在欧氏几何中构造非欧几何的模型

在欧氏几何中构造非欧几何的模型

为了让读者直观地理解非欧几何以及欧氏几何与非欧氏几何的关系，下面分别在欧氏几何中构造罗氏几何和黎曼几何的模型。

罗氏几何的模型

在平面(欧氏平面)上划一条直线a，a将整个平面分成上、下两个半平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏几何的平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点。

在直线a上任意取一点(注意此点已不是罗氏平面的点)，以此点为圆心，以任意长为半径所做的半圆算作是罗氏几何中的直线。

图4－6

有了如上的规定后，就可以对罗氏几何的诸条公理进行一一的验证，它们都是成立的。在此我们只验证其中的的几个:

①对于两个不同的点，恒有一条直线通过其中每一个点;

②对于两个不同的点，至多有一条直线通过其中的每一个点;

③(罗氏平行公理)过已知直线外一点，至少有两条直线与已知直线不相交。

对于公理①，我们有:

设A、B是罗氏平面上的任意两点，连A、B并作线段AB的垂直平分线，交直线a于O，则以O为圆心以OA(或OB)长为半径的半圆L就是罗氏平面上过AB两点的直线，由于交点O对于A、B两点来说是唯一的，因此同时也验证了公理②。

特别地，当A、B两点所连线段的垂直平分线与a没有交点时，此时过A、B的罗氏直线成为以无穷远点为圆心，以无穷大为半径的半圆如图4－8，实际已蜕化为欧氏意义下的直线的一部分(没有端点的射线)。

对于③，我们做如下的验证:

图4-7

图4-8

已知罗氏平面上的一条直线l以及l以外的一点p，可以做出两条直线s，t与l不相交，如图4－9、4－10。这里要注意的是欧氏直线a上的点不是罗氏平面上的点，故两个半圆相交于直线a上的点则视为相交于无穷远点，从而在有穷范围内永不相交。这里s、t是与l不相交的所有直线的界。

图4－9

图4－10

在罗氏平面上还可以做出无穷多条过p但与l不相交的直线，这样“至少”的含义就更明朗了，你也来试一试划几条过p点但与l不相交的直线。

在欧氏平面上建立如上的罗氏几何模型后，就建立起了两种几何之间的一种联系。如果罗氏几何中会出现矛盾命题的话，那么必然会通过这种联系转化到欧氏几何中来，从这个意义上讲，只要欧氏几何没有矛盾，那么罗氏几何也就没有矛盾，这样就为人们接受和相信罗氏几何提供了一定的保证。

黎曼几何的模型

在欧氏空间任取一个球面，球面上的欧氏点看成是黎氏点，并且将球的每一个直径的两个端点看成是同一个点，称之为对径点。

球面M上的大圆(过球心的平面与球相交的圆)看作是黎氏几何的直线，每个大圆上的对径点仍看成是同一个点。

这样，将大圆看成直线，对径点看作是同一个点的欧氏球面看成是黎氏平面(如图4－11)。

在这样的黎氏平面上，不难验证黎氏几何的公理。

在球面M上任取两点A、B，因为过球心O和A、B三点的平面有且只有一个，所以过A、B的大圆也只有这一个，也就是说，过A、B两点的直线有且仅有一条。

球面上的任意两个球的大圆，都有两个交点，这两个交点是对径点，因此我们得到黎氏平行公理:

图4－11

“任何两条直线必有唯一的交点。”

这样，就在欧氏空间中构造出了黎曼几何的模型。

通过模型的建立，我们看到了欧氏几何和非欧几何之间的对立统一关系，如果你想更多地了解它们及它们之间的关系，请你去翻阅其他有关的书籍，你一定会有很多的收获。

【注释】

[1]吴文俊主编。世界著名数学家传记。科学出版社，868页。

[2]解延年，尹斌庸。数学家传。湖南教育出版社，1987，4页。