另两位代数学之父

在第二节我们介绍了两位代数学之父。一位是丢番图，赢得这一称号主要是因为他引入了未知数，创设了未知数的符号，并有建立方程的思想。另一位是花拉子密，他主要凭借系统论述了求解一次、二次方程的方法而享有这一美誉。除这两人外，历史上还有两位数学家被冠以“代数学之父”，他们是韦达与高斯。我们在这一节就来介绍他们与他们在代数学方面的贡献。

韦达（1540～1603），16世纪最伟大的数学家。韦达不是专职数学家，他本行是律师，并从事政治活动，曾以律师身份在法国议会里工作。但他几乎把所有的空闲时间都用在数学研究上。他专心数学到这种程度，有时解某些问题时，竟连续几个夜间不睡觉。

关于韦达有一些迷人的趣事。其中一个故事说：比利时一个外交官向法国国王亨利四世夸耀说，法国没有一个数学家能解他们国家罗曼纽斯（1561～1615）在1593年提出的问题，它需要求解一个45次方程。国王召韦达来，让他看了方程。韦达发现它关联着三角函数，几分钟就给出了两个根，接着解出了另外21个根。他忽略了负根。反过来，韦达挑战罗曼纽斯，让他解阿波罗尼奥斯的问题（画一个圆与三个给定的圆相切），但罗曼纽斯没能用欧几里得的方法得到解。当他看了韦达的绝妙解法后，就去访问韦达，结果发展出一段真诚的友谊。

韦达

另一个故事说：在法国与西班牙的战争中，韦达成功破译了西班牙的含有几百个字的密码，使法国在两年的对西战争中赢得了先机。然而，西班牙国王菲利普二世根本不相信有人能破那个密码，于是他向教皇抱怨说法国人用魔法对抗他的国家。

韦达一生写了大量有关三角、代数和几何方面的书，多数都是自费印刷发行的。他最主要的贡献表现在代数方面。

韦达最为我们所熟悉的成就是他关于根与系数关系的发现，事实上，一般人知道韦达的名字正是由于这一结论被命名为“韦达定理”。在1591年完成，却在他去世后才出版的一本书中，韦达论述了二次方程中如果第二项的系数是两数和的相反数，第三项的系数是这两数的乘积，那么这两个数就是这个方程的根。用我们所熟悉的现代形式表示就是，设x1、x2是二次方程x2+px+q=0的两个根，则x1+x2=-p, x1x2=q。

后来人们把韦达定理推广到更高次的方程。至于一般情形的n次方程的根与系数的关系，是由荷兰数学家吉拉德于1629年提出的。而其证明则是在笛卡儿1637年提出因式定理、高斯于1797年证明了代数基本定理以后才得出的。

在方程论方面韦达的另一成就是改进了三次和四次方程的解法。如缺项三次方程x3+3ax=b，韦达解法的思路如下：令x=a/y-y，则方程变为。

经整理后，得出y6+by3-a3=0，这个以y3为未知量的二次方程可解。求得y3后，再求y与x即可。

韦达在代数学方面更重要的贡献则是他在丢番图的启发下引入了符号代数思想。

1591年，韦达发表其代表作《分析术引论》。与以往曾有人零星和偶然地用到了字母与符号不同，韦达第一个有意识且系统地使用了字母与符号。由此，他创立了一般的符号代数。在他手中，字母主要的新用途不仅是用于表示未知量或未知量的幂，而且用以表示一般的系数。

在前面的介绍中，我们看到从古埃及和古巴比伦时代起，数学家们仅解决带有数字系数的一次、二次、三次和四次方程。因而，像3x2+5x+6=0和4x2+6x+7=0这两个方程被认为是不一样的，尽管很明显地存在着一种同样的方法来解决这两个方程。此外，为了避免负数，在很长的一段时期内，人们将诸如x2-7x+8=0这样的方程用x2+8=7x的形式来处理，这样，同次方程中就有许多种类型并且每一种都要分别求解。而当韦达第一个引入字母系数（并接受负系数）后，所有的二次方程便可以统一写成ax2+bx+c=0的形式并用统一的方式来处理。在这里，a、b、c这些字母系数可以表示任意数，x则代表未知量。

韦达将其新型的代数叫做“类的运算”，以区别于数字计算。他清楚当他研究一般二次方程ax2+bx+c=0时，他所处理的是整个一类的表达式。在书中，他还划分了算术与代数的界限。在他看来，代数是作用于事物的类别或形式上的方法，是类的运算。而算术和数字系数的方程则是与数打交道，是数字计算。通过引入类的运算，韦达在代数学的发展中迈出了一大步，他使代数成了研究一般的类和方程的学问。

这种处理的明显优点是我们所熟悉的：如果证明了某种求解ax2+bx+c=0的方法是正确的，那么，这种方法就可以确保求解无穷多个具体方程的正确性。这就使代数证明的普遍性成为可能。

