定积分的近似计算

在计算定积分时，当被积函数的原函数不能用初等函数或者分段函数表示时，就无法用Newton-Leibniz得到结果，另外当被积函数很复杂时，计算也会非常困难。而在实际应用中需要的往往只是积分的近似值（满足一定的精度要求），这时可以进行定积分的近似计算。下面以定积分的几何意义为依据介绍几个著名的定积分的近似计算方法。

一、矩形法

定积分的值为曲线y＝f（x）和x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的代数面积。在区间［a,b］内均匀插入n－1个分点a＝x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_i－1＜x_i＜…＜x_n＝b，即将区间［a,b］作n等分，此时每个小区间的长度为（i＝1,2,…,n），而各个小区间端点x₀＝a，（i＝1,2,…,n）．如图6.23．

图6.23

现在用小区间上的n个小矩形面积f（x_i－1）∆x_i或f（x_i）∆x_i（i＝1,2,…,n）来近似相应小区间上曲边梯形面积，这n个小矩形面积之和即为［a,b］上的曲边梯形的面积的近似值，所以也为所求定积分的近似值，因此有以下求定积分近似值的公式：

或

这两个公式称为矩形公式，用矩形公式来求定积分近似值的方法称为矩形法。

二、梯形法

梯形公式可以看成是矩形公式的一个改进。从图形中可知，一般用小区间上的梯形面积来近似小曲边梯形的面积会更精确，如图6.24，即在小区间［x_i－1,x_i］（i＝1,2,…,n）上，用

图6.24

小梯形的面积（i＝1,2,…,n）来近似小曲边梯形的面积，从而得到定积分的近似计算公式：

此公式称为梯形公式，用梯形公式来求定积分近似值的方法称为梯形法。

三、抛物线法（Simpson（辛普生）法）

事实上，矩形法是在每个小区间［x_i－1,x_i］（i＝1,2,…,n）上用常值函数

y＝f（x_i－1）或y＝f（x_i）

来近似函数y＝f（x），x∈［x_i－1，x_i］进行定积分计算；梯形法则是用一次函数

来近似函数y＝f（x）,x∈［x_i－1,x_i］进行定积分计算。

下面，我们考虑在小区间［x_i－1,x_i］（i＝1,2,…,n）用二次函数（抛物线）

y＝px²＋qx＋r

来近似函数y＝f（x），x∈［x_i－1,x_i］，如图6.25所示。而确定一条抛物线需三个点，所以我们一次需选取两个小区间［x_i－1,x_i］和［x_i,x_i＋1］，（i＝1,2,…,n），其中n须为偶数，这样用通过（x_i－1，f（x_i－1）），（x_i，f（x_i）），（x_i＋1，f（x_i＋1））三点的二次曲线

图6.25

来近似y＝f（x），x∈［x_i－1，x_i＋1］，从而通过积分得近似计算公式

将上述这个等式相加，并将等式右边的积分计算出来，整理得

此公式称为抛物线公式（或Simpson公式），用抛物线公式（或Simpson公式）求定积分的近似值的方法称为抛物线法（或Simpson法）。

一般，用上述三个公式计算定积分的近似值时，n取得越大，计算的结果就越精确，当然计算量也相应增大。对于相同的n，用矩形公式所得结果的误差要大于梯形公式所得结果，Simpson公式误差最小。

例6.6.1　用梯形法和抛物线法计算定积分的近似值。其中

解　现将积分区间［0,1］分成8等分，其分点上的函数值计算如下：

由梯形公式得

由抛物线公式得