频率与概率

（一）频率

前面已经提到，我们的目的是要研究随机现象的数量规律性，为此我们首先提出频率的概念。

在一定的条件下，设事件A在n次重复试验中发生nA次（称nA为A在这n次试验中发生的频数），称比值为事件A在这n次试验中发生的频率（frequency），记为，

例1.2.1　从市场上抽查了某品牌的一种液态奶制品30件，其中有20件被检出了某种物质含量超标，则事件“检出某物质含量超标”"在这30次试验中发生的频率为。

事件A发生的频率越大，人们就会感到A发生的可能性越大，频率越小，就有这一事件不易发生的感觉，所以频率是人们对事件发生的可能性大或小的第一认识。

事件的频率具有以下性质：

（1）对任一事件；

（2）；

（3）当事件A与B不相容时，。

性质（3）可以推广，当两两不相容时，

例1.2.2　某厂每天从当天的产品中抽取50件，检查其是否合格，记录于表1.2.1：

表1.2.1

表1.2.2

例1.2.3　抛硬币试验，在相同的条件下将一枚硬币抛n次（你不妨一试），设A＝｛出现正面｝，当“较小时，的变化范围较大，但人们发现，当n渐渐增大时，的值渐渐地稳定在0.5附近。以下是几个世界著名的大统计学家抛硬币的试验结果（列于表1.2.2）：

无数事实告诉我们，在大量试验中（即当n充分大时），任一随机事件A的频率具有稳定性，会稳定于一个常数p（0≤p≤1）附近，这个数是由事件A的属性所决定的。这给了我们一个机会，一个用数量来描述事件A发生的可能性大小的机会。

（二）概率

有一种定义概率的方法（称之为概率的统计性定义）是：设某一随机试验所对应的样本空间为S，对S中的任一事件A，A的频率的稳定值p定义为A的概率，记为P（A）＝p。

虽然上面的定义很直观，很易理解，且人们也常用这样的思路来解释概率，但也存在问题。事实上，人们常常不易知道的稳定值p，因而我们采用以下公理化的定义。

定义1.2.1　设某一随机试验所对应的样本空间为S．对S中的任一事件A，定义一个实数P（A），满足以下三条公理：

（1）P（A）≥0；

（2）P（S）＝1；

（3）对S中的可列个两两不相容的事件，有

则称为P（A）为A的概率（probability），P（•）为概率测度。

值得注意的是，对于有限个两两不相容的事件的和事件有

以上定义的概率有以下性质：

（1）；

因为，两边求概率（注意到），即得。

特别地，，可得。

（注意：若有P（A）＝0，不一定能得出A＝ø。）

（2）当时，必有P（A）≥P（B）；

因为当时，。而，故P（A）≥P（B）。进而可得P（A）≤P（S）＝1。

（3）概率的加法公式：

性质3可以推广：

例1.2.4　设甲、乙两人向同一目标进行射击，已知甲击中目标的概率为0.7，乙击中目标的概率为0.6，两人同时击中目标的概率为0.4，求目标不被击中的概率。

解　

而，所以

例1.2.5　设甲、乙、丙三个人去参加某个集会的概率均为0.4，且甲、乙、丙中至少有两个人去参加的概率为0.3，三人同时参加的概率为0.05。求甲、乙、丙三人至少有一人参加的概率。

从以上两个例题可以看出，解这类题，第1步：要设随机事件；第2步：要明确写出已知什么及要求什么；第3步：写出事件的运算式与概率运算式，求出概率。