曲率与渐近线

函数图形的凹向与拐点

单调性、极值性刻画了函数曲线的升降与峰谷形态。然而要比较全面地了解函数曲线，仅仅考虑函数的单调性、极值性是不够的。例如函数y＝1－x²与在（－∞,0）内均严格单调增加，在（0,＋∞）均严格单调减少，同时，x＝0均为这两个函数的唯一极大值点，且极大值也都是1。但两者的整体特性却大相径庭。参见图4.2。

图4.2　函数y＝1－x²（左）与

对于函数，y＝1－x²，其任何一点x₀处的切线（在x₀的局部范围内）均在曲线之上。这一特点在上并不总能保持。读者可以验证：如果｜x₀｜适当大时，x₀处的切线却在曲线之下。

定义4.6.1　如果在区间（a,b）内的任何一点x₀处，函数f的切线均在曲线之下，即在x₀某个邻域内总有

则称f在（a,b）内凸（下凹）。类似地，如果在区间（a,b）内的任何一点x₀处，函数f的切线均在曲线之上，即在x₀某个邻域内总有

则称f在（a,b）内凹（上凸）。

图4.3　凸函数（左）与凹函数（右）

如果向函数值增加的方向看，上述凹凸的定义与几何直观一致。

由于仅需要局部地满足（7）或（8），我们可以借助于Taylor展开式来检验。考虑二阶Taylor展开式，

其中ξ＝x₀＋θ（x－x₀），θ∈（0,1）．易知，如果f″＞0，则（7）满足；如果f″≤0，则（8）成立。于是我们证明了下述凹凸定理的充分性。

定理4.6.2（凹凸判别法）　设f在区间［a,b］上连续，在（a,b）内二阶可导。那么

（1）f在［a,b］内凸，当且仅当在（a,b）内恒有f″≥0；

（2）f在［a,b］内凹，当且仅当在（a,b）内恒有f″≤0．

定理的必要性证明留给读者。

例4.6.3　求函数的凹凸区间。

解　通过仔细运算得

当x∈（－1，－1/2）时，f″（x）＜0，从而f在（－1，－1/2］内凹；当x∈（－1/2，1）时，f″（x）＞0，从而f在［－1/2，1）内凸。　　◇

在上述例子中，函数f在x＝－1/2的两侧改变了凹凸性。具有这一特性的点称为拐点。

直接由定理4.6.2可得拐点的必要条件。

定理4.6.4　设f在区间（a,b）内二阶可导，x₀∈（a,b）为曲线y＝f（x）的拐点，则

f″（x₀）＝0．

如同f′（x₀）＝0仅是极值点的必要条件一样，f″（x₀）＝0也仅是拐点的必要条件。判定x₀是否为拐点还需进一步的条件。有兴趣的读者可以考虑证明下述定理。

定理4.6.5　设f在x₀处n阶可导（n≥3），满足

f^（k）（x₀）＝0，k＝2，…，n－1，f^（n）x₀≠0．

如果n为奇数，则x₀为曲线y＝f（x）的拐点。

下表给出了在f^（k）（x₀）＝0，k＝2，3，4，f^（5）＞0情形下，证明定理4.6.5的步骤示意图。

例4.6.6　若a＝π／4－2，则x＝π／4是f（x）＝（x－a）sinx的一个拐点。

解　计算f的二阶导数，得

f″（x）＝2cosx－（x－a）sinx．

则f″（π／4）＝0．而三阶（奇数阶）导数f^（3）在x＝π／4处非零因此x＝π／4是f的拐点。　　◇

f″在拐点x₀处可能不存在，见例题4.6.9。

曲率与曲率圆

在一个半径为R的圆上截取一弧段，其弧长l由半径R与弧段的弧度θ确定：

l＝θR．

考虑动点从弧段的一端移动到另一端，此时动点处的切线的角度也随之改变。容易看到，θ实际上是切线角度的改变量。显然，弧长l或切线角度的改变量θ本身并不决定弧段的弯曲程度：等弧长但不等切线角度的改变量，或等切线角度的改变量但不等弧长的两个弧段，可以有不同的弯曲度。下图给出了这两种情形的对比弧段。

