费尔玛大定理的证明

费尔玛大定理的证明——20世纪最伟大的数学成就

记数制产生之后，人们可以很方便地研究自然数的各种性质了。在17世纪便产生了一个关于自然数的著名定理——费尔玛大定理。它的表达形式十分简单明了，只要有初等数学的基础就能看懂定理本身，但它的证明却经历了漫长的3个多世纪。在这漫长的3个多世纪中，数学这门科学本身发生了很大的变化，人们对数学的认识也发生了很大的变化。费尔玛大定理的提出以及解决的过程是这一变化的最好体现。

业余数学家费尔玛

数学家费尔玛

费尔玛(1601—1665年)法国数学家。早年在家乡受教育，后来进入大学学习法律并获得法律方面的学士学位。在他20多岁的时候对数学发生了兴趣，深入研究过数学家韦达(1540—1603年)的著作。关于韦达，后面将要介绍，他的论著内容深奥、言辞艰涩。但是费尔玛不但有丰富的法律知识，以律师为职业，而且是一位博览群书、见多识广的学者。虽然数学只不过是他的业余爱好，但他精通法语、西班牙语、拉丁语、希腊语。从而使他不仅能精心研究韦达著作，而且能深入钻研那些古典数学著作，汲取了先辈数学家的成果，在几个重大数学分支中都做出了极为重要的贡献。最使他闻名于世的是他提出的费尔玛大定理或者叫做费尔玛猜想。

费尔玛大定理

费尔玛对解析几何、微积分和概率论的开创都做出了重要贡献。但最能显示出他的才华且对后人影响最大的，还是他在数论方面的工作。在他生命的最后15年里，他几乎把全部精力放到了对数论的研究上。

在费尔玛之前，希腊人也曾经研究过数的性质，我们可以从欧几里得、丢番图等人的著作中找到一些关于数的性质的论述，但是很不系统。这个学科也曾强烈地吸引印度人和中国人，但是直到费尔玛仔细研究了丢番图著作的译本并把注意力转移到这方面之前，数论始终不曾有过重大进展。费尔玛对数论的研究是从读丢番图的《算术》开始的。费尔玛对数论的大部分研究结果都批注在这本书的边缘和空白以及写给朋友的一些信中。他于1637年前后在丢番图的《算术》第二卷第八命题“将一个平方数分为两个平方数”的旁边写到:“相反，要将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂。一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，都是不可能的。对此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下。”这就是数学史上著名的费尔玛大定理或称费尔玛最后定理，这个定理用现代术语简述如下:

不可能有满足xⁿ+yⁿ=zⁿ，xyz≠0，n＞2的正整数x、y、z存在。

费尔玛去世后，他的儿子塞缪尔·费尔玛把费尔玛读过并加上评注的《算术》一起编辑，于1670年出版。费尔玛的这个断言才以费尔玛大定理或费尔玛最后定理传播于世。

20世纪最重要的数学成果——费尔玛大定理的证明

人类历史上的一个100年又走到了末尾，在这样的时候人们总是觉得应该行动起来，将一些具有创造性的成果献给新的世纪，而且也希望人类的思维和科学的发展走进一个新时代。近几个世纪以来，每一个100年中都有重大的科学发明或发现足以引起思想史上的革命。单纯从数学的角度来看，17世纪的微积分和解析几何的发明，18世纪产生的许多数学分支，19世纪对数学基础的讨论和大数学家希尔伯特在20世纪初提出的23个数学问题都在科学史上留下了一席之地。到了20世纪末的时候出现了一个令人振奋的消息:历时350年后，费尔玛大定理终于获证。

这样一个用十分初等的方式表述的定理是否能用初等方法证明呢?是否正如费尔玛所写，他已经证出了这个定理呢?350年来，成千上万的人自以为证出了，而实际上搞错了。在现存的资料中，费尔玛除了旁注外，就再也没有提到这个定理的证明，可是他在其他地方却几次提到:

x³+y³=z³和x⁴+y⁴=z⁴

没有正整数解。从现有的对费尔玛大定理的证明来看，只有当n取特殊值时，才有可能用现在数学上称之为初等的方法去解决。实际上，到18世纪末，费尔玛大定理进展甚微。19世纪初，数论发展成为纯数学领域的一部分。这时费尔玛提出的其他数论问题，也都得到解决或者给出严格证明，只有费尔玛声称自己已经证明的费尔玛大定理仍然没有多少进展。于是它又被称为费尔玛最后定理，这对数学家们仍然是一个最大的挑战。1816年和1850年法国巴黎科学院两次以费尔玛大定理为题设奖，许多大数学家，其中包括当时顶尖的数学家、德国的高斯和法国的柯西，都曾热衷于研究这个问题，不过最终都败下阵来。

19世纪初实际上只有n=3、n=4两种情形得到证明。而n=5的情形则历经半个多世纪，直到1823—1825年才完全证明。1839年当数学家证明n=7的情形时就开始踏上了分圆域唯一素因子分解的禁区，初等的方法至此告一段落。

在1847—1995年的149年的时间里，数学家开始用与前150年完全不同的方法去证明费尔玛大定理，进入了实质性的阶段。其中有3次突破:1847年，德国数学家库默尔(1810—1893年)走出了在证明费尔玛大定理道路上的第一次突破;但是1850—1950年又是这一著名定理的沉寂时期，在1908年，德国数学家佛尔夫斯克尔留下遗言，把10万马克的巨款赠给哥廷根皇家科学会。有一个附加条件，将款项作为奖金，授予第一个证明费尔玛大定理的人。按照哥廷根皇家科学会的决定，这项奖金限期100年，到2007年取消。消息传出，应征者的“证明”纷至沓来，单就1908—1911年3年间，就收到1000多份证明，但是所有证明都是错误的。直到1918年第一次世界大战结束后，马克不断贬值。这时10万马克的奖金实际上只能买几张白纸!解答费尔玛大定理的热潮至此才告一段落，那些为奖金而努力的人不在做尝试，继续注意研究费尔玛大定理的人多是从爱好数学的立场出发，使关于费尔玛大定理的研究走向更深的层次。

到了1983年，原联邦德国29岁的数学家伐尔廷斯证明了一个名叫莫德尔的猜想是正确的。由这个猜想可以推出，如果方程xⁿ+yⁿ=zⁿ(n≥4)有解，则至多有有限多个。伐尔廷斯的成就被认为是在证明费尔玛大定理道路上的第二次突破。至此，数学家看出由一系列猜想最终可导出费尔玛大定理的证明。

十年之后的1993年6月23日，英国数学家安德鲁·维尔斯在剑桥大学的牛顿数学研究所作了长达2.5小时的研究报告。在报告结束的时候，他宣布:“我证明了费尔玛大定理。”这一消息引起了轰动。但是后来到了11月，数学家发现他的证明中有漏洞。维尔斯也以电子邮件的形式承认了这一点，并表示继续努力补上这一漏洞。两年之后，1995年维尔斯最终完成了证明。至此，在20世纪末的时候，一个困扰人类300多年的著名猜想终于被彻底证明而成为真正的定理。