复合函数的求导法

除了简单的初等函数或经四则运算后得到的函数外，我们还常见一些由初等函数复合所得的函数。本节将考虑复合函数的求导法则。

定理3.3.1（链式法则）　设函数g在x₀处可导，f在u₀＝g（x₀）处可导。则复合函数在x₀处也可导，且

证明　由于f在u₀处可导，因此f可表示为

其中，当u→u₀时，α＝α（u）是无穷小量，且α（0）＝0．现取u＝g（x）．由于g在x₀处连续，故当x→x₀时，u＝g（x）→g（x₀）＝u₀．因此，

其中，α＝α（g（x））→0，（x→x₀）．从而

一般地，如果g在区间（a,b）内可导，而f在g的值域内可导，那么在（a,b）内有定义的复合函数在（a,b）内也可导，并且，

或者表示为

上述公式常被称为复合函数的链式求导法则。特别需要强调的是：当求得f′（u）后，应将u＝g（x）代入。另外也请注意：f′（g（x））与（f（g（x）））′是不同的，读者应明确无误地区别这两者之间的差异。

通过上述链式求导法则，可以方便地计算更为复杂函数的导函数。

例3.3.2　求幂函数y＝x^a（x＞0）的导函数。

解　将y＝x^a表示为y＝x^a＝e^alnx．它可以看作y＝e^u与u＝alnx的复合函数。

因此，

例3.3.3　采用上述类似的方法可以得到函数f（x）＝x^x（x＞0）的导函数：

（x^x）′＝x^x（1＋lnx）．

现在我们再来回顾反函数的求导法。假设函数f∶I→J和g∶J→I互为反函数，其中J＝f（I）．由定义，在J内：f（g（y））≡y．如果f在I内可导，且g在J内可导，那么复合函数在J内可导，且

另一方面，由于复合函数（y）＝y，故′（y）＝1．从而有

f′（x）g′（y）＝1，x＝g（y）

因此，当f′（x）≠0时，

在上述分析中，我们直接在（可导函数的）恒等式f（g（y））≡y两边关于y求导得到g′（y）．请注意，g′（y）仍以复合函数的形式出现：g′（y）＝1／f′（x），x＝g（y）．这一方法可用于计算一些由方程确定的“隐”函数的导数。

例3.3.4　考虑由Kepler方程（常数ε∈（0,1））

y－x－εsiny＝0

确定的函数y＝f（x）（见例0.2.4）。将其代入上述方程，得到恒等式

f（x）－x－εsin（f（x））≡0．

以后我们可以用二元函数的隐函数定理证明：该函数y＝f（x）是可导的。因此，在上述恒等式两边关于变量x求导，并整理后得

这是一个关于f及其导函数的恒等式。由此得到导函数

它给出了通过自变量和函数来计算导函数的表达式。

对数求导法

利用对数建立函数恒等式，将复杂函数简化。然后通过函数恒等式的求导，建立导函数的关系式，进而解得导函数，这一方法称为“对数求导法”。下面我们以f（x）＝x^x（x＞0）为例，来演示对数求导法的基本过程。

首先对函数f（x）＝x^x取对数，从而建立一个恒等式lnf（x）＝xlnx．等式左边函数lnf（x）是y＝lnu与u＝f（x）的复合函数。

其次，对此恒等式关于x求导（等式左边通过复合函数求导法；等式右边直接求导）得

最后解之，得f（x）＝x^x的导函数：

f′（x）＝x^x（1＋lnx）．

一般地，用对数求导法可以证明：若函数u（x）和υ（x）均可导，且u（x）＞0．则

建议读者仔细推导这一公式。

对于一些积、商、幂或指数函数，用对数求导法也可以简化求导过程。

例3.3.5　求函数的导函数。

解　两边取对数，得

对上式关于x求导，注意到lny（x）是复合函数，因此有

两边乘y（x）并将y（x）的表示式代入，得

至此，我们已经介绍完全部基本初等函数的导函数和一般函数的求导法则。下面列出了一些基本初等函数的导数公式，以便备查。读者理应熟记这些公式。

基本初等函数的导数公式

1．（C）′＝0，其中C为任一常数。

2．（x^a）′＝ax^a－1，其中a为任一常数。

3．（sinx）′＝cosx，（cosx）′＝－sinx．

4．（tanx）′＝sec²x，（cotx）′＝－csc²x．

5．（secx）′＝secxtanx，（cscx）′＝－cscxcotx．

6．｜x｜＜1．

7．

8．（a^x）′＝a^xlna，（e^x）′＝e^x．

9．（x≠0）．