二维随机变量协方差计算公式

时间：2023-02-12 理论教育版权反馈

【摘要】：本节中我们将介绍反映两个变量间线性关系的两个数字特征——协方差与相关系数。与之不同的是，相关系数是无量纲的指标，可以避免由于度量单位等非本质因素所带来的影响，可视之为“标准尺度下的协方差”。因为当且仅当X与Y之间有严格的线性关系时，才有｜ρXY｜达到最大值1。也就是说，Ni与Nj有着此消彼长的关系，即两者是负相关的。试求X与Y的协方差，并判断它们的相关性与独立性？

对于多元随机变量，除了考虑每一个分量的中心位置和离散程度，借此来了解各个分量各自的部分特性外，还对于它们之间的关系感兴趣。本节中我们将介绍反映两个变量间线性关系的两个数字特征——协方差与相关系数。

（一）协方差

回想期望的性质之一——定理4.1.5，对于相互独立的随机变量X和Y，当其期望都存在时，有E（XY）＝E（X）E（Y），而此式等价于

那么当E｛（X－E（X））（Y－E（Y））｝≠0时，则X和Y一定不独立，也就是存在某种相依关系，因此我们认为E｛（X－E（X））（Y－E（Y））｝可以在一定程度上反映出X和Y的某种关系，对此给出下面定义。

定义4.3.1　对于期望都存在的随机变量X和Y，当（X－E（X））（Y－E（Y））的期望存在时，称

为X与Y的协方差，其中Cov是英文covariance的前三个字母。

按协方差的定义可知，协方差的计算可以看成二元随机变量的函数

的数学期望，那么根据定理4.1.3可知：

（1）若二元离散型随机变量（X，Y）的联合分布律为P（X＝xi，Y＝yj）＝pij，i＝l，2，…，j＝1，2，…，则X与Y的协方差为

（2）若二元连续型随机变量（X，Y）的联合密度函数为f（x，y），则X与Y的协方差为

直接按定义计算协方差往往比较麻烦，在实际应用中常常用下面给出的计算公式来得到协方差，

这一公式利用数学期望的性质很容易就可以得到，因此我们这里就不写出推导过程了。

在引入协方差的定义之后，根据上一节中的方差的性质——定理4.2.4及证明可以得到下面的进一步结论。

定理4.3.1　对任意的正整数n⩾2，设X1，X2，…，Xn为方差存在的随机变量。则X1＋X2＋…＋Xn的方差也存在，且

例4.3.1　n个人把各自的卡片混放在一起（n⩾2），然后每人从中随机抽取一张，以X表示取到自己卡片的人数，求E（X）及D（X）。

解　设

则X＝X1＋X2＋…＋Xn，且对任意的，那么。于是有

另外，注意到

定理4.3.2　若随机变量X和Y的协方差存在，则

（1）Cov（X，Y）＝Cov（Y，X）；

（2）Cov（X，X）＝D（X）；

（3）Cov（aX，bY）＝ab•Cov（X，Y），其中a，b为两个实数；

（4）若Cov（Xi，Y）（i＝1，2）的协方差存在，则

（5）若X和Y独立，则Cov（X，Y）＝0，但反之不然；

（6）当D（Y）•D（Y）≠0时，有（Cov（X，Y））2⩽D（X）D（Y），其中等号成立当且仅当X与Y之间有严格的线性关系（即，存在常数c1，c2使得P（Y＝c1＋c2X）＝1成立）。

证明　（1）～（4）及（5）的前半部分根据协方差的定义及§4.1中提及的数学期望的性质很容易可以得到，留给读者自行证明。（5）的后半部分在例4.3.5中说明。

下面我们来证明（6）。

对任意t∈R，有

将上式的右边看成一个关于t的一元二次多项式at2＋bt＋c（a>0），由于（4.3.4）左边对任意的实数t恒为非负，故必有ac⩾b2/4，即

若此不等式的等号成立，则（4.3.4）的右边等于，其中正负号视Cov（X，Y）>0或<0而定。不妨设Cov（X，Y）>0，则（4.3.4）的右边等于

当取时，上式等于0。结合（4.3.4）式，当t＝t0时，

注意到，若某非负随机变量Z，期望为0，则必有P（Z＝0）＝1。那么由（4.3.6）式，可知

即。因而，X与Y有严格的线性关系。

反之，若X与Y有严格的线性关系，即，存在常数c1，c2，使得P（Y＝c1＋c2X）＝1成立，那么

例4.3.2　设Xi，i＝1，2，…，n为独立同分布的随机变量，若它们的方差存在，记为σ2。令。证明：对任意的。

证明　根据定理4.3.2，知对任意的k＝1，2，…，n，有

注意到Xi之间是相互独立的，故Cov（Xi，Xk）＝0，i≠k。所以

显然，协方差也是有量纲的，而且其取值也依赖于它们的单位。为了克服这一缺点，我们可以用上一节中所提到的，将随机变量标准化后，再来求它们的协方差。于是有了下面“相关系数”的定义。

