上面得到的是一组元素对其上一层次中某元素的权重向量.最终要得到各元素（特别是最低层中各方案）对于目标的排序权重，即所谓总排序权重，从而进行方案选择.总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成.
假定已经算出k-1层上nk-1个元素相对于总目标的排序权重：ω（k-1）=（ω（k-1）1，ω（k-1）2，…，
）T，以及第k层nk个元素对于第k－1层上第j个元素为准则的单排序向量：p（k）j=（p（k）1j，p（k）2j，…，
，其中不受j元素支配的元素权重取为0.矩阵p（k）=（p（k）1，p（k）2，…，
）是nkk×nkk-1阶矩阵，表示了第k层上元素对第k-1层上各元素的排序，那么第k层上元素对目标的总排序向量ω（（k）为：
ω （k）=（ω（k）1，ω（k）2，…，
）T=p（k）ω（k-1）并且一般公式为：ω（k）=p（k）p（k-1）…p（3）ω（2）.这里ω（2）是第二层上元素的总排序向量，也是单准则下排序向量.
下面通过几个简单的例题来熟悉运用层次分析法求解评价类数学建模问题的过程.
例4-1 企业资金分配问题
有家企业年末有留成，希望将此笔资金用于以下几个领域：发奖金、福利事业与引进新设备.但是在利用企业留成时需要考虑以下几个发面：调动职工积极性、提高企业技术水平和改善职工生活条件.请建立数学模型合理使用企业留成，帮助企业将来更好的发展.
【解题思路】
在合理利用企业留成问题中有以下递阶层次结构模型如图4-2所示，设诸判断矩阵如下，每个矩阵同时列出其最大特征根，右主特征向量及一致性比率等.
图4-2 企业资金分配层次结构图
建立层次结构后，形成两两判断矩阵.目标层与准则层的判断矩阵如表4-3所示，准则层与方案层的三个判断矩阵如表4-4、表4-5和表4-6所示.
表4-3 判断矩阵O-C
表4-4 判断矩阵C1-A
表4-5 判断矩阵C2—A
表4-6 判断矩阵C3—A
因此最终排序向量为：
于是，对于工厂合理使用企业留成利润，促进企业发展所考虑的三种方案的相对优先排序为：A3＞A1＞A2（“＞”表示优先于），利润分配比例为引进新设备应占53.1%，用于发奖金应占25.1%，用于改善福利事业应占21.8%.
例4-2 高校学费评价体系分析——CUMCM2008
高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注.培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障.高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成.对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金.
学费问题涉及每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量.学费问题近年来在各种媒体上引起了热烈的讨论.
请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论.数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分.
【解题思路】
将层次分析法运用到高校教育收费的评价，以分担教育成本、非义务教育、家庭教育投资收益和贫困为准则层，以收费合理、基本合理和不合理为方案层，建立层次结构分析模型，如图4-3所示.
图4-3 高校收费评价体系框架
在确定高等教育收费标准时，主要遵循受益原则和负担能力原则.受益原则指谁受益谁缴费、收益多缴费多.学生个人和家庭是高等教育的直接受益者，因此把收益的权重定为最大.负担能力原则指能力大者多负担，能力小者少负担.政府是高等教育成本的主要分担者，而受教育个人及家庭是高等教育成本的重要分担者.高等教育并不是义务教育，支付学费是应当的，而学费的一部分是用来分担教育成本.所以把非义务教育所占权重定为第二高，分担教育成本次之.然而，学费标准的确定，不仅是教育经济学的计算问题，更要考虑到人民满意、政治稳定和社会和谐.国家还有很大一部分贫困的家庭，所以需要把贫困这些因素考虑进去.于是准则层B的四个因素（B1，B2，B3，B4）权重设定如下表.
表4-7 两两判断矩阵
从而得到其相对应的比较矩阵如下表示：
从理论上讲，如果A是完全一致的比较矩阵，应该有i，j，k，AijAjk=Aik.但实际上，在构造比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的.因此往往退而求其次，只要求比较矩阵有一定的一致性，即可以允许对比较矩阵存在一定程度的不一致性.检验比较矩阵A一致性的步骤如下：
1.计算衡量一个对比矩阵A（n阶方阵）不一致程度的指标C.I.如下所示，其中λ（A）为矩阵A的最大特征值.