图4.4

决定弧段的弯曲程度实际上是半径R.R越大，或等价地，1／R越小，弧段的弯曲度越小。即

决定了弧段的弯曲度。我们称为弧段的平均弯曲度。

一般地，在一个可微函数曲线上点P附近截取一曲线段，记l为此曲线段的弧长，θ为此曲线段起点与终点处两切线的角度的改变量，我们用定义此曲线段的平均弯曲度。

显然，若l越小，则越能准确地反映曲线在P点处的弯曲度。因此，若l趋于零时的极限存在，则我们用此极限值

定义曲线在P点处的弯曲度，又称其为曲率。

容易验证，半径为R的圆上任何点处的曲率均相同，且为K＝1／R．所以我们又称

R＝1／K

为曲线在P点处的曲率半径。

现在我们推导一般可微函数曲线y＝f（x）的曲率表达式。首先在曲线上任取一固定点P（x，f（x）），然后再取动点M（x＋∆x，f（x＋∆x））．由于P、M两点处的切线与x轴的夹角分别为α（x）＝arctanf′（x）和α（x＋∆x）＝arctanf′（x＋∆x），因此，两点切线角度的改变量为

｜∆α｜＝｜arctanf′（x＋∆x）－arctanf′（x）｜．

另一方面，当｜∆x｜足够小时，P、M两点间曲线弧长可表示为

（详细推导过程请参见第六章有关弧长计算的部分）因此，点P（x，f（x））处的曲率为

如果K（x）≠0，则在P（x，f（x））的法线（过P点且与P点切线垂直的直线）上曲线弯曲一侧取一点Q，使其到Q点的距离为P．然后以Q为圆心，以R为半径作圆C．这样的圆具有如下特点：

（1）它与曲线y＝f（x）在P点处相切（即具有相同的切线）。

（2）在此公共的切点，两者有相同曲率。

（3）在此公共的切点，两者有相同的凹凸性。

我们称这样的圆为f在P点处的曲率圆，R（x）＝1／K（x）为曲率圆半径，简称曲率半径。曲线与曲率圆参见图4.5．

图4.5

例4.6.7　求在x＝1处的曲率K与曲率半径R．

解　因为f′（1）＝1／5，f″（1）＝9／10，所以f在x＝1处的曲率曲率半径

曲线渐近线

所谓“曲线的渐近线”是这样一条直线：当点P（x,y）沿曲线远离原点时，P（x,y）到此直线的距离趋于0（图4.6）．

图4.6　渐近线

动点P（x,y）沿曲线远离原点，可分两种情形：（1）x→x₀时，f（x）→∞；（2）x→＋∞或x→－∞．

如果x→x₀时，f（x）→∞，则直线x＝x₀便是曲线y＝f（x）的一条垂直渐近线。这种情形容易确定。

如果x→＋∞，或x→－∞，则可能的渐进线为水平或斜直线，可统一表示为y＝ax＋b．在此情形下，曲线y＝f（x）上的点P（x,y）到此直线的距离为

因此，如果当x→＋∞时，d（x）→0，则f（x）－ax－b→0．从而也即再由f（x）－ax－b→0，可确定

反过来，对于这样确定的直线y＝ax＋b，显然有d（x）→0（x→＋∞）．故y＝ax＋b是曲线y＝f（x）的一条渐进线。这样，水平或斜渐近线y＝ax＋b的系数可如下确定：

可类似地分析x→－∞时的渐近线。

例4.6.8　求函数的渐近线。

解　显然f有垂直渐近线x＝1．另外，由

f有斜渐近线：y＝x＋3．注意：y＝x＋3实际上是在x→＋∞，x→－∞下的二条重合渐近线。　　◇

函数图形的描绘

比较准确地绘制函数曲线，除了函数的定义域、值域、连续性外，还应考虑曲线的主要特征与特征点。曲线的主要特征应包括：

（1）单调区间；

（2）凸性区间；

（3）特征点，如极值点、拐点、间断点不可导点、曲线与坐标轴的交点等；

（4）渐近线。

通常，一阶导数用于确定单调区间与极值点；二阶导数用于确定凸性区间与拐点。适当地建立一阶导数和二阶导数的信息表，对绘制函数曲线是有帮助的。

例4.6.9　绘制函数的曲线图形。

解　经计算得

根据三次方程的求根公式，方程x³＋2x²＋8x－2＝0只有一个实根

其中，因此，f″只有一个零点x₀．请注意：f″在x＝0和x＝1时不存在，而x＝0恰恰是一个拐点。f的特征信息见下表所示。

显然，x＝1是f的一条垂直渐近线。由于x→∞时，因此f没有斜渐近线。同时f也没有极值（图4.7）。　　◇

图4.7