平稳过程的定义

在自然科学和工程技术中经常遇到这样一类过程，它们的统计特性是当过程随时间的推移而变化时，其前后状态间是相互联系的，这种联系不随时间的推移而改变。如纺织过程中棉纱截面积的变化，通讯过程中噪声干扰，飞机在空中平稳飞行时的随机波动，等等，这类过程称为平稳过程。

定义13.1.1　设是随机过程，若对任意常数h和正整数，与有相同的联合分布，即为严平稳过程（strictly stationany process）。

严平稳过程的任意有限维分布不随时间的推移而改变，从而严平稳过程的所有一维分布都相同，即对一切。而二维分布只与时间差有关，因为，由，取。因此，若严平稳过程是二阶矩过程，则X（t）的均值函数和方差函数是常数，相关函数和协方差函数是时间差的函数。

然而实际中随机过程的有限维分布往往是很难确定的，而一、二阶矩的确定要容易得多，这就引出了在应用上和理论上更为重要的另一种平稳过程。

定义13.1.2　设是立阶矩过程，如果

（1）对任意常数；

（2）对任意。

则称为宽平稳过程（wide sense stationary process）。

以后提到的平稳过程除非特别指明，都指的是宽平稳过程。显然，若严平稳过程是二阶矩过程的话，则一定是宽平稳过程，而宽平稳过程不一定是严平稳过程。对于正态过程而言，宽平稳过程一定是严平稳过程。

定义13.1.3　对于二维随机过程都是平稳过程，若互相关函数无关，称X（t）和Y（t）是联合平稳的。

例13.1.1　设是随机变量序列，。

（1）若两两不相关，问是否为宽平稳序列？

（2）若相互独立同分布，问是否为严平稳序列？

解（1）当是两两不相关随机变量序列时，由条件知，，即均值函数是常数，自相关函数只与n－m有关，因此是宽平稳序列。

（2）当是相互独立随机变量序列时，设Xn的分布函数为F（x），则点的分布函数

而

由定义知，是严平稳序列。

例13.1.2　设是两两不相关随机变量序列，是否为宽平稳序列？

例13.1.3　设随机过程，其中ω是正常数，A，B是不相关的随机变量。E（A）＝E（B）＝0，D（A）＝D（B）＝1。证明是平稳过程；若（A，B）服从正态分布，则是严平稳过程。

由定义是平稳过程。

若（A，B）服从正态分布，则是正态过程。事实上，任给t1，t2，…，tn，随机变量是正态变量（A，B）的n个线性组合，根据正态分布的性质知，服从正态分布，即是正态过程，又是宽平稳过程，从而是严平稳过程。

例13.1.4　考虑随机电报信号，信号X（t）取值只有1或－1，

，而正负号在区间（t，t＋τ］内变化的次数N（t，t＋τ）是随机的，且假设N（t，t＋τ）服从泊松分布，，其中λ＞0是单位时间内变号次数的数学期望。问是否为平稳过程？

平稳过程的基本特征是均值函数是常数，自相关函数是时间差的函数，因此了解自相关函数与协方差函数（只相差常数）的性质就显得非常重要。

性质13.1.1　设是随机过程，分别是协方差函数和相关函数，则，即对称性；且对于任给的及不全为零的实数，，即非负定性。

证明　对称性显然。下面只证明相关函数的非负定性，协方差函数的非负定性证明类似。

性质13.1.2　设是平稳过程，分别是协方差函数和相关函数，则

（1）

（2）均为偶函数；

（3），即0点是最大值点；

（4）均为非负定的。

证明请读者自行完成。

性质13.1.3　设是联合平稳过程，

证明请读者自行完成。