（二）相关系数

定义4.3.2　对于随机变量X和Y，当E（X2）与E（Y2）均存在且D（X），D（Y）均为非零实数时，称

为X与Y的相关系数（correlation），也简记为ρ。

注意上述定义中，“E（X2）与E（Y2）均存在”的假设也意味着X，Y的期望与方差及XY的期望均存在。事实上，

从而保证了Cov（X，Y）的存在。

根据标准化变量的定义（定义4.2.2），可知

其中。由此可见，相关系数也是刻画两变量间相依关系的一种数字特征，其作用与协方差一样。与之不同的是，相关系数是无量纲的指标，可以避免由于度量单位等非本质因素所带来的影响，可视之为“标准尺度下的协方差”。

根据定理4.3.2，可以得到相关系数的性质：

定理4.3.3　对于随机变量X和Y，当相关系数ρXY存在时，有

（1）若X和Y独立，则ρXY＝0，但反之不然；

（2）｜ρXY｜⩽1，其中等号成立当且仅当X与Y之间有严格的线性关系（即，存在常数c1，c2使得P（Y＝c1＋c2X）＝1成立）。

从上面的定理（或定理4.3.2），可知相关系数和协方差反映的不是X与Y之间“一般”关系的程度，而只是反映“线性”关系的紧密程度。因为当且仅当X与Y之间有严格的线性关系（即，两者以概率1线性相关）时，才有｜ρXY｜达到最大值1。因此相关系数有时也称为“线性相关系数”。

上面讲的“线性相关”可从最小二乘法的角度再来加深理解。对随机变量X和Y，考虑用X的线性函数c1＋c2X来逼近Y。该选择怎样的常数c1，c2，使得逼近的程度最好？这种逼近程度，常用“最小二乘”的观点来衡量。即，使得

达到最小。解得，当时，上式达到最小，且最小值为

其中ρ＝ρXY。那么若ρ＝±l，则上式等于0，从而P（Y＝c1＋c2X）＝l，这一点在定理4.3.3中也已指出。而且从（4.3.10）可知，若0<｜ρ｜<1，当｜ρ｜越接近1，用c1＋c2X来逼近Y的偏差就越小，那么X与Y之间的线性关系的程度就越强；反之，就表明两者的线性关系程度就越弱。

当ρXY>0时，即Cov（X，Y）>0，则线性表示中的X的系数c2也大于0，那么Y的最佳线性逼近c1＋c2X随X增加而增加，故称X与Y为正相关；反之，当ρXY<0时，常称X与Y为负相关。

例4.3.3　某保险公司业务员每月的工资是由两部分所组成的：一为基本工资，每月c元（c>0）；二为业绩津贴，每签一笔业务，可以得到a元（a>0）。试分析在这样的工资体系下，业务员的月工资Y与业务量X之间的关系（其中D（X）>0）。

解　由题意知，

由这一关系式可知，Y与X之间是一种严格的线性关系，而且Y随着X的增加而增加，两者是一种正相关关系。下面我们通过计算它们的协方差和相关系数来验证一下。注意到

例4.3.4　独立地抛一枚均匀的骰子n次（n⩾2），则每次试验具有6种可能结果，而且每种结果出现的概率均为1/6。令Ni表示n次试验中“i点朝上”发生的次数，i＝1，2，…，6。求与Ni与Nj（i≠j）的相关系数ρij。

解　直观地来看，Ni与Nj（i≠j）是有关系的。当取定Nk（k＝1，2，…，6且k≠j），当Ni增大时，Nj应趋于变小。也就是说，Ni与Nj有着此消彼长的关系，即两者是负相关的。事实上，由题意知，的联合分布律为

其中，且。因此，且

令k＝x－1，l＝y－1，

故可得

即Ni与Nj是负相关的，这与我们前面的直观分析相符。

（三）不相关的定义

定义4.3.3　当随机变量X和Y的相关系数

时，称X和Y不相关（uncorrelated）或零相关。由相关系数及协方差定义，可知，“不相关”还可以用下面的任意一条来定义：

（1）Cov（X，Y）＝0；

（2）E（XY）＝E（X）E（Y）；

（3）D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）。

为理解这一定义，我们可以先看一个简单的例子：X为离散型随机变量，其分布律为。而Y＝X2。那么X与Y具有严格的函数关系，显然是不独立的（当然，读者也可以写出它们的联合分布律，从独立的定义来严格判断）。但，所以Cov（X，Y）＝0，即X和Y不相关。所以这里的“不相关”实质上指的是“不线性相关”，表示两变量间不存在线性关系，但可以存在非线性的函数关系。显然如果两变量独立，也就是两变量相互之间没有任何关联，那么它们一定没有线性关系，也就是说一定不相关。这表明不相关与独立之间有一定的关系，但也存在着明显的差别。