不过，韦达的代数符号与现代符号仍相去甚远，其书中所载的方程在形式上和现在的还有很大的差别。对于习惯于现代数学的读者来说，他选用的符号并不优良，他用辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量的方法没有沿用下来。现在用a, b，c表示已知量，x, y，z表示未知量的习惯用法是法国数学家笛卡儿继韦达之后提出的。另外，韦达书中还附有过多的文字说明（如相等、相乘等没有专用符号，而是用文词表示）。举一个例子，方程x3+30x2+44x=1560，在韦达的书中表示为：1C+30Q+44N, aequatur 1560。在韦达之后，数学符号继续被引入，符号体系不断得到改进和完善，最终形成了我们现在所熟悉的代数符号体系，其中17～18世纪的笛卡儿、莱布尼兹和欧拉等都在这方面作出过重要的贡献。

尽管如此，韦达的确是朝着用字母表示方程的方向迈出了非常重要的一步，而他在建立代数符号体系方面所作出的卓越贡献则彻底改变了代数学的面貌。韦达做出的革新被认为是数学史上的重大进步，为代数学的发展开辟了道路，因此他被称为“代数学之父”。如果认为代数学本质上最大的变革是从它的符号体系方面开始的，那么作为符号代数奠基者的韦达获得这一称号实在是恰当的。

一个代数方程是否总有解？如果把数系的范围限制在整数、有理数甚至实数内，都无法保证这一点。最简单的例子是x2+1=0就无解。那么，在复数范围内考虑情况又将如何呢？许多人猜测答案是肯定的。1746年，达朗贝尔给出这一结果的一个不太严格的证明。1799年，22岁的高斯在其博士论文中第一个较严格地证明了：实系数的n次方程总是包含至少一个复根。当然，在迈出这困难的一步后，人们可以进而较容易地推出n次方程有且仅有n个复根（重根按重数计算）。

在高斯的证明之后，柯西等数学家又给出了若干证明。而充分认识到这一结果重要性的高斯本人则在1815年、1816年给出了另外两个证明。但最初人们的证明都假定系数是实数，即对任意实系数多项式方程，至少存在一个复根。1849年在庆祝取得博士学位50周年的纪念会上，高斯发表了这一结论的第四个证明。这一证明首次把方程的系数推广到复数，即高斯证明了：对任意复系数多项式方程，至少存在一个复根。容易知道，正系数的方程，根可能不是正数。整系数的方程，根可能不是整数。有理系数的方程，根可能不是有理数。实系数的方程，根可能不是实数。但复系数代数方程，它的根还是复数。利用代数方程，没法使复数家族增加新成员了。这叫做“复数系统的代数封闭性”。

“一元n次方程至少有一个复根”这一在方程论中具有中心地位的结论，被称为代数基本定理。名称的由来在于当时方程理论和代数学基本就是一回事，而这一定理保证了初等代数的基本对象——代数方程的根的存在性。

代数基本定理的获证在代数学发展史上具有里程碑式的意义。利用这一结果，人们可以很快推出一些其他结果，如一个n次多项式能分解成线性因式的乘积；任何实系数多项式可表示成一次和二次实系数因式的乘积等。而高斯正因为在证明这一定理中作出了关键性贡献，所以有数学史家也把高斯称为“代数学之父”。

代数基本定理的证明，产生了多方面的影响。

一方面，这一定理的成立必须依赖于数系的扩充。数系的扩张是贯穿于数学历史的一条明显的红线。但与人们通常的想象不同，数系的扩充经历了极其漫长、复杂而又曲折的过程。我们以负数、复数的引入为例简单说明一下。

古代中国早在1世纪下半叶时，就有了明确的负数概念。但在西方，负数概念的被认可却经历了极长的时间。比如，17世纪的法国著名数学家帕斯卡仍认为：“从零减去4纯粹是胡说。”

但当面对负数能否作为方程的系数与方程的根这一问题时，东西方态度则非常一致，他们都持小心翼翼的否定态度。

在方程系数方面，我们现在对其正负不作区分。比如说，二次方程的一般形式我们可以记作ax2+bx+c=0，其中的系数a、b、c可正可负，就是说我们对系数的正负是一视同仁的。然而，在古代，无论东西方，迈出这一步都是非常不容易的事情。我们已经提到，花拉子密、卡尔丹在解二次、三次方程时，都限定系数为正。这一点到代数学之父韦达时，尚无改变，他拒绝用字母系数表示负数。西方直到17世纪中叶，才有数学家允许字母系数既可以代表正数，又可以代表负数，在此以后，西方人才慢慢接受了负系数。在我国，直到宋元时期，才逐步在方程中引入了负系数。

在方程的根方面，我们现在既取正根，也取负根。但在数学发展史上，迈出这一步同样经历了漫长的岁月。如西方历史上第一个引入负数运算的丢番图，只接受正有理根，负根与无理根都被他忽略。之后长时期内，多数西方数学家都拒绝接受方程的负根。比如，韦达在解方程碰到负根时，就把它舍去。在我国，从产生负数的1世纪到数学最鼎盛的宋元时期，在对待方程的负数根方面采取的态度也都是不予考虑。

