一般地，把信息完全明确的系统称为白色系统，信息完全不明确的系统称为黑色系统，信息部分明确、部分不明确的系统称为灰色系统.当事物之间、因素之间、相互关系比较复杂，特别是表面现象，变化的随机性更容易混淆人们的直觉，掩盖事物的本质，使人们在认识、分析、预测、决策时，得不到全面的、足够的信息，不容易形成明确的概念.这些都是灰色因素，灰色的关联性在起作用.
假设X0=（x10，x20，…，xn0）T为母序列，X1=（x11，x21，…，xn1）T，…，Xm=（x1m，x2m，…，xnm）T为子序列（比较序列），则定义Xi与X0在第k点的关联系数yi（k）为：yi（k）=
.
其中，Δi（k）=xki-x0i，i=1，2，…，m，k=1，2，…，n，
，b=
，ρ称为分辨系数，取0～1之间的数（通常取ρ＝0.5）.
Xi与X0之间的关联度为：
.
灰色关联度分析应用非常广泛.例如当需要对n个方案进行评价时，有m个指标可以从不同的侧面正确地反映出被评价n个方案效益的情况.于是，可采取如下步骤：
1.选定母指标：可选取对方案效益影响最重要的指标作为母指标，如选Xj为母指标.
2.对原始数据（指标值）进行处理：由于各指标的量纲不同，指标值的数量级也差别很大.为了用这些数据进行综合评价首先必须对原始数据进行无量纲、无数量级的处理.处理的方法通常有两种：均值化处理，即分别求出各个指标的原始数据的平均值，再用均值去除对应指标的每个数据，便得到新的数据；初值化处理，即分别用原始数据每个指标的第一个数据去除对应指标的每一个数据，便得到新的数据.
3.计算关联系数：
.
其中，Δi（k）=xki-x0i，i=1，2，…，m，k=1，2，…，n，
，b=
，ρ＝0.5.
4.求关联度：
.
5.求出各指标对应的权重：rj=rj/（r1+r2+…+rm），j=1，2，…，m.
6.构造综合评价模型：Zk=r1′xk1+r2′xk2+…+rm′xkm，k=1，2，…，m.
7.排序：将各方案的指标值代入得到该方案效益综合得分Zk，k=1，2，…，n.依据综合得分从大到小排序，也就得到各方案综合效益的排序.
例4-6 图书馆订购计划
以学校图书馆为例，要实现办馆效益，必须做到入藏文献合乎本校教师、学生（有时也兼顾社会）的需求，使图书馆藏书结构（学科结构、文种结构、文献类型结构等）满足本校教学科研的要求，以求藏书体系与本校专业设置相适应.所购图书要能够真实地反映读者的实际需要，使读者结构和藏书结构尽量吻合，以便减少读者借不到图书的现象，即降低读者被借的比率、增加满足率.文献只有在流通中才能传播信息，产生效益.文献资料得不到利用，购置文献资料所耗费的资金就体现不出其价值.因此，图书馆在增加藏书规模的同时，要千方百计地把文献提供给读者，以增加图书的出借次数、出借时间以及在借图书的数量等，力求使有限的价值投入获得最大的办馆效益.
设某普通高校现有十个系：计算机科学与技术系在校学生960人，信息科学与工程系在校学生900人，信息与计算科学系在校学生280人，生物与制药工程系在校学生1500人，机电工程系在校学生1440人，建筑工程系在校生960人，外语系在校学生720人，法律系在校学生460人，新闻系在校学生642人，经济与管理系在校学生2400人.此外，该校目前还有“药物分子设计及生物化工”和“土木建筑工程”2个重点学科；“外国语言学及应用语言学”重点扶植学科以及“计算机科学与技术”、“市场营销”2个重点专业.
该校图书馆每学年都要投入大量资金购置图书，图书覆盖全院各学科专业、具有较完整的中外文文献资源.假设今年图书馆计划投入100万元用于购置各种图书，并且准备按照表中的中图分类进行购置.要同时考虑到重点实验室和重点学科建设的需要、常用书籍和流行热门书籍、重要公共课、技能课图书（如英语、计算机类）的普遍需求等.不同图书对该校的重要性是不尽相同的，图书馆应当如何确定各类图书的相对重要程度（即相对权重）.表4-17为图书流通情况.
表4-17 图书流通表
其中，1表示重点建设对象；0表示非重点建设对象.
【解题思路】
不同图书的重要性不尽相同，需要同时考虑重点实验室和重点学科建设的需要、常用书籍和流行热门书籍、重要公共课、技能课图书的普遍需求等.这些因素客观地表现在图书馆藏和借阅情况上.
从输入输出理论出发，可以从不同角度和侧面选取反映图书重要性的多项指标.然后按其影响程度进行筛选，保留重要者，舍弃次要者，合并同类者，形成一个由若干具有代表性的重要指标构成的易于操作的综合评价体系.
根据图书馆上一年各类图书的借出情况表，可以看到6项指标与图书重要程度密切相关.此外，考虑到学校的教学科研发展前景，重点实验室和重点学科需要某种或者某几种特定类图书予以支持.因此，影响图书重要程度主要有7项指标，即种类数、册数、图书总价、出借种类数、出借册次、总出借时间、是否为重点建设对象.因为涉及的影响因素较多且相互关联，应用灰色关联分析法建立图书重要程度的评价模型（如图4-8所示），在计算得到7项指标相应权重的基础上，定量表示出各类图书的相对重要程度.
