谈论任何数学，总是离不开用集合论的符号和术语，集合论主要由George Boole（布尔）（1815—1864）和Georg Cantor（康托尔）（1845—1918）建立起来的，它对20世纪数学的发展有深远的影响。它统一了许多看似没有关联的数学概念，满足逻辑要求的集合论是一个相当复杂的理论，幸运的是它包含的基本概念不多，经过讨论我们可以很快掌握一些在数学上常用的词汇。在本章第一节，我们让大家熟悉一下本书将会采用的与集合有关的一些符号和词汇。
在数学上，一个集合是指一些可确定、可分辨的事物构成的整体，我们常用大写字母来记集合：A，B，C，…，X，Y，Z．下面是一些在本书常看到的一些数集合：
组成一个集合的成员是这个集合的元素，通常用小写字母来标记：a，b，c，…x，y，z．
定义0.1.1
（1）a∈X表示a是X的一个元素。
（2）a∉X表示a不是X的一个元素。
给出一个集合的方法有两种：
（1）列出集合的所有元素。例如
X＝｛a,e,i,o,u｝
是一个由5个元素组成的有限集合。自然数、正整数和整数分别是
它们是含有无穷多个元素的无限集合。
（2）给出集合的一切元素所满足的属性。集合
X＝｛x｜P（x）｝
表示X是由满足性质P（x）的全体x构成，如有理数可表为
又如
是指全部大于或等于0且小于或等于1的实数。
定义0.1.2 设A，B为集合。如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B为A的子集。这时也称B被A包含或A包含B，记为
B⊂A．
上面提到的数集合有下面包含关系：
我们称一个不包含任何元素的集合为空集，记为⌀．显然⌀是每一个集合的子集。
定义0.1.3 设A，B为集合，如果A⊂B且B⊂A，称A与B相等．记作
A＝B．
显然A与B相等当且仅当A中的元素和B中的元素完全相同。
设
虽然它们表出的形式不一样，但A和B包含的元素是一样的，所以A＝B．集合中元素的重复和次序是不重要的，如｛1,2｝＝｛2,1｝＝｛1,2,1｝．
每一个集合本身也是它自己的一个子集。如果B⊂A并且B≠A，则称B是A的真子集。
从给定的集合，我们可以构造一些新集合。下面是最常用的集合的基本运算：
定义0.1.4 设A，B为集合。
（1）A与B的并集是
A∪B＝｛x｜x∈A或者x∈B｝．
（2）A与B的交集是
A∩B＝｛x｜x∈A并且x∈B｝．
（3）A与B的差集是
A－B＝｛x｜x∈A并且x∉B｝．
（4）若B⊂A，也称A－B为B关于A的补集或余集，记为
．
这些运算，可以用图（图0.1）来说明，在习题中，我们将列出一些集合运算的性质。
图0.1 集合运算
定义0.1.5 设a，b∈
，a＜b.
（1）称集合
为
的一个开区间，a和b分别是其左端点和右端点，它们不在集合（a,b）中。
（2）称集合
为
的一个闭区间，a和b分别是其左端点和右端点，它们都在［a,b］中。
（3）称集合
为
的半开半闭区间，a和b分别是左端点和右端点，如图0.2所示。
图0.2 
的区间
（4）引进记号＋∞（读作正无穷大）和－∞（读作负无穷大）如下
称上面集合为无穷区间，它们只有左端点或者只有右端点。
（5）对于
称（a－ε,a＋ε）为a的ε邻域，记作N（a,ε）．如果我们不关心区间的大小，可以将ε略去，称为a的一个邻域，记为N（a）．
积集或Descartes（笛卡儿）积是另外一个构造新集合的方法。
定义0.1.6 设A，B为集合。A与B的积集是
A×B＝｛（x,y）｜x∈A,y∈B｝，
其中（x,y）是一个有序对（也称序偶），即x与y的次序是重要的，先x，后y，两个序偶（x,y）与（x′,y′）相等当且仅当x＝x′，y＝y′，如图0.3所示。
图0.3 积集
设A＝｛a，b｝，B＝｛α,β,γ｝，则A×B＝｛（a,α）,（a,β）,（a,γ）,（b,α）,（b,β）,（b,γ）｝．
很明显，如果A≠B，则A×B≠B×A．
如果A＝B，则将A×A写成A2．设
则A2是一个边长为1的正方形（包括内部）。
取
则
就是我们熟知的平面。
如果取
则
记之为
我们学习的微积分将建立在集合
和
内，分别称为一维、二维和三维欧氏空间。
一个映射将一个集合X的元素对应于另外一个集合Y的元素，但是这种对应需要满足一些条件。
定义0.1.7 设X，Y为集合。
（1）若对于X中的每个元素x，按照某一法则f，在Y中有唯一确定的元素y（记作y＝f（x））与它对应，则称f为从X到Y内的一个映射，记为
f∶X→Y，
称X为映射f的定义域，Y为映射f的值集。
（2）称与x∈X对应的f（x）∈Y为x在f下的象。若A⊂X，称
f（A）＝｛f（x）｜x∈A｝⊂Y
为A在f下的象。称f（X）为f的值域。
（3）称G＝｛（x,f（x））｜x∈X｝⊂X×Y为映射f的图形。
