后留意第三行：

然后你把该行对角线上的数加起来，这样就得到结果。

小数点

纳皮尔也是第一个采用小数点的人。尽管印度—阿拉伯计数系统在此时的欧洲被广泛使用，然而，还没有一个书写小数的标准方式。因为纳皮尔需要用一种简练的方式在对数表上写小数，他采用了我们今天所使用的印度—阿拉伯小数。

威廉·奥特雷德是一名英格兰的数学家和教师，他延续了纳皮尔在对数方面的研究。他发明了计算尺。利用计算尺，我们可以计算两个大数的乘积，而尺上标有对数刻度（参见此处），意味着我们能够直接从尺上读出结果。直到19世纪70年代电子计算器普及以前，科学家、工程师和数学家都使用计算尺。

计算尺能够工作是因为以下的对数定律：

log（a×b）＝log（a）＋log（b）

我们用一些简单的数字来验证这条定律：

由此可知10×1000＝104＝10000

因此，如果你想把两个数相乘，你可以“找出它们各自的对数”并把对数相加，然后以该和值为指数计算一个以10为底的幂。在计算尺出现以前，你需要在一本写有乘法表的厚重的书中寻找答案——因此，计算尺为数学家和科学家提供了极大的便利。

连续的两个对数刻度值所表示的数其实相差了一个倍数（通常是10倍），而不是相差了与刻度值间隔同样大小的数。例如，横轴上标有普通线性刻度的图象可以依次在纵轴得到0，1，2，3；而横轴上标有对数刻度的图像就会有0，1，10，100。下面的图象，在横轴上分别采用了线性刻度和对数刻度。

生于法国的勒内·笛卡尔是一位很有声望的哲学家，也许，他最著名的就是那句“我思，故我在”。

笛卡尔小时候体弱多病，早上要留在床上休养，这成为他终身养成的习惯。似乎在某个早上，当笛卡尔躺在床上的时候，他看到了一只苍蝇飞到天花板上。他很想知道怎样才能准确地描述出每一个时刻苍蝇所在的位置。他意识到，如果把方格画在天花板上，他就能够用我们称为坐标的东西去准确的定位苍蝇。

这些笛卡尔图（坐标系）在数学上大有作为，因为它们把几何与代数联系在一起。如今，可以在坐标系上把方程画出来，这样就能够更加直观地研究方程，而不局限于在代数层面上解方程。

解析几何鼓励数学家思考方程的几何性质，比如方程所代表的直线是否平行。为了知道直线是否平行，你需要求出它们的斜率。如果两条直线的斜率相等，那么它们一定平行。最简单的方程是线性方程，就是表示一条直线的方程，它们的斜率能够直接求出。然而，曲线的斜率是极具挑战性的，但多亏了笛卡尔，他的重大突破为艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨发现微积分铺平了道路。

已被证明的事物

笛卡尔的哲学有一定的数学倾向，因为他相信宇宙是根据数学规则运作的。例如，在其著作《形而上的沉思》中，他抛开所有未经证实的思想，建立了自己的哲学体系，主张现实世界的运转只依赖于已被证实的事物。这个怀疑主义的观点提高了现代科学的地位，同时使得数学成为科学家最有力、最高效的工具。

法国律师皮埃尔·德·费马会利用空闲时间钻研自己感兴趣的数学。尽管他在有生之年没有发表过任何想法，但他会与那个时代的数学家在书信中分享自己的发现。然而，令人沮丧的是，费马从不认为有必要为自己的数学发现加上证明过程。

费马在许多数学领域上作研究，但他对数论情有独钟：研究整数，并试图为方程求出整数解。

费马因他的“大定理”而著名。费马拥有丢番图《算术》的一个副本，他把这个定理写在该副本上，在他死后才被它儿子发现（参见此处）。费马也对完全数（参见此处）和质数感兴趣。