随着数学家最终接受负数，负数在数学中的重要性与必要性得以体现。在前面章节，我们已经看到花拉子密、卡尔丹在处理方程时，因为没有负系数的思想而不得不把我们现在看来本身相同的方程分为不同的类型，从而带来许多不必要的麻烦，并使方程求解变得烦琐不堪。通过古今这种繁简的强烈对比，我们应能从中领略到负数引入的必要性。此外，引入负数后，也使许多无解的方程有了解。

下面再来简单地看一下复数的引入。

如我们所熟悉的，在解二次方程时就会遇到负数开平方的问题。然而，复数的引入却是解三次方程的产物。事实上，人们早期遇到x2+1=0之类的方程时，采用的方式是回避，即认为这样的方程无解。事情的转折来自卡尔丹三次方程求根公式的发表。比如让我们考虑一下三次方程x3=15x+4。利用卡尔丹公式可以得到。要知道16世纪学家对负数尚持怀疑态度，公式中出现负数的平方根在当时的数学家看来绝对是荒谬与不可接受的。那么，能否使用曾有效的回避或否认的办法，将这一方程作为不可解的三次方程而予以排除呢？就像当人们不承认负数时，就避开x+4=2之类的问题一样。然而，这一次事情似乎有些更麻烦。因为对上面这个三次方程来说，恰恰可以很容易验证出它有3个不同的和完美的实数根：4及另外2个实根-2±√3。也就是说，问题不是我们选择的方程不太好，而似乎是问题的答案不太漂亮，而这一不太漂亮的结论却是使用似乎在任何情况下都应成立的卡尔丹公式得出的。所以，现在的困难在于：我们没有理由抛弃上述的方程，即认为它没有解或者不值得解，而是应该去寻找一种解释，说明为什么我们的根式解与真正的解之间存在着似乎不可调和的矛盾。后来，人们认识到，在用求根公式解三次方程时不可避免地要陷入一类新数的困惑之中。特别是，如上面例子所见到的，当三次方程的三个根是互不相同的实数时，用卡尔丹公式得到的结果由两部分都含有根号下正的数组成，疑难无可避免。卡尔丹在书中指出了这类疑难的存在并进行了一些研究，但并未解决。后来，意大利数学家邦贝利迈出了勇敢的一步。在1572年的论文中，他接受一类新的数即我们现在所称的“虚数”，通过熟练应用这类虚数，他发现可以得到方程x3=15x+4的实数解。于是，虚数成为运载数学家从实数三次方程到达其实数解的必要工具。也就是说，人们从熟悉的实数领域出发并最终回到实数，但中途却不得不进入一个当时人们所不熟悉的虚数世界以完成这一旅程。这种处理方式对当时数学家来说有些不可思议，然而却可以在形式上有效地解决用卡尔丹公式解三次方程出现的矛盾。于是，邦贝利的新思想及由之产生的新方法，使人们在一定程度上开始认真看待复数。复数作为一种有用的工具，被数学家引入了，此后它被数学家们越来越熟练地使用着。然而，当数学家已经对复数的运算达到相当熟练的程度时，复数作为数的地位仍然无法得到确立。

而代数基本定理的被认识与证明为复数的普遍认可提供了新的理由与推动力。正如我们已经看到的，历史上容许哪些根不容许哪些根一直是有争议的。在16～17世纪，甚至到19世纪，许多数学家不仅反对虚根，连负根也不接纳。但如此一来，同样是二次方程，就可能出现两个根、一个根或者没有根多种情况。这种褊狭的见解最终还是被宽容的意见所取代，即把复根都包括在内。在这种宽容的观念下，产生了美妙的结论：“一元n次方程有且仅有n个根（重根按重数计算）。”这一漂亮的结果使数学形成一种完美的理论，但它必须接受复数的存在，即结论是建立在复数基础上的。于是，代数基本定理的证明巩固了复数的地位。

代数基本定理的证明产生的另一种影响，体现在它是一种存在性证明上。在此之前，人们更习惯于一种构造性证明。换句话说，以前的存在性大都是通过实际获得或显示出问题中的量而建立起来的。例如，二次方程解的存在性，是通过求根公式把满足方程的解显示出来。而高斯探讨代数基本定理的方法与之迥然不同，他开创了探讨数学中整个存在性问题的新的途径。这种证明告诉世人宝藏的存在，但并未说明其藏宝地点。因此，根据已经证明的代数基本定理，人们只知道方程的解一定是存在的。然而，这些存在的解是否都能用公式表示出来？高斯等人的证明没有对此透露任何信息。

当然，如上面已经介绍的，到16世纪时，数学家们已经能够对五次以下的方程给出根式解。于是剩下的问题是，五次或更高次方程是否也存在这样的根式解。对这一问题的思考自16世纪起困惑了数学界200多年，直到19世纪才被彻底解决。这正是我们下一节要探讨的问题。