二元随机变量函数的分布

在第二章的§2.5中我们研究了一元随机变量的函数的分布问题，并提到了求一元随机变量函数的分布问题实质是找等价事件。其实求二元随机变量函数的分布问题实质上也是寻找等价事件。当然求二元随机变量函数的分布问题较为复杂，下面我们将对一些特殊的形式进行详细的讨论。

（一）Z＝X＋Y的分布

在这一部分中，我们将研究已知二元随机变量（X，Y）的概率分布，求Z＝X＋Y的概率分布问题。

若（X，Y）为二元离散量，设，设Z的可能取值为z1，z2，…，zk，…，则显然有

特别地，当X与Y相互独立时，（3.5.1）与（3.5.2）式就可写成

若（X，Y）为二元连续量，设（X，Y）的联合密度为f（x，y），则Z的概率分布函数为

作积分变量变换

图3.4.2

这样的变换下可知dxdy＝dudv，所以

从而，

若作的积分变换为，通过同样的计算可得

特别地，当X，Y相互独立时，（3.5.5）式与（3.5.6）式就可写成

例3.5.1　设X～π（λ1），Y～π（λ2），X，Y相互独立。若Z＝X＋Y，求Z的概率分布律。

解　由题意知，

即Z～π（λ1＋λ2）。也就是说，两个独立的泊松分布的随机变量的和仍服从泊松分布，其参数为两个随机变量的参数之和。

用数学归纳法可以证明：n个独立的服从泊松分布的随机变量的和仍服从泊松分布，其参数为n个变量的参数之和。

例3.5.2　设，X，Y独立，Z＝X＋Y，求Z的概率密度。

对上式积分作积分变量变换，令u＝x－t/（l＋σ2），可知du＝dx，从而可知，此积分值为与t无关的常数，暂且记作a，

得

有上式可知　。

若当，X，Y独立时，

由例2.5.5知　，

由例3.5.2知　

再由例2.5.5可得　。

用数学归纳法可证，n个独立的正态量之和仍为正态量。

即若，X1，X2，…，Xn独立，且。

进一步可以证明：n个独立的正态量的线性组合仍为正态量。

例3.5.3　设某服务台顾客等待时间（以分计）X服从参数为λ的指数分布，接受服务的时间Y服从（0，20）上的均匀分布，且设X，Y独立。记顾客在服务台的总时间为Z，即Z＝X＋Y。（1）求Z的概率密度函数fZ（t）；（2）设λ＝l/20，求总时间不超过45分钟的概率。

解　由题意知，

因为X，Y独立，所以X，Y的联合概率密度为

方法一：利用（3.5.5）式，

图3.5.1

由图3.5.1知，当t≤0时，FZ（t）＝0；

当0＜t＜20时，；

当t≥20时，。

图3.5.2

方法二：可先求Z的分布函数，再求FZ（t）。由于FZ（t）＝P｛X＋Y≤t｝，由图3.5.2知，当t≤0时FZ（t）＝0。

当0＜t＜20时，

当t≥20时，

从而

（2）方法一：利用（1）中的方法二求出FZ（t）可知，当λ＝l/20时，

方法二：可由Z的密度函数来计算得到：

例3.5.4　设二元随机变量（X，Y）的联合概率密度为

图3.5.3

解　由（3.5.5）式可知，而且由（X，Y）的联合概率密度及定理3.4.1知，X，Y不独立，且

显然，当t≤0或t≥2时，fZ（t）＝0；

例3.5.5　某人一天做两份工作，一份工作得到的酬金X具有概率分布律，另一份工作的酬金Y服从N（15，4）。设X，Y独立，记一天酬金总数为Z，Z＝X＋Y。（1）求Z的概率密度；（2）求一天酬金多于30的概率。

解　（1）先求Z的概率分布函数，利用全概率公式

因为X与Y独立，故有

（2）我们有

（二）M＝max（X，Y），N＝min（X，Y）的分布

记X，Y的联合分布函数为F（x，y），且记FX（t），FY（t）分别为X，Y的分布函数。

先来讨论M的分布函数，由M的定义可知

特别地，当X与Y独立时，

再讨论N的分布函数

特别地，当X与Y独立时，

以上结果容易推广到n个变量的情形。特别地，设X1，X2，…，Xn为n个相互独立的随机变量，相应的分布函数分别为F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn），记M＝max（X1，X2，…，Xn），N＝min（X1，X2，…，Xn），则有

例3.5.6　一批元件的寿命服从参数为λ的指数分布，从中随机地取4件，其寿命记为X1，X2，X3，X4，由于是随机抽取，故这4个元件的寿命相互独立。记。（1）求N，M的概率分布函数及概率密度函数；（2）将4个元件如图连接成一系统，求系统寿命大于t0（t0＞0）的概率。

图3.5.4

解　（1）由于X1，X2，X3，X4相互独立且均服从参数为λ的指数分布，故当t＞0时，

（2）设系统寿命为T，则T＝min［max（X1，X2），X3，X4］，那么对t0＞而言，有