费马想出一种验证质数的方法。这个方法依赖于一种称为平方差的代数学技巧。这就是：

a2－b2＝（a＋b）（a－b）

不完美的完全数

完全数的所有因子（不包括数本身）加起来等于数本身。

例如，6是一个完全数（实际上，是第一个完全数），因为6的因子是1，2和3，而1＋2＋3＝6。

完全数并不常见——下一个完全数是28，之后是496，再之后就是8128。第五个完全数是33550336。

因子加起来小于自身的数叫做亏量数。例如，8的因子有1，2和4。它们的和是7。所以8是亏量数。

因子加起来大于自身的数叫做过剩数。例如，12的因子加起来是：1＋2＋3＋4＋6＝16。

对于某些过剩数而言，不存在一种因子组合使其和等于数本身。这样的数就叫做奇异数。例如，24不是奇异数，因为某些因子加起来（2，4，6和12）能够得到24。第一个奇异数是70——从它的因子1，2，5，7，10，14和35中，我们不能找出任何一种组合使得和是70。

例如，如果a＝8而b＝5：

费马需要验证奇数是否为质数（2是唯一的偶质数）。他把要验证的数记为n，而n等于两数的平方差：

n＝a2－b2

也就是：

n＝（a＋b）（a－b）

这表明n是两个数的乘积。这样，除非（a＋b）＝n并且（a－b）＝1，n是不可能为质数的。

费马对第一条式子进行移项：

a2－n＝b2

这意味着他可以为a取一个初值，把其平方，然后减去n，看看能否得到一个完全平方数。如果不是一个完全平方数，他就把a的值增加1，然后再重复上述的操作，直到能够找到可行的a与b的值，又或者a×b大于n。

受教于父亲的帕斯卡是法国的一名奇才，他钻研的领域有数学、物理学和宗教。他是个早熟的天才，早在16岁的时候就发表了第一篇数学论文。

帕斯卡的父亲是个税务员，那时的欧洲大陆战火纷飞，多少也使他的工作变得困难。帕斯卡为了帮助父亲，发明了第一个机械计算器——这个机器名为“帕斯卡利娜”，可以做加法和减法运算。帕斯卡设计了多个原型，而最后的制成品由一个箱子构成。箱子的正面是一系列编了号的转盘，每一个转盘上方都显示着一个数字。通过“转动转盘”，加数就被输入机器，然后结果就会显示出来。

遗憾的是，帕斯卡利娜的制作成本很高，因此它被认为是一件奢侈的玩具，而不是一件数学仪器。但绝不能低估帕斯卡对数学的贡献——他为莱布尼茨以及其他人发明更高效的机械计算器，还有最终的现代计算机，奠定了基础。

帕斯卡也对投机的游戏和赌博很感兴趣。他与相熟的皮埃尔·德·费马所做的工作导致一个数学领域的诞生，我们现在称之为概率学。在概率学中，我们谈及一个事件（比如，掷骰子）会出现一定数目的结果（可以掷出1，2，3，4，5，6这六种结果）。每种结果的出现都对应一个概率——对于我们掷的骰子，每一种结果出现的概率相等——这可以用分数来表达，而所有事件出现的概率加起来是1。统计学是数学的一个分支，在科学和经济上都有很多应用，而概率学就隶属于统计学。

作为一名科学家，帕斯卡对真空的概念很着迷。那时候，科学家们认同亚里士多德的观点：真空不存在；你不能得到真空状态，因为“自然界讨厌真空”。然而，帕斯卡注意到，如果你把一个玻璃烧杯倒放在液体（他用了水银）中，然后把烧杯拿出来，在倒立的烧杯的顶部有一小部分间隙，而烧杯莫名其妙地也在空隙下方装有一定体积的液体。他推断，这只能是受到真空的作用，而且真空提供了某种吸力把液体稳住。

帕斯卡继续进行更多关于液体压强的实验，也正因如此，为表敬意，人们把压强的基本单位定为Pascal（Pa）。

确凿的证明

1654年，帕斯卡经历了深刻的宗教体验，这次经历改变了他的人生。他此后苦修禁欲，专注于编写神学评论。他用自己的概率学知识去阐明上帝存在的理由。现在，人们称这段论证为“帕斯卡的赌注”：