2.查找相应的平均随机一致性指标R.I.，得四阶R.I.＝0.89.计算一致性比率：
C.R.说明矩阵A的不一致程度是可接受的.此时矩阵A 最大特征值对应的特征向量为U=（-0.3705 -0.5009 -0.7411 -0.2502）T.将该特征向量归一化，得到权向量U=（0.1989 0.2689 0.3979 0.1343）T.
构造B-C 层对比较矩阵为：
通过计算可得A-B 层两两判断矩阵的特征值、特征向量、一致性指标及一致性比率，如表4-8所示.
表4-8 A-B 层次分析法参数表
上述一致性比率C.R.均小于0.1，可以判断矩阵具有满意的一致性.
针对最高目标而言，最高层次的总排序就是其层次总排序.在评价模型中，评价现今高校的学费是否合理是最高层次.为了进行决策，需要计算出其组合权向量，结果如表4-9所示.
表4-9 B-C 层次分析权重表
于是最后得到组合权向量为：w（3）=（0.3471，0.4466，0.2062）T.由此，作出综合评价结论为：C1认为收费合理的占0.3471；C2认为收费基本合理的占0.4466；C3认为收费不合理的占0.2062.
从分析所得数据中可以看出，当前我国高等教育学费总体来说还是比较合理的.现行的收费政策，只要不发生大改变，即能适应大多数情况，保持教育公平性.虽然现有的高等院校收费体制存在一些缺陷，但大多数人认为现行学费价格还是基本能够接受的.
例4-3 房地产体系评价分析
改革开放以来，我国的房地产业取得了巨大的成就.虽然国内房地产业还处于发展的初期阶段，但是房地产业在国民经济的地位和作用却越来越重要，它已成为促进国内经济发展的新增长点，几年来有关房地产业方面的研究也成为热点之一.房价始终是我国房地产市场最为尖锐的问题.
杭州、宁波、上海是中国沿海发展的重点城市，这三个城市的房地产价格也呈现一定程度的上升趋势.据调查分析，房地产价格指数与人口数量、居民收入和建筑状况等国民经济状况息息相关，利用收集的数据建立房地产价格评价模型，并根据此评价模型，选择杭州或宁波市与上海市的房地产价格体系进行比较.
【解题思路】
要建立房地产价格评价模型，比较杭州市和上海市的房地产价格体系，首先通过文献查找了解到对房地产价格评价的指标有：房地产价格指标、房价收入比、租售比指标.
经过分析，为了消除宏观经济的影响，现将房地产价格指标进行修正，变成房地产价格指标与物价指标之比.该指标值越大，房地产泡沫形成的可能性越大.在某个特定时期，该指标持续增大，将有可能爆发房地产泡沫.
其中，房价收入比是指住房价格与城市居民家庭年收入之比.我国各个城市的房价收入比是不平衡的，中小城市的房价收入比多在6倍以下，相当多的城市在4倍以内，属于房价不高的范畴，超过6倍的主要是一些大城市.目前比较通行的说法认为，房价收入比在4～6倍之间为合理区间.根据其定义易理解，该指标越大，居民支付能力越弱.如果房地产价格的上涨，导致指标值增大，表明房地产价格的上涨超过居民实际支付能力.当市场中的房价收入比一直处于上升阶段，且不存在房地产萎缩的迹象时，则说明这个房地产市场中投机需求程度越高，产生房地产泡沫的可能性很大.所谓“租售比”是指每平方米使用面积的月租金与每平方米建筑面积房价之间的比值.国际上用来衡量一个区域房产运行状况，良好的租售比一般界定为（1∶200）～（1∶300）.如果租售比低于1∶300，意味着房产投资价值相对较小，房产泡沫已经显现；如果高于1∶200，表明这一区域房产投资潜力相对较大.租售比无论是高于1∶200还是低于1∶300，均表明房产价格偏离理性真实的房产价值.经过数据查找，得到指标各个年份的数值如表4-10所示.
表4-10 层次分析数据表
备注：P1表示房地产价格指标/物价指标；P2表示房价收入比；P3表示租售比指标.
