导数的四则运算与反函数的导数

常见的初等函数，均是一些简单的基本初等函数通过四则运算、逆运算和复合运算得到。对于一般复杂函数，直接利用极限运算来计算导数值是不理想和复杂的。我们需要建立一些求导规则和一些基本初等函数的导函数，进而简化导函数的计算，或使得计算一些（但非全部）复杂函数的导函数成为可能。本节将分别介绍函数四则运算、反函数下的求导规则，并根据这些规则给出基本初等函数的导函数。复合函数的求导规则将在下节给出。

导数的四则运算

导数的四则运算，是一个约定俗成的称呼，指的是对一个经（某些函数的）四则运算后得到的函数求导所固有的规则。因其简洁性，我们仍然沿用这一在语义上不太准确的俗称。

定理3.2.1（线性性质）　设函数f和g在x₀处均可导，α和β为两个常数，则f和g的线性组合函数αf＋βg在x₀处也可导，并且

一般地，如果f和g（在指定的同一区间内）可导，则在此区间内，

（αf＋βg）′＝αf′＋βg′．

即

（αf＋βg）′（x）＝αf′（x）＋βg′（x）．

证明　为简单起见，我们简记x₀为x．由于f和g在x处均可导，故下述两个极限均存在：

由于

因此，在上述等式两边令∆x→0，借助极限运算的线性性质，我们立即得到

根据这一性质，我们可以计算“稍微复杂一点”函数的导函数。

例3.2.2　计算函数f（x）＝log_ax的导函数。

解　通过对数的换底公式将f（x）＝log_ax改写为

于是由导数的线性性质和例题3.1.5立即得

例3.2.3　计算函数f（x）＝1＋2x³－5sinx的导数。

解　

例3.2.4　证明：n次多项式（n＞0）的导函数是一个，n－1次多项式。

这一例题的证明留给读者。

定理3.2.5　设函数f和g在x₀处均可导，则积函数fg在x₀处也可导，并且

一般地，如果f和g（在指定的区间内）可导，则

（fg）′（x）＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x），

即

（fg）′＝f′g＋fg′．

证明　将函数值的差表示为

于是

不难将定理3.2.5推广到多个可导函数之积的情形，如

（fgh）′（x）＝f′（x）g（x）h（x）＋f（x）g′（x）h（x）＋f（x）g（x）h′（x）．

类似可证明下述定理。

定理3.2.6　设函数f和g在x₀处均可导，g（x₀）≠0，则商函数在x₀处也可导，并且

一般地，如果f和g（在指定的区间内）可导，且g（x）≠0，则

即有

特别地　　（1／g）′＝－g′／g²．

由定理3.2.6可直接得到其他三角函数的导函数：

类似地，请读者证明：

反函数的求导法则

定理3.2.7（反函数求导法则）　设函数f在I＝N（x₀）内严格单调，J＝f（I）．g∶J→I为f在I内的反函数。如果f在N（x₀）内严格单调、连续，在x₀处可导，且f′（x₀）≠0，则g在y₀＝f（x₀）处可导，且

证明　令∆x＝g（y₀＋∆y）－g（y₀），则

g（y₀＋∆y）＝x₀＋∆x，y₀＋∆y＝f（x₀＋∆x），

于是

∆y＝（y₀＋∆y）－y₀＝f（x₀＋∆x）－f（x₀）．

由于f在N（x₀）内严格单调、连续，则g必在y₀的某邻域f（N（x₀））内也严格单调、连续。因此，当∆y≠0时，上述定义的∆x≠0，并且当∆y→0时，此∆x→0．于是，由f在x₀的可导性得

例3.2.8　证明：若｜x｜＜1，则

证明　令y＝arcsinx，｜x｜＜1，则其反函数为x＝siny，根据反函数的求导法则，

请注意：上式中（arcsinx）′在（siny）′的求导变量是不同的：前者关于变量x，后者关于变量y．初学者应特别注意其区别。可类似地得到其他反三角函数的导数（见下节末的基本初等函数导数公式表）。

例3.2.9　求指数函数y＝a^x（a＞0,a≠1）的导函数。

解　y＝a^x的反函数为x＝log_ay　（y＞0）．因此，

特别地