你不能通过逻辑去证明上帝的存在。

如果你相信他存在，而实际上他又不存在，那你没有任何损失。

如果你相信他不存在，而实际上他存在，那你会失去永恒的来世。

所以，相信上帝的存在，你没有任何损失，还可能会得到无穷无尽的奖赏，而不相信上帝的存在，你一无所得。

因此，总的来说，你最好还是相信上帝的存在。

艾萨克·牛顿是他那个时期最出色的科学家之一。牛顿生于林肯郡，写了其中一本史上最重要的书：《自然哲学的数学原理》，通常人们记住的都是书名的拉丁文简写Principia Mathematica（《数学原理》）。在书中，牛顿基本上把描述物体运动以及对作用力反应的物理定律都改写了一遍。凭借他的那些定律，牛顿能够解析天体运动，同时有效地证明了太阳位于太阳系的中心。

牛顿对科学的深刻见解在于他认为引力是由地球质量引起的，以及他能够凭直觉理解在地球不提供引力的情况下物体的行为。牛顿的批评者认为无形且需要作用距离的引力是某种恶魔的力，并且认为牛顿是与这些魔力有勾搭的炼金术士。然而，牛顿的万有引力定律和他的力学方程足以帮助我们在几百年之后把人类送上月球。

牛顿在数学上最伟大的成就是发现了微积分，而几乎相同的时候，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨也独自发现了微积分。在今天的学科中，微积分都作为一种描述和预测变化的工具。以笛卡尔的坐标系（参见此处）为基础，微积分可以划分为两个主要分支。

1．微分的应用包括找出直线的斜率。直线有一个常数斜率，可以很容易在图像中测量出来。

我们可以看出，直线沿着右方（正方向）在横轴上伸延一个单位的距离，在纵轴上就会伸展两个单位的距离。因此，直线的斜率为2。

然而，不是所有的方程都对应一条直线。任何带有x2，x3或者更高次变量的方程都对应一条曲线：

这条线的斜率经常变化。然而，切线的斜率——与曲线上某点相切的线的斜率——与线上该点的斜率相等：

微分让我们能够为线上的任何点找到其斜率的表达式，所以我们不再需要画切线，这减少了我们出错的机会。

如果拥有表示每个点斜率的式子，我们就能够找到斜率为零的点。这些点称作方程的拐点，把它们找出来是相当有益的。数学、金融和商业上的许多问题都涉及寻找方程的最大最小值——微分让我们找到这些点。科学家也发现，有很多现象都由微分方程控制。例如，牛顿第二定律，就是通过每一个细分的瞬间来推导的。

2．微积分的另外一个分支是积分，这涉及到找出曲线与x轴之间的面积：

我们再次画图以测量曲线以下的面积，然而，也存在各种数值方法让我们计算出面积的近似值。一种方法是把面积分成非常小的条带状矩形，然后把各个小矩形的面积加起来：

小矩形的数量越多，你求出的面积就越接近实际值。牛顿和莱布尼茨在这方面领先一筹。他们想象有无穷多个小矩形，而每个小矩形是无穷窄的，这样就能得到面积的真实值。

要是你想求出曲线下形状的精确面积，你可以采用这种方法。与微分一样，很多科学定律都依赖于积分。

回到原点

事实证明，积分和微分是相互可逆的。这表明对一条方程积分再微分还是得到原来的方程。这就是微积分基本定理。数学家们利用它来帮助自己在更复杂的方程上进行微积分操作。

戈特弗里德·莱布尼茨是来自萨克森（现今德国境内的一个州）的一名数学家和哲学家。他是一名哲学教授的儿子，而父亲在他6岁的时候就去世了。莱布尼茨从父亲那里继承了藏书众多的图书馆。他在图书馆里收获了许多知识，而为了使自己能够阅读书籍，他先是自学了拉丁文。莱布尼茨的工作生涯是以担任律师和外交官开始的。在被调到巴黎的时候，他遇见了荷兰天文学家克里斯蒂安·惠更斯。惠更斯辅助他学习了科学和数学。