现根据以上指标，建立房地产综合指标评价体系.从以上分析可以看出，上述三个指标分别从三个方面对房地产价格进行评价.为了客观评价不同城市房地产的发展状况，现定义一个综合指标来进行评价：
为了减少主观因素对价格评价的影响，将上述指标进行修正，修正函数如下所示：
其中，W1，W2，W3为各个指标在不同城市不同环境下对房地产价格评价的权重，可以通过层次分析法得到.修正以后的数据如表4-11所示.
表4-11 上海杭州两地修正后指标数据
由于上海市和杭州市对国家政策（这里一般指有关房地产方面的政策）敏感度及反应度等不同，城市对于资产的看重程度方面也不同，等等，三个指标对于不同的城市有不同的影响权重，评价指标关系如图4-4所示.
图4-4 评价指标关系图
现根据建立三个指标相对上海市和杭州市的比较矩阵A1和A2：
得权向量分别为：w1=（0.286，0.571，0.143）T，w2=（0.333，0.500，0.167）T.
即房地产综合指标表达式分别为：
根据计算可得上海市和杭州市在不同年份下的Q值，如表4-12所示.
表4-12 上海杭州两地综合指标
经查询可得：2004年是房地产政策年，中央及各级地方政府为了保障房地产业健康发展，抑制飞涨的房价，纷纷采取措施给房地产市场降温，2004年上半年的房地产政策都是围绕着“房地产降温”这一主线展开的.上述Q值也较好地反映出这一现象.同时结合其他年份房地产价格是否增长过快的评价与上表数据的结合分析，两者之间有比较好的吻合度，从而运用上述综合指标来评价房地产价格是比较合理的.房地产价格体系是房地产销售过程中最关键的一个环节，起着重要的控制作用.一个价格方案的优劣将直接影响楼盘的销售进度、资金回收速度和预期利润指标.根据上述综合评价指标，杭州市相比上海市来说，房地产价格体系比较完善，能较好控制房地产价格的上涨幅度，而上海市房地产有更大的偶尔变动因素来影响其价格的波动.从而，上海市政府在房地产价格体系中充当的作用要大于杭州市政府.这有利于上海市房地产业提高对国家或地区政策的变动灵敏度，在政府指导、带动下顺应社会要求.由于上海房地产业面临的不确定因素多于杭州市，从而，在房地产价格体系中，做好调控和监督者的角色，制定法规体系和宏观调控政策，监督各市场参与主体的行为，并提供适当财政补贴.而杭州市房地产体系更关注房地产企业自身适应市场供求关系，来调控房地产价格.杭州市租售价往往是比较低的，也正反映杭州市房地产体系的不断调整，使居民梯度消费观念不断上升.
例4-4 长江水质的评价和预测——CUMCM2005
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重.专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染.”
长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视.2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考查团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考查，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心.为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”，并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤.
问题给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年主要水质指标的检测数据，以及干流上7个观测站近一年的基本数据（站点距离、水流量和水流速）.通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水.一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低.反映江河自然净化能力的指标称为降解系数.事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1～0.5之间，比如可以考虑取0.2（单位：1/天）.请对长江近两年的水质情况作出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况.
【解题思路】
随着我国工农业的高速发展，排入长江的污染物种类日益增多，若仅用单项指标，往往不能客观反映水质的污染状况，为此可以通过层次分析法建立水环境ECI评价标准，即水环境生态综合指数评价标准.ECI评价标准为动态指标体系，由总指标和三个一级指标构成.总指标即为生态综合指数ECI，三个一级指标分别为理化指标G、营养指标N和重金属指标HM.
在综合多种评价因子时，以权值反映不同评价因子对评价对象的重要程度.建立两两比较矩阵，从而确定归一化权重，如表4-13所示.
表4-13 ECI体系权重表
总指标ECI的计算公式如下：ECI=（0.6N+0.2G+0.2HM）×100.
二级指标的构成如图4-5所示，其中理化指标G包括pH和溶解氧DO，营养指标N为氨氮NH3-N，金属指标HM为高锰酸盐指数CODMn.
图4-5 ECI评价体系层次图
为了求得ECI，还需引入使用较为普遍的单项评价参数用以表示二级指标对水质的影响程度.记Ci，Csi分别表示二级指标i 的实测浓度和水环境标准中的允许浓度.
