分布，分布，分布

统计量的分布称为抽样分布（sampling distribution）。在使用统计量进行统计推断时需要知道抽样分布。一般来说要给出统计量的精确分布是很困难的，但在某些特殊情形下，如总体是正态分布的情形下，我们可以给出某些统计量的精确分布，这些精确抽样分布为正态总体情形下参数推断提供了理论依据。

在数理统计中，最重要的三个分布分别为：分布，t分布和F分布。

（一）分布

定义6.2.1　（分布）设为独立同分布的随机变量，且都服从N（0，1），记，则称Y服从自由度为n的分布，记分布的概率密度为

图6.2.1

分布的概率密度可以由下面的方法导出，如果，其分布为。假设为独立同分布的随机变量，则仍是独立同分布的随机变量，从而由分布的可加性知，

由此可得出（6.2.1）。分布的密度函数的图形如图6.2.1所示。

分布有如下的性质，

（1）分布可加性

设，且两者相互独立，则。

证明　根据分布的定义，我们可以把Y1和Y2分别表示为

其中和都服从标准正态分布N（0，1），且相互独立。所以，根据分布的定义，

（2）分布的数学期望和方差

。即分布的期望等于自由度，而方差等于自由度的2倍。

证明：设，可以表示为，其中且相互独立，因而，，从而有

由分步积分可以得出，于是有，由的独立性，有

（3）分布分位点

对子给定的正数α，0<α<1，称满足条件

的点为分布的上（侧）α分位点，如图6.2.2所示。对于不同的α，n，上侧α分位点的值可见附表4。

图6.2.2

例6.2.1　对于α＝0.1，n＝25，查附表4得。也可以通过Excel查出（25）的值。具体如下；在Excel表单的任一单元格输入“＝”在主菜单中点击“插入（I）”“函数（F）”在“选择类别”的下拉式菜单中选择“统计”选择“CHIINV”点击“确定”在函数参数表单中输入Probability＝0.1， Deg-free-dom＝25，点击“确定”即在单元格中出现“34.382”。

例6.2.2　分布的概率值也是可以通过Excel表单得出。假设（25），计算P（X>36）的值，具体如下：在Excel表单的任一单元格输入“＝”在主菜单中点击“插入（I）”“函数（F）”在“选择类别”的下拉式菜单中选择“统计”选择“CHIDIST”点击“确定”在函数参数表单中输入“X＝36，Deg_freedom＝25”，然后点“确定”在单元格中出现“0.0716”。即。注意，Excel中分布的概率值实际上给出的是尾概率的值。如果要计算，则先要在Excel中求出P（X>36）的值，再由给出。

注　费歇（R. A. Fisher）曾证明，当n充分大时，分布的上侧α分位点可以有如下的近似，

其中是标准正态分布的上侧分位点。利用这个关系式可以求出n>40时，分布的上侧α分位点的近似值。

（二）t分布

定义6.2.2　（t分布）设，且X，Y相互独立，则称随机变量

服从自由度为n的t分布。记分布又称为学生氏（Student）分布。t（n）分布的概率密度函数为

t分布密度函数如图6.2.3所示，其中为标准正态密度函数。

图6.2.3

t分布有如下的性质：

（1）t分布的密度函数ft（y）是偶函数，关于y轴对称。

（2）由t分布的密度函数可以得到，

即当n足够大时，t分布近似于标准正态分布N（0，1）。

（3）t分布分位点。对于给定的正数，称满足条件的点分布的上侧α分位点，如图6.2.4所示。

图6.2.4

由t分布密度函数的对称性可知：。对于不同的α，n，上侧a分位点的值可见附表3。

例6.2.3　对于α＝0.05，n＝25，查附表3得。也可以通过Excel查出的值。具体如下：在Excel表单的任一单元格输入“＝”在主菜单中点击“插入（I）”“函数（F）”在“选择类别”的下拉式菜单中选择“统计”选择“TINV”点击“确定”在函数参数表单中输入“Probabilit 0.1，Deg_freedom＝25”，点击“确定”即在单元格中出现“1.708”。

例6.2.4　t分布的概率值也可以通过Excel表单简单得出的。假设X～t（5），计算P（X>2）的值，具体如下：在Excel表单的任一单元格输入“＝”在主菜单中点击“插入（I）”“函数（F）”在“选择类别”的下拉式菜单中选择“统计”选择“TDIST”点击“确定”在函数参数表单中输入“X＝2，Deg_freedom＝5，Tails＝1”，然后点“确定”即在单元格中出现“0.05097”。注意“Tails＝1”表示所得的概率是单边的，如果“Tails＝2”表示所得的概率是双边的，所求出的是的值，即。

注　数理统计书后的附表中的t的分位点的α不是很多，而且n也只到45为止。一般情形下，当n>45时，可以用标准正态分布来近似。但在Excel中可以查到你所想要的任意α和n取值的上。分位点。

（三）F分布

定义6.2.3　（F分布）设，且U，V相互独立，则称随机变量

服从自由度为的F分布。记分布的概率密度函数为

F分布密度函数如图6.2.5所示。

图6.2.5

F分布有如下的性质：

（1）由F分布的定义可知，若。

（2）如果，则。

证明：由t分布的定义可知，X可表示为

其中，并且Y与Z相互独立，所以

再由F分布的定义即可知。

（3）F分布分位点。对于给定的正数α，0<α<1，称满足条件

的点为分布的上侧α分位点，如图6.2.6所示，

图6.2.6

对于不同的α，n，上侧α分位点的值可见附表5，由性质（1），我们可以得出F分布分位点如下关系式，

证明：设，则有

即有

例6.2.5　对于，查附表5得。也可以通过Excel查出的值。具体如下：在Excel表单的任一单元格输入“＝”在主菜单中点击“插入（I）”“函数（F）”在“选择类别”的下拉式菜单中选择“统计”选择“FINV”点击“确定”在函数参数表单中输入Probability＝0.1，Deg_freedom1＝9，Deg_freedom2＝10，然后点击“确定”即在单元格中出现“2.347”。

注　一般数理统计书后的附表中的F的α分位点的α是比较小的值，如α＝0.1，0.05，0.025，0.01，0.005等，对于较大的α值的分位点通常可以利用计算得出。

例6.2.6　如F表中查不到，所以，

但在Excel中可以查到你所想要的任意α和取值的F分布的上分位点。

例6.2.7　对于F分布的概率值可以通过Excel表单简单得出。假设X～F（9，10），计算P（X>3）的值，具体如下：在Excel表单的任一单元格输入“＝”在主菜单中点击“插入（I）”“函数（F）”在“选择类别”的下拉式菜单中选择“统计”选择“FDIST”点击“确定”在函数参数表单中输入“X＝3，Deg_freedom1＝9，Deg_freedom2＝10”，然后点“确定”即在单元格中出现“0.0510”。注意Excel得出的F分布的概率值实际上是分布尾部概率的值。如果要计算P（X⩽3）的值，先计算P（X>3）的值，然后再由P（X⩽3）＝1－P（X>3）给出P（X⩽3）＝0.9490。