基于某些原因，莱布尼茨是伟大的。然而，可惜的是，人们只因为他和艾萨克·牛顿在谁是微积分发现者的问题上闹得不可开交而记住了他。牛顿身在剑桥而莱布尼茨身在巴黎，在互不知情的情况下两个人同时发现了微积分。早于1664年，牛顿就进行微积分的研究工作，但他未能把自己的发现公开。这个责任落到了莱布尼茨身上，在1684年，他发表了第一篇关于微积分的论文。

争议在于莱布尼茨是否看过牛顿之前的著作。没有存在的证据能证明莱布尼茨有或者没有看过牛顿的著作，也没有理由假设莱布尼茨不可能独自一人发现微积分。然而，在他去世的时候这个问题还没有答案。

莱布尼茨和牛顿各自为微积分设计出一系列符号，他们的符号都在不同的数学领域被用上了。可能莱布尼茨设计的符号使用得更广泛一些。

要求出图中某区域面积的值，你会用到莱布尼茨的符号：

它是如下内容的一种简写：“对于x＝1和x＝2之间的每一个x，对x2取积分。”

如果你想找出线上某一点的斜率，你需要用到微分，而微分的符号是：

莱布尼茨也促进了当时新兴的一个数学领域：计算科学。在我们的印度—阿拉伯计数系统中，数的每一个数位都是其右边数位的10倍——一个十进制系统。莱布尼茨对另一个计数系统更感兴趣，该系统中，数的每一个数位都是其右边数位的2倍——一个二进制系统。二进制系统只需要数字0和1，而每一个数位的值对应1，2，4，8，16，等等，每一次都翻倍。所以十进制数13写成二进制数就是1101：

数位：8　4　2　1

数字：1　1　0　1

因为8＋4＋1＝13

这个系统似乎很奇特，它的优点是只拥有两个数字，这使得计算更方便。二进制系统在以后的电子学和计算机方面变得非常重要。

数值穿孔

莱布尼茨首创了“步进计算器”，那是其中一个最先能够计算乘法和除法的机械计算器。那是一个相当复杂的机器，而错综复杂的转动装置使得机器不太可靠。但随着制造技术的成熟，步进计算器不断改良，而直到20世纪，这几百年以来，莱布尼茨的想法一直被沿用。

伯努利兄弟是瑞士的数学家。尽管他们有不同的职业追求——约翰接受过医学培训而雅各布是一名牧师——但这对兄弟都钟情于数学，尤其是莱布尼茨的微积分。伯努利兄弟得以在微积分这个处于萌芽之中的领域奋力前行，并精通了微积分的使用，把微积分从一种在知识上、在政治上让人好奇的东西变为一样有用的数学工具。他们之间也展开了激烈的竞争，这刺激了他们去发现更多。

伯努利兄弟的一个竞争源于悬链线问题：绳索或者链条在悬挂两端时所产生的形状。到此时为止，该形状的方程一直困扰着数学家们。雅各布在1691年提出这个问题；约翰得到了莱布尼茨和荷兰数学家克里斯蒂安·惠更斯的一些帮助，进而解决了问题。悬链线在桥梁建造和建筑学方面都有重要应用，因为遵从一条倒挂悬链线的拱形是最坚固的。

当雅各布看到一个有关复利的问题时，他发现了一些有趣的东西。雅各布注意到，如果你在银行里有100英镑的存款，而每一年银行会返还10％的利息，每年利息返还的方式将会影响到你最后一年所得的总额。复利再加上银行账户的本金使你赚得的利息一年一年地增多：

诚然，不同的利息返还方式对你的账户余额都没有什么大的影响，很多银行就依仗于这样的事实。雅各布研究利息在一年里以小额连续返还时的情况，而这个研究意义重大。他发现，如果你的利率是x（比如，对于4.5％的利率，x＝0.045），到年末你就会得到你开始时金额的2.718281x倍。2.718281是四舍五入后的数——这其实是一个无理数，像π一样，小数位上的数字是无限而不循环的。

