等可能概型

在某些随机试验中，我们常假设样本空间中样本点出现的可能性相等。例如，抛硬币试验，S＝｛正面，反面｝，我们常假设出现正面与反面的概率相等。

定义1.3.1　一个随机试验，如果满足下面两个条件；

（1）样本空间中样本点数有限（有限性）；

（2）出现每一个样本点的概率相等（等可能性）。

则称这个试验问题为古典概型，又称等可能概型。

若设一等可能概型的样本空间为，则由定义1.3.1知。任一随机事件。由样本点两两不相容的性质，知

这就是说，在等可能概型中，任一事件A的概率为

因此，在古典概型中，求随机事件概率的问题就可以转化为数样本点数的问题，这常要用到组合数学。

例1.3.1　从一付牌（去掉两个王，共52张）中随机取两张，求“恰是一红一黑”的概率。

解　设A＝｛恰是一红一黑｝。

（1）>若是不放回抽样（即第一次抽出1张，不放回，再抽第二张），则

（2）>若是放回抽样（即第一次抽出1张后，放回，再抽第二张），此时的样本空间为

则

例1.3.2　（抽签问题）袋中有编号为1，2，…，n（n＞1）的n个球，其中有a个红球，b个白球（a＋b＝n）。从中每次摸一球，不放回，共摸n次。设每次摸到各球概率相等。求第k（l≤k≤n）次摸到红球的概率。

解　设Ak＝｛第k次摸到红球｝，k＝1，2，…，n。

解法1　假设我们视n次摸出的球号的先后排列为一个样本点，则样本空间中共有n！个样本点。由题意知，出现每一个样本点的概率相等，而第k次为红球共有a（n－1）！个样本点。所以

解法2　若我们n个同学去摸球，我们只关心哪几个同学摸到红球为试验的结果，即假设视“哪几次摸到红球”为样本点，则样本空间总样本点数为由题意知，出现每一个样本点的概率相等。如果Ak发生，即第k次一定为红球，只要在余下的（n—1）次中决定（a—1）次就行。故

解法3　若视第k次摸到的球号为样本点，则样本空间中共有n个样本点，其中有a个样本点使得Ak发生，故

以上三种方法计算得到：在抽签问题中，第k（l≤k≤n）次摸到红球的概率与k无关。

例1.3.3　（配对问题）一个小班共有n个学生，分别编上1，2，…，n号，在中秋节前每人做一件礼物相应地编上1，2，…， n号。将所有礼物集中放在一起，然后让每个同学随机地取一件（即，每次取到每一件礼物是等可能的），求没有人取到自己礼物的概率。

解　先求“至少有一个人拿到自己的礼物”的概率。设

由概率的加法公式，得

如果将先后取到的礼物的编号（即排列）作为一个样本点，例如，（1，2，•••，n）表示n人都取到了自己的礼物，那么共有n！个样本点，由题意知出现每一个样本点的概率相等。当Ai发生时，即i号配对其余（n—1）个号可以任意的排列，故

当n充分大时，上式的值近似于。