一元实函数

在这一节里我们主要考虑实函数其中f的图形是

将它绘在直角坐标系的二维平面上，一个实函数图形的特点是：任何垂直于x-轴的直线和G至多相交于一点，这是因为函数的定义要求对于每一个给定x∈D，f（x）是唯一的。G在x-轴的投影是f的定义域，在y-轴的投影是f的值域（参看图0.8）。

图0.8　图形的投影

图0.9　一对一函数的图形

如果任何平行于x-轴的直线和G至多相交于一点，则f是一对一的，如图0.9所示；如果我们将一对一的f限制为f∶D→f（D），则它是一个一一对应的函数的图形。图0.8表示一个不是一对一的函数的图形，因为存在x₁≠x₂，而f（x₁）＝f（x₂）．

一个函数的法则，最普遍的是用一个式子来表示，如

大部分的时候，为了避免不必要的重复和表达的精简性，我们不提函数f的定义域。我们作下面的约定：

如果没有特别指出，一个函数f的定义域是全部使f的定义有意义的实数，称之为自然定义域。

例0.2.1　如果我们只写下函数

而没有指出f的定义域，我们的理解是f的定义域是［1,2］。因为使有意义的实数满足x－1≥0，使有意义的实数满足2－x≥0，所以全部使f有意义的实数是

［1,＋∞）∩（－∞,2］＝［1,2］．

有些时候，我们在表示一个函数的式子后同时指明这函数的定义域，如

是指明f的定义域是［－1,1］－｛0｝．

下面6类函数及其性质是我们非常熟悉的：

（1）常值函数　

（2）幂函数　是固定的。

如果α是正整数，则f的定义域是＝（－∞,＋∞）；

如果α是一般实数，规定f的定义域是（0,＋∞）．

（3）指数函数　f（x）＝a^x　（a＞0且a≠1）．

（4）对数函数　f（x）＝log_ax　（a＞0且a≠1）．

其定义域为（0,＋∞）．当a＝e时，称之为自然对数，记为f（x）＝lnx．

（5）三角函数　

（6）反三角函数

由于反三角映射是三角映射的逆映射，我们也记

arcsin（x）＝sin^-1（x），arccos（x）＝cos^-1（x）．

arctan（x）＝tan^-1（x），arccot（x）＝cot^-1（x）．

以上6类函数统称为基本初等函数。

由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数称为初等函数，如多项式有理函数其中P和Q是没有公共因子的多项式；

分段函数是将定义域分割为不相交的子集，而在每一个子集上给出定义的函数。

例0.2.2　符号函数sgn（x）（图0.10）

图0.10

例0.2.3　“整数部分”函数（图0.11）

f（x）＝［x］＝n，n≤x＜n＋1，n∈．

图0.11

f（x）＝x－［x］称为非负小数部分函数（图0.12）

图0.12

前面给出的函数的例子有共同的特点，都具有形式y＝f（x），称为显式函数。通过满足某一方程所确定的变量y和x之间的对应关系，称为隐式函数，这是函数的另一种重要表达形式。

例0.2.4　天体力学中著名的Kepler（开普勒）方程

y＝x＋εsiny，

ε∈（0,1）是一个常数。

任给存在唯一的y满足Kepler方程（存在性可由定理2.4.4证明，唯一性容易验证，留给读者作为练习。）

函数的简单特性

（1）有界性

定义0.2.5　设如果存在常数M使得对任何x∈D，f（x）≤M，则称f有上界，M是f的一个上界；如果存在常数m使得对于任何x∈D，f（x）≥m，则称f有下界，m是f的一个下界；如果f有上界和下界，则称f是有界函数。

当一个函数有上界（或者下界）时，其上界（或者下界）不唯一。事实上，如果M是的一个上界，则任何大于M的数都是f的上界；如果m是f的一个下界，则任何小于m的数都是f的下界。

有界函数的另一个定义是：

“存在A＞0使得对于任何x∈D，｜f（x）｜≤A．”

容易证明：这两个定义是等价的。

（2）单调性

定义0.2.6　设如果对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时成立f（x₁）≤f（x₂）（或者f（x₁）＜f（x₂）），则称f是单调增加的（或者严格单调增加的）；如果对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时成立f（x₁）≥f（x₂）（或者f（x₁）＞f（x₂）），则称f是单调减少的（或者严格单调减少的）。

例如，f（x）＝a^x（a＞1），f（x）＝arctanx在定义域内是严格单调增加的；f（x）＝a^x（0＜a＜1），f（x）＝arccotx在定义域内是严格单调减少的；f（x）＝sgn（x），f（x）＝［x］是单调增加，但不是严格单调增加的。

有很多函数在某自然定义域内不是单调的，但在其自然定义域的某些子集内具有单调性，如f（x）＝sinx在其自然定义域内不是单调的，但在上是严格单调增加的，而在上是严格单调减少的。

（3）奇偶性

定义0.2.7　设D关于原点对称，即x∈D时，－x∈D．如果对于任意x∈D，f（－x）＝f（x），则称f是偶函数；如果对于任意x∈D，f（－x）＝－f（x），则称f是奇函数。

如f（x）＝x³，f（x）＝tanx，是奇函数；f（x）＝x²，f（x）＝cosx，f（x）＝｜x｜是偶函数；f（x）＝sinx＋cosx既不是偶函数，也不是奇函数。

（4）周期性

定义0.2.8　设如果存在常数使得对于任意x∈D，x＋c∈D且f（x＋c）＝f（x），则称f是周期函数，c是f的一个周期；如果存在最小的c＞0，使c是f的一个周期，则称c是f的最小正周期。

显然周期不是唯一的，如果c是f的一个周期，则对于任意kc也是f的一个周期。

如f（x）＝sinx，f（x）＝cosx是（－∞,＋∞）上的周期函数，是它们的周期且2π是它们的最小正周期。但并不是每个周期函数都有最小正周期。

例0.2.9　Dirichlet（狄利克雷）函数

容易验证：D是一个周期函数。任何非零有理数是D的周期，但D不存在最小正周期。

图0.13给出了一些函数特征性质的直观说明。

图0.13

由定义0.2.6　一个严格单调增加（或者减少）的函数一定是单射，利用定理0.1.10，我们有

定理0.2.10　设f∶D→是严格单调增加（或者减少）函数，则f∶D→f（D）有反函数f^-1∶f（D）→D，满足

而且f^-1也是严格单调增加（或者减少）函数。

f^-1是由f^-1（y）＝x当且仅当f（x）＝y定义的，f和f^-1的图形关于直线y＝x对称（图0.14）。

图0.14

几个常用的不等式

（1）三角不等式　对于任意实数a和b，都有

｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜．

（2）Bernolli（伯努利）不等式　对于任意正整数n和实数a∈［－1,＋∞），有

（1＋a）ⁿ≥1＋na．

（3）均值不等式　对于n个正数a₁，a₂，…a_n，分别称

为它们的算术平均值，几何平均值及调和平均值。

我们有不等式

等号成立当且仅当a₁＝a₂＝…＝a_n．

（4）Cauchy（柯西）不等式　对于任意2n个实数a₁，a₂，…，a_n；b₁，b₂，…，b_n，有

等号成立当且仅当存在常数c使a₁＝cb₁，a₂＝cb₂，…，a_n＝cb_n．