利用幂级数展开式求近似值

§7.6　幂级数的应用

函数值的近似计算

运用幂级数展开可以近似计算许多初等函数在某点的近似函数值，如三角函数、根式函数、对数函数等，而且利用余项R_n（x）可以估计出近似值的误差。以下举几个例子。

例7.6.1　计算的近似值，要求误差不超过0.0001。

解　因为

所以在二项展开式中取即得

这个级数收敛很快，取前两项的和作为的近似值，其误差（也叫截断误差）为

于是取近似值为

例7.6.2　计算ln2的近似值，要求误差不超过0.0001．

解　在上节例7.5.6中，令x＝1可得

如果取这级数前n项的和作为ln2的近似值，其误差为

为了保证误差不超过10^-4，需要取级数的前10000项进行计算。这样做计算量太大了，我们必须用收敛较快的级数来代替它。

把展开式

把x换成-x，得

两式相减，得到不含有偶次幂的展开式：

令解出以代入最后一个展开式，得

如果取前四项和作为ln2的近似值，则误差为

于是取　　

积分的近似计算

利用幂级数不仅可以计算一些函数值的近似值，而且可以计算一些定积分的近似值。具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。

例7.6.3　计算定积分

近似值，要求误差不超过0.0001（取）．

解　将e^x的幂级数展开式中的x换成-x²，就得到被积函数的幂级数展开式

于是，根据幂级数在收敛区间内逐项可积性，得

取前四项的和作为近似值，其误差为

所以

例7.6.4　计算积分

的近似值，要求误差不超过0.0001．

解　由于因此所给积分不是广义积分。如果定义被积函数在x＝0处的值为1，则它在积分区间［0,1］上连续。

展开被积函数，有

在区间［0,1］上逐项积分，得

因为第四项所以取前三项的和作为积分的近似值：