悖论与数学危机

悖论与数学危机

什么是悖论呢?从字面上讲，悖论就是荒谬的理论。从历史的发展过程来说，可以从以下三个方面来理解何为悖论。

(1)一种论断看来好像是错了，但实际上是对的。

例如:“全体大于部分”，这是大家公认的一条公理，不会有人怀疑它。

但是，观察下面两个数列:

λ₁:1，2，3，4，…，n，…

λ₂:1²，2²，3²，4²，…，n²，…

两个数列中的数哪个多一些呢?我们有这样的结论:它们的元素个数一样多。

这个结论是正确的吗?因为λ₂这个数列实际上是1、4、9、16…，所以λ₂应该是λ₁中的一部分，像2、3、5、6、7、8等许许多多的元素都没有包含在λ₂中，根据前面的公理λ₁的元素个数要比λ₂的多得多，因此说“它们的元素个数一样多”肯定是错误的结论。但是，它确实是对的。为什么呢?因为λ₁中拿出一个1，则λ₂中就有一个1²，λ₁中有一个5，λ₂中就有一个5²，也就是说λ₂中的元素个数不比λ₁的少。反过来，显然λ₁的元素个数也不比λ₂的少，因此他们的个数是一样多的。

这种悖论产生的主要原因是在数学发展的过程中，由于一些新概念的产生，出现了与具有历史局限性的传统观念相违背或者说与常识相违背的现象。

前面提到的数列λ₁和λ₂，按照传统的观念λ₂是λ₁的一部分，如果用λⁿ:1ⁿ，2ⁿ，3ⁿ，…，nⁿ，…来代替λ₂，那么λ_n更应是λ₁中的一部分了，但是λ₁和λ_n的元素实际上一样多。事实上“全体大于部分”这一公理是从有限的对象中抽象出来的，对于有无穷多个元素的集合就不适用了。这里出现的新概念就是无穷集合的基数。再看下面的例子:

如图6－1，在△ABC中，M、N、D是三边的中点，显然BD是BC的一部分，BD=BC，也就是“全体是大于部分的”。可是如果考虑BD和BC上点的个数就有另外的结论出现了。

图6－1

因为BD=MN，所以将BD平移到MN，在BC上任取一点P，连AP与MN交点为P'，则P'与P相对应，再取一点Q连AQ交MN于Q'则有Q与Q'相对应，这样，只要BC上有一点，则一定能在MN上取相交的点与之对应。反过来，MN上的每一个点，也可按同样的方式找到BC上的一点与之对应。

因此，从点的个数来考虑，BD与BC是相等的，“部分”与“全体”的关系发生了变化。

以上是悖论的一种表现形式。

(2)一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了。

例如，传说古希腊有一个著名的飞毛腿名叫阿基里斯，可是有人却提出来说:阿基里斯永远也追不上世界上跑的最慢的东西——乌龟。理由是这样的:

假设乌龟在阿基里斯所处位置A处的前方B处，那么，阿基里斯要想追上乌龟，首先他得到达龟的出发点B，而这时候乌龟已经向前走了一段，到达B₁处。于是阿基里斯又必须赶上这段路，当阿基里斯到达B₁时，乌龟又向前走了一段到B₂处，阿基里斯虽说越追越近，但他却与乌龟之间总存在着距离，所以阿基里斯永远也追不上乌龟。

上面的推理过程看上去是合理的，但推理结果却是违背客观事实的，我们不可能相信上面的结果，因为别说是飞毛脚，只要是正常人，追上乌龟都是不成问题的。

上面的悖论被称做芝诺(公元前475—前425年)悖论。芝诺悖论反映出当时人们对无限的认识还缺乏严密的逻辑基础。

(3)经过一系列的逻辑推理导致了互相矛盾的命题。

先讲这样一个故事:鳄鱼与孩子。

一条鳄鱼从母亲手里抢走了一个小孩。

鳄鱼说:我会不会吃掉你的孩子?答对了，我就把孩子不加伤害地还给你。

母亲说:呵，呵!你是要吃掉我的孩子的。

鳄鱼:唉……。我怎么办呢?如果我把孩子交给你，你就说错了。我应该吃掉他。

这时鳄鱼碰上了难题。如果它把孩子还给母亲，它又得吃掉他。

鳄鱼:好了，这样我就不把他交给你了。

母亲:可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说对了，你就得把他交给我。

这下子鳄鱼真的被搞懵了，结果把孩子交给了母亲，母亲一把抱过孩子跑掉了。

鳄鱼想:真倒霉!要是他说我会交回给他孩子，我就可美餐一顿了。

我们仔细琢磨这段著名的悖论，就会发现这位母亲是多么机智。她对鳄鱼说的是:“你将会吃掉我的孩子。”无论鳄鱼怎么做，都必定与它的允诺相矛盾。如果它交回小孩，母亲就说错了，它就可以吃掉小孩。可如果它吃掉小孩，母亲就说对了，这就得让它把孩子无伤害地交出来。鳄鱼陷入了逻辑悖论之中，它无法从中摆脱出来而不违背它自己。

可以将上面的悖论形式概括为:

如果假设一个命题为真，则又能推出它是假的;如果承认它为假，却又能推出它是真的。

以上我们说明了悖论的含义及几种不同的形式，那么悖论与数学危机有何相关呢?下面让我们回到2000多年前的古希腊开始我们的话题。