查2003年6月—2005年5月DO最大值为14.4 mg/L，则取Cimax=14.4mg/L.根据题目所给条件7.5 mg/L的溶解氧相当于饱和溶解氧的90％，得到Csi=7.5/0.9 mg/L.
NH3-N评价参数：营养指数按照修正的TSI（卡尔森指数）法计算，这是在国际上被广泛采用的一种方法.
重金属评价参数：污染物的危害程度随其浓度的增加而增加的评价参数.
综上所述，ECI 可由这四个评价参数加权得到.考虑到二级指标pH和DO对水质的影响相当，可近似认为权重相等，所以我们得到：
将2003年6月到2004年9月的4个主要项目的数据代入模型，得到ECI评价结果如表4-14所示.
表4-14 各调查地点ECI评价值
经过分析以上数据，可以看到pH值接近7.5，ECI较低；溶解氧的浓度越大，ECI越低；氨氮含量和高锰酸指数越低，ECI也越小.这与《地表水环境质量标准》的等级划分是一致的.ECI评价标准将多项指标合而为一，用一个综合数值定量表示出来，更有其优越性.
此外，参照了国内外各种指数的分组方法，结合长江水环境的具体情况，为ECI设计了以下四级标准，如表4-15所示，通过对综合指数进一步分级，就能从整体上更为全面地了解和把握各地区的水质状况.
表4-15 ECI分类表
综合两年来的数据可以看出湖北、湖南、四川等地区的污染比较严重.
例4-5 2010年上海世博会影响力的定量评估——CUMCM2010
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会.从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台.请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力.
【解题思路】
在进行城市品牌评价时，建立一个科学合理的城市品牌评价指标体系尤为重要，这关系到评价结果的准确性.为此，我们将通过一系列科学可行的分析方法进行指标的提炼和筛选，以期建立科学、规范的城市品牌影响力评价指标体系.
选取世博会申办召开前后10年间（2000—2009年），上海市各个具有代表性的指标，其数据作为研究上海城市品牌的依据，来建立评价体系，综合评价上海城市品牌，根据每年的综合城市品牌指数，以考查上海在这10年间城市品牌的提升程度.根据申办前数据预测，若没申办世博会，上海城市品牌指数；再根据这10年的数据，预计2010年原综合城市品牌指数（即没有世博会的情况下），与现城市品牌指数做比较（2005—2010年），来体现上海世博会对上海城市品牌的影响力.
鉴于城市在全球化的竞争中具有类似于商品的特性，借鉴部分商品品牌的含义，可以对城市品牌作出如下定义：所谓城市品牌，是指城市利用其既有的资源禀赋、历史文化、地域环境等差别化优势，向目标受众提供持续的总体印象即城市的形象、名称、文化、功能和环境的外在体现，使其对城市产生清晰、明确的印象和美好的联想，以增强城市的聚集效益、规模效益和辐射效应.城市品牌既是区别于竞争对手的标志，也是城市个性化的表现.
城市品牌的结构大致由两个部分组成：城市有形品牌，主要包括城市的景观形象、资源禀赋、特色饮食和历史遗迹；城市无形品牌，主要包括城市的历史文化、经济发展水平、城市环境、对外开放程度、行政等级.图4-6为城市品牌结构框架图.
图4-6 城市品牌结构框架图
根据以上原则，以及瑞士洛桑国际管理学院对于城市品牌影响力研究的结论，本文选取13个指标作为评价城市品牌的依据，并将各个因素归类于5个大类：经济、居民生活、旅游业、市政建设及科技发展（如图4-7所示），最终得到城市品牌的综合评分.
图4-7 结构框架图
其中，A表示城市的品牌影响力，B1，B2，B3，B4，B5分别表示经济、居民生活、旅游业、市政建设、科技发展，C1～C13分别表示地区生产总值、外商投资额、进出口总额、人均生产总值、人均可支配收入、人均消费、失业率、游客量、客运量、绿化园林面积、交通（特指公共汽车和出租车的数量）、专利申请量、专利授权量.
按图4-7的层次结构用层次分析法对每一个次目标进行计算，用1～9标度构造5个比较判断矩阵分别为：
由此可以求得权重为：
可得每年上海每个二级目标的影响值，如表4-16所示.
表4-16 此目标影响值
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