纳皮尔在他关于对数的著作中提到过这个数。在微积分中，这个数是非常重要的，而揭示这一点的是我们的下一位数学家。

欧拉（欧拉的英文Euler读起来像“boiler”而不是“ruler”）是瑞士的数学家。他原本是想成为一名牧师。然而，在大学的时候，他遇见了约翰·伯努利，后者觉得欧拉有非凡的数学天赋，进而说服老欧拉让他的儿子转去学数学。

欧拉对数学和科学的影响是意义深远的。2.718281……这个数是由雅各布·伯努利因复利问题发现的，但也出现在欧拉关于微积分的著作中。

当你想通过积分求出曲线下方区域的面积时，你需要把x的幂升高一次。例如，如果你的曲线是y＝x2，那么积分函数就是1/3x3——x幂的次数增加。如果你对着一些更棘手的东西，比如说，y＝1/x4，那么有一个关于幂的法则可以帮到你：

1/xn＝x—n

所以，y＝1/x4就是y＝x—4，而当你把幂的次数增加1，你就会得到x—3，也就是1/x3。

但如果你的曲线是y＝1/x4呢？

这与x-1是等价的，但如果你把幂的次数增加1，你就得到x0。任何次数为零的幂都等于1，这暗示了，无论你留意的是曲线的哪一个部分，区域的面积都是一样。这一点也说不过去！

好吧，事实证明，利用一种由欧拉想出的、复杂的代数方法去演算，区域的面积是等于x的自然对数。自然对数与普通对数很相似，只不过它的底数是2.7818281……有一组相当庞大的方程只能通过自然对数来积分或者微分，而2.7818281被记为“e”，表示欧拉的数（Euler's number）。

回到曲线下方区域的面积。如果你想知道在x＝1和x＝4之间区域的面积，你需要计算出：

面积＝loge4－loge1

因为“loge”在微积分中经常出现，所以人们用ln来表示它。你可以在所有的科学计算器上找到这个按钮。

面积＝ln4－ln1＝1.386（精确到小数点后3位）

欧拉对“柯尼斯堡七桥问题”的研究促成了图的简化方法。柯尼斯堡在古普鲁士语中是加里宁格勒的意思。加里宁格勒位于俄罗斯境内，在波兰和立陶宛之间。这座城市集中在一个岛屿上，岛屿被河流分开。七座桥在不同的地点连接岛屿的两岸：

当地居民在周日下午流行着一种消遣，他们试图把每一座桥都走一遍后回到出发点，而同一座桥不会走两次。还没有人能够成功做到，但欧拉是第一个用数学解决这个问题的人。他把地图画成网络：

对于该网络上每一个节点或者交叉点，欧拉计算有多少条路通向那里或者从当中出来。然后，他推断，遍历地图的过程中，你需要进入每一个节点并从该节点走出来，因此每一个节点都必须有偶数条路。柯尼斯堡上的所有节点都只有奇数条路，所以这个挑战是无法完成的。所有节点路径数都为偶数的网络成为欧拉图。如果网络只有两个节点的路径数是奇数，那网络就是半欧拉图；如果你从一个路径数是奇数的节点出发，最后到达另一个路径数为奇数的节点，那么你就能没有重复地把网络上的所有边都走一遍，就如下面这个著名的例子：

这种简化图和路径的方式和思想对制图学有重要意义。这也是决策数学里重要的一部分。决策数学是数学的一个分支，很多企业都依靠这个学科去规划配送路线以及其他物流操作。

想象而来的复数

欧拉也对复数感兴趣。复数由两部分组成，一个是实部（例如，正无穷与负无穷之间的任何数），而另一个是虚部。

丢番图最先暗示了复数的概念（参见此处），但直到16世纪两位意大利数学家尼科洛·丰坦纳·塔尔塔利亚和吉罗拉莫·卡尔达诺开始钻研时，复数的研究才正式开始。塔尔塔利亚和卡尔达诺发现，某些方程只有在-1可以拥有平方根的情况下才有解——在实数系上这是不可能的事情，因为一个负数乘以一个负数就得到一个正数。