图4-8 图书灰色关联分析图
灰色关联模型建立过程可以表述如下：
1.关联度定义：衡量指标序列与母指标相似程度的测度.
2.选定母指标：模型选取对重要性影响最大的指标“出借册数”为母指标.
3.对原始数据（指标值）进行规范化处理：由于各指标的量纲不同，指标值的数量级别差别很大.为了用这些数据进行综合评价首先必须对原始数据进行无量纲、无数量级的处理.处理的方法为：分别求出每个指标的原始数据的平均值，再用均值去除对应指标的每个数据，便得到新的数据Xi（j）′.
根据该校的重点项目，可知定为“1”的图书类别有：F经济；H3常用外国语；Q生物科学；TP自动化技术、计算机技术；TU、TV建筑科学、水利工程.
4.构建综合评价模型：根据灰色关联分析法，关联度可由以下表达式确定：
其中Δi（j）=Xi（j）′-X0（j）′，j=1，2，…，21，i=1，2，…，7.
5.关联度表示两个指标在同一点的关联值，而目标需要的是各个指标的权重.综合各个关联度，计算得到各指标的权重，并对其进行了归一化处理.
6.最后综合各个指标的权重和各个指标的取值，建立综合评价模型.可以得到各类图书的相对重要程度函数值：
.
根据各项指标原始数据进行运算，可以得到各类图书的相对重要程度百分比，如表4-18所示.
表4-18 各类图书重要权重表
由上表可知，经济、英语、计算机类图书分别以16.0926%、10.7449%、12.3913%的百分比在所有图书中占据相当大的权重.一方面，这是学校教学科研的要求，因为该校拥有“外国语言学及应用语言学”重点扶植学科以及“计算机科学与技术”、“市场营销”2个重点专业；另一方面，毋庸置疑，经济类是当今社会的热门书籍，而英语、计算机类图书同时作为技能课必备教程重要程度可见一斑.
此外，学生较感兴趣的文学类书籍；作为重点学科的生物、建筑以及作为重要公共课的数化理、马列毛等课程相对应的图书也具有相当的重要性（重要程度排序均在十名以内）.由此可见，建立的基于灰色关联分析的综合评价模型与客观实际相符，能对图书的重要程度作出合理准确的评价.
例4-7 经济效益评价模型
经济效益是经济活动效果的综合反映，以最小消耗取得最大的产出和经济成果，是经济工作的总目标和基本要求.通过对企业经济效益进行综合评价，可使上级主管部门对所属参评单位的经济效益状况心中有数.这样易于抓住带有倾向的问题，为被评价单位排忧解难，适时地作出科学合理的决策.通过综合评价，能使各被评价单位明确地知道自己所处的名次，分析其先进或落后的成因，从宏观上把握在经济效益方面争名次、上台阶的方向，从而充分发挥自身优势，积极参与市场竞争，取得更好的经济效益.经济效益综合评价还能对企业的发展起导向作用，使企业管理者从产量增长型思维转换到注重经营效益型方面来，努力提高自身的综合实力和活力.表4-19是某年中国统计信息报刊载的国家统计局发布的关于我国16个省、自治区、直辖市的工业效益完成情况，试对其经济效益进行综合评价并排出名次.
表4-19 某年中国各地区经济效益分析表
【解题思路】
从投入产出理论出发，可以选取从不同侧面反映地区经济效益好坏的多个指标.我国新的工业生产考核评价指标体系含有六个指标，分别是工业产品销售率（％），工业资金利用率，工业成本利润率（％），工业劳动生产率（元/人），流动资金周转次数（次），工业净产值率（％）.由于各地区的这些指标常常是此大彼小，因此必须建立一个科学合理的综合评价模型，运用各地区的各指标值对被评价地区的经济效益做出客观、公正的综合评价和排序.
由六项指标内容易知，产品销售率是影响经济效益最重要的因素，所以选取该因素为母指标，并对上表中的数据进行均值化处理，如表4-20所示.
表4-20 经济效益均值化处理表
续表
则定义ZBi与ZB0在第k点的关联系数yi（k）为：
.
其中：Δi（k）=xki-x0i，i=1，2，…，m；k=1，2，…，n.
，
，ρ称为分辨系数，取0～1之间的数，通常取ρ＝0.5．
ZBi与ZB0之间的关联度为：
.得到各个指标与母指标的关联系数如表4-21所示.
表4-21 灰色评价体系关联系数表
求出各指标对应的权重rj′=rj/（r1+r2+…+rm），j=1，2，…，m.
构造综合评价模型：Zk=r1′xk1+r2′xk2+…+rm′xkm，k=1，2，…，m. 得到各个地区的综合评价结果如表4-22所示.
表4-22 全国16个省市综合评价结果表
无论是层次分析法还是灰色关联模型所建立的评价模型都存在着较大的人为主观因素，在下节将会介绍一种基于数学规划的评价体系——DEA评价体系.这三种评价体系各不相同，但是又各具特点，可以应用于不同情况和不同领域的研究.
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