一个映射由三个部分组成：（1）定义域的集合X；（2）包含值域的值集Y；（3）法则f．两个映射f∶X→Y和g∶A→B相等当且仅当X＝A，Y＝B和对于任何x∈X，f（x）＝g（x）．
在映射的定义中，我们可以这样表达x在f下的象f（x）的唯一性：如果f（x）＝y1和f（x）＝y2，则y1＝y2．
映射的概念可用多种简图来说明。例如在图0.4（a），我们将X和Y看成为点的集合，一个箭头用来表示x∈X是按照法则f与f（x）∈Y对应。另一个简图是将f想象为一部机器（图0.4（b）），当我们将x∈X输入这部机器，输出的是f（x）∈Y．
图0.4 映射
最常碰到的一些基本映射是：
（1）恒等映射 IX∶X→X，IX（x）＝x．
（2）常值映射 固定y0∈Y．对于任意x∈X，定义f（x）＝y0，则f∶X→Y的值域是f（X）＝｛y0｝．
（3）投影映射 集合X和Y的积集X×Y有两个自然的映射
p1∶X×Y→X；p2∶X×Y→Y，
其中p1（x,y）＝x，p2（x,y）＝y．映射pi将序偶（x,y）投影到第i个坐标，i＝1，2．
在下面定义中，我们列出一些具有“良好”性质的映射：
定义0.1.8 设f∶X→Y是映射。
（1）如果对于任意x1，x2∈X且x1≠x2，有f（x1）≠f（x2），则称f是单射，或称f为一对一的映射。例如图0.5（a）所示。
（2）如果f（X）＝Y，则称f是满射，或者说f是从X到Y上的映射。例如图0.5（b）所示。
（3）如果f同时是单射和满射，则称f是双射，或者说f是一一对应的映射。例如图0.5（c）所示。
图0.5 有“良好”性质的映射
和一对一等价的条件是：如果f（x1）＝f（x2），则x1＝x2．如果f是一个单射，则对于每一个y∈f（X），只有一个x∈X使得f（x）＝y．如果f是满射，则对于每一个y∈Y都至少存在一个x∈X使得f（x）＝y．如果f是双射，则X和Y的元素的“个数”是相等的。
恒等映射是双射，投影映射是满射。如果f∶X→Y是一常值映射，而且X和Y都有多于一个元素，则f既不是单射，也不是满射。
在适当的条件下，我们可以从已知的映射构造新的映射。
定义0.1.9 设f∶X→Y，g∶Y→Z是映射。f和g的复合
是用
定义的映射。如图0.6．
设f∶X→Y，g∶Y→Z，h∶Z→A是映射，则
因此，多个映射的复合满足结合律。
我们可以利用一个双射的一一对应性来构造新映射。
定理0.1.10 设f∶X→Y是双射。用g（y）＝x当且仅当f（x）＝y可以定义一个新映射g∶Y→X，而且g也是一个双射，同时满足：
证明 （a）因为f是满射，对于任意y∈Y，至少存在一个x∈X使得f（x）＝y．因为f是单射，至多存在一个x∈X使得f（x）＝y．所以g是一个映射。
（b）设g（y1）＝g（y2）＝x．由g的定义知：f（x）＝y1和f（x）＝y2．因为f是映射，有y1＝y2，所以g是单射。
（c）设x∈X．因为f是映射，f（x）∈Y．记y＝f（x），则g（y）＝x．因为x是任意的，所以g（Y）＝X，即g是满射。
（d）由g的定义，g（y）＝x当且仅当f（x）＝y，所以
定理0.1.10保证下面的定义有意义。
定义0.1.11 设f∶X→Y是双射。称用f-1（y）＝x当且仅当y＝f（x）定义的双射
f-1∶Y→X
为f的逆映射或反映射。
一一对应是一个很强的要求。一般的映射不是双射，因此没有逆映射。但是逆映射的应用比表面看来要广泛得多。如果f∶X→Y不是双射，我们可以将X和Y适当地缩小，使它变成一个双射。具体来说，假设A⊂X而限制于A时f是一对一的。定义一个新映射g∶A→Y，g（x）＝f（x），则g是单射。再定义一个新映射，仍然用g来记这个映射g∶A→g（A），则g是双射，这样我们就可以构造g的逆映射（图0.7）。一般来说，如果A⊂X，B⊂Y，而且f（A）⊂B，我们称
g∶A→B，g（x）＝f（x）
为f∶X→Y在A上的限制映射，也称f为g的延拓映射。
图0.6 复合映射
图0.7 逆映射
我们还可以用积集来构造新的映射。例如已知映射f1∶X1→Y1，f2∶X2→Y2，则明显
f1×f2∶X1×X2→Y1×Y2，（f1×f2）（x1，x2）＝（f1（x1），f2（x2））
是定义在积集X1×X2上的映射。又例如已知f1∶X→Y1和f2∶X→Y2，则
（f1，f2）∶X→Y1×Y2，（f1，f2）（x）＝（f1（x），f2（x））
是有意义的映射。
在不同的数学内容里，映射有不同的名称，如函数、映照、变换或算子。在微积分中，我们习惯地称一个从
（n＝1,2,3）的一个子集到
的一个子集内的映射为函数。在第二节中，我们会看到，复合函数和反函数是构造新函数常用的手段。
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