笛卡尔提出“虚构”这个概念——即使这些数不存在，但为了求解之前未能求解的方程，你可以想象它们存在。

用字母i来表示-1的平方根：。

这使得你可以表示出所有负数的平方根：

尽管这些数是虚构的，但它们有很多实际的应用，尤其是在电子学和电气工程方面。

欧拉也研究三维的几何。他发现在多面体（由平面构成的三维图形，像立方体和角椎体）中，拐角（或者说顶点）的数量，边的数量和面的数量存在着关系：

顶点数－边数＋面数＝2

数学上的完美

欧拉想出一条现在被称为欧拉恒等式的式子（恒等式是这样一条等式，无论你为未知数取什么值，等式永远都是真的）。据说，这是最美丽最优雅的数学等式。它与复数有关，但遗憾的是，它的含义超出了本书的范围。下面就是这条熠熠生辉的等式：

eiπ＋1＝0

它数学方面的美主要在于它用到了五个数学上最重要的数：e，i，π，1和0。

一个立方体有8个顶点，12条边和6个面：8－12＋6＝2

一个四面体（基于三角形的角锥体）有4个顶点，6条边和4个面：4－6＋4＝2

一个十二面体（有十二个面的多面体）有20个顶点，30条边和12个面：20－30＋12＝2

截角二十面体（六边形和五角形的结合体，一般用来制作足球）有60个顶点，90条边和32个面：60－90＋32＝2。

欧拉也与丹尼尔·伯努利（1700—1782年，约翰的儿子，雅各布的外甥）在应用数学方面合作。他们研究施加在建筑物横梁上的力以及那些力是如何使横梁弯曲的——这在工程应用中非常有用。

是真还是假？

数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（1690—1764年）在一封与欧拉讨论质数的信件中写下了著名的哥德巴赫猜想：

“每一个大于2的整数都可以写成两个质数的和。”

例如，10可以写成5＋5而28可以写成11＋17。

在数学上，想法可以归结为三类：

1．命题是一段可能为真也可能为假的陈述。欧几里得在《几何原本》中提出了许多命题，他也亲自证明了这些命题为真。

2．当命题在所有情况下都为真，那么它就是一个定理，就像毕达哥拉斯定理——对所有直角三角形都成立。

3．猜想就是一种处于探索之中的命题——数学家认为它是正确的，但还未能证明它总是正确。

尽管一直尝试到4000000000000000000也没有找出哥德巴赫猜想的反例，但它依然是一个猜想，而不是一个定理。这些数学家多挑剔！

1777年，卡尔·高斯在一个贫困的家庭出生。不久，他就显露出超凡的智商，尤其在数学领域中有着与别人不同的能力。

传说，在高斯上学的时候，他完成练习的速度比其他同学快得多，这一直让他的数学老师觉得很厌烦。他的老师被激怒了，于是叫他从1到100把所有数字加起来，并且认为他要花点时间才能算出。

高斯立马就把正确的答案说出来：5050。

高斯并非一部快如闪电的计算器，他瞬间注意到一个捷径。如果你把这一系列数反过来，你可以看出它跟原来的数列相加时，每一项都是101：

1＋2＋3＋……＋98＋99＋100

100＋99＋98＋……＋3＋2＋1

101＋101＋101＋…＋101＋101＋101

高斯很快算出100个101是10100，但这个值是我们想要的两倍，他把值除以2就得出了答案5050。

放下工具

高斯在读大学的时候，对古希腊时期的经典几何很感兴趣，但数学上的新进展表明，可以利用代数证明几何理论，而不需要作图。高斯证明了可以用直尺和圆规做出含有5、17或257条边的正多边形（所有边的长度相等，所有内角相等）。

数论有一个分支称为模运算，高斯拓展了欧拉在这方面的初步研究。在模运算中，数的取值只能达到某一个值，之后就要绕回去重新取值。二十四小时制的时钟就是模运算的一个好例子——23:59之后，我们从头开始，时间是00:00。

与普通运算非常相似，在模运算中你需要定义可取的最大值是多少。在普通运算中我们采用十进制，我们能用的最大数字是：9。如果我们以8为模，我们只能用从0到7的数。这表明在模8运算中8是0，因为7以后我们就从0开始。同样地，在模8运算中15就是7，因为15＝8＋7但8被视为0。数学家会这样写：

在某种情况下，如果用一个数除以另一个整数，比起商（相除后的结果），你可能对余数（相除后剩余的数）更感兴趣。这样，模运算就有用武之地了，因为一个数的值在某个模运算中跟你把该数除以模数后的余数相等。例如：

75÷8＝9　余数　3

如果你想测试一个数是不是质数，你可以看看那个数对连续的整数取模后是否有结果等于0，计算机就很擅长做这种操作。

高斯的研究自然而然地转移到质数当中。质数依然是数学上最神秘的东西之一。高斯作了一个猜想，现在被叫作质数定理（它是一个定理，因为已经证明它是正确的，见书152页）。这个定理是关于质数的分布方式。虽然我们没有构造质数的公式，但高斯注意到，越往后，质数的分布就越分散。他写道：

小于x的质数的个数≈x/ln x

符号≈表示“约等于”而符号ln表示“自然对数”。因此：

小于1000的质数的个数≈1000/ln1000≈145

小10000的质数的个数≈10000/ln10000≈1086

这表明，虽然我们把x扩大了十倍，但小于x的质数的个数还不足原来的八倍。如果我们取更大的x，这个趋势将会持续。所以，越往后，质数的数量越少。

高斯在统计学方面也做了很大的贡献，他是第一个提出正态分布的人。这条钟形曲线可以应用到真实世界许多场合，例如动物的高度和体重的分布，考试成绩的分布，科学实验中测量值的分布，等等。

如果你测量国内每一位13岁男孩的身高，你可以算出他们的平均身高或者身高的均值（把所有的数据加起来再除以数据的数量）。你随后可以看看处于某一个高度区间的男孩所占的百分比，而你会发现身高位于离均值一定距离的区间的男孩占大多数。要是从均值向两边观察，你会发现男孩的数目越来越少。像这样按照百分比的方式来思考其实就是在按概率的方式来思考，因此正态分布也被称为概率密度函数：

图象的形状展示出我们知道是正确的东西。想一想你自己的朋友。除非你身边的人都是职业篮球员，要不你大多数朋友的身高都落在他们那种性别的平均身高附近，而你也不太可能认识许多非常高或者非常矮的人。

IQ（智商）是一个利用正态分布进行规范化的分数。100是IQ分数的均值，而一个15分的间隔就被称为标准差。标准差被用来衡量分数的分散情况。由正态分布曲线可知， 68％以上的IQ是落在与均值相差一个标准差的区间内，所以接近70％的人的IQ在85和115之间。超过95％的人的IQ是落在与平均值相差两个标准差以内的区间，也就是介于70到130之间。超过99.7％的人的IQ是落在与均值相差三个标准差以内的区间，也就是在55到145之间。门撒国际是由一群高IQ人士组成的协会，它有一个入会考试去挑选IQ比98％的人口都高的人，也就是说IQ低于131的人不能加入。

关于恒等式的问题

方程（比如y＋3＝10）是一条需要求解的等式，我们可以尝试寻找符合这条等式的任何值。线性方程里未知数的次数为1（不是平方也不是三次方），只能有一个解。未知数的次数为二次或者三次或者更高次的方程有多于一个解，但也可能没有解。例如，方程x2＝—6不存在实数解。

我们可以用值替换公式（比如爱因斯坦的E＝mc2或者平均速度＝路程÷时间）上的字母，以求解该等式。例如，如果你在4小时内走了200千米，你就会得到：

平均速度＝200÷4＝50千米/小时

不管未知数取任何值，恒等式始终为真。高斯发明了三条横线的符号，来表示恒等式。例如：

这是一条恒等式，因为无论y取什么值，它都为真。比如我让y＝7：

（7＋2）（7－3）＝72－7－6

9×4＝49－13

36＝36√