行列式与克莱姆法则

二元一次联立方程组的一般形式为：

对此，我们可用非常熟悉的加减消元法来解：（2）乘以a11减去（1）乘以a21，由此即可直接消去x，得到。同理可求。

这样，当a11a22-a12a21≠0时方程组的解就用它的系数表示出来了。但看上去这一结果形式非常烦琐、难记。能否让这一结果变得更简洁呢？

认真分析一下，会发现这个解具有规则的形式：出现在分子、分母上的3个代数式子都是由两个数的乘积减去另两个数的乘积。为此，我们引进一个符号表示这种有规律的形式，即令，其中a, d所在对角线（称为主对角线）上的乘积取“+”，b, c所在对角线上的乘积取“-”，由此定义的符称为一个二阶行列式。

根据二阶行列式的定义，我们有：

于是，二元一次联立方程组的解可以表示为：

分母中出现的4个数恰好是原方程组的系数排起来的结果，称为系数行列式。而x的解中的分子是把系数行列式的第一列（相当于方程组中x的系数）换成常数项；y的解中的分子则是把系数行列式的第二列（相当于方程组中y的系数）换成常数项。这样一来，二元一次方程组的解的规律性就被完全揭示出来了。如果我们想让这一形式更简洁，那么我们还可以记：D=，于是二元一次方程组

只要理解了行列式D, Dx，Dy的构造规律，那么这种通过二阶行列式形式表示出的二元一次方程组求解公式就显得既简洁又容易记忆。更重要的是，这种思路可以推广。下面我们用类似的方式研究三元一次联立方程组。

考虑一般形式的三元一次方程组

解决这类方程组的基本思路是消元。我们打算先消去z，为此可以在a 13≠0的情况下由（1）式解出。

把这一结果代入（2）、（3）式，可消去z得到关于x, y的二元一次线性方程组

解这个二元一次线性方程组可得到x, y，代入（1）式又可得到z。省略具体过程，可得到如下的最后结果：

可以验证，只要，三元一次方程组的解都可以表示成这一结果。

此外，我们还有另一种可以直接消元得到上面结果的办法。方程（1）×（a22a33-a23a32），方程（2）×（a13a32-a12a33），方程（3）×（a12a23-a13a22），然后把得到的三个新方程加起来，那么会发现y, z的系数恰好已都变为0，于是可以直接得到x的解。用类似的方法，可以直接求得y, z的解。

初看上面的结果，会觉得它们非常烦琐、复杂。让我们以共同的分母为例看一下其中是否有规律可循。把分母展开，得到，这可看做是6个乘积的代数和，其中3项取正，3项取负。而每个乘积都可通过来自不同行、不同列的3个元素相乘而得到。借助下面的图形也可以帮助我们理解并记忆上面的结果：其中自左上方到右下方的实线所串起来的3个数连乘后取正号，自右上方到左下方的虚线所串起来的3个数连乘后取负号。

于是，对这种有规律的形式我们同样可以引进一个符号表示，即令

类似的，x, y，z的分子因为具有相同的规律，于是利用三阶行列式的定义有：

由此得到的4个三阶行列式的构成也非常有规律。第一个行列式恰好由原方程组所有系数组成，称为系数行列式；第二个行列式（表示x解的分子）可看做是把系数行列式中的第一列（即方程组中x的系数）换成常数项而得到的；第三个行列式（表示y解的分子）可看做是把系数行列式中的第二列（即方程组中y的系数）换成常数项而得到的；第四个行列式（表示z解的分子）可看做是把系数行列式中的第三列（即方程组中z的系数）换成常数项而得到的。这样一来，三元一次方程组的解的规律性就被完全揭示出来了。如果我们想让这一形式更简洁，那么我们还可以把这4个行列式分别记为：D, Dx，Dy，Dz，于是三元一次方程组的解可以写成：。

这种思路还可以继续推而广之。对含有四个方程的4元一次联立方程组，对含有五个方程的5元一次联立方程组……一般地，对含有n个方程的n元一次联立方程组，只要适当地定义相应的行列式，就有同样的法则成立。这一法则被称为克莱姆法则。具体而言，如果引入n阶行列式，则n个方程n个未知数的线性方程组当它的系数行列式不为零时只有唯一解，这个解形式上可以表示为：

其中D为系数行列式，而Dj则是把D的第j列换成方程组的常数项b1，b2，……，bn。这样，我们就通过引入行列式概念，从理论上得到了含有n个方程的n元一次联立方程组的完美的求解公式。

剩下的问题是，如何适当地定义4阶、5阶、……、n阶行列式？

我们从上面已有的二阶、三阶行列式出发，看能否找出规律。

先看一下复杂些的三阶行列式。

它被展为三部分的代数和，其中三部分分别是第一列中的第一个元素a11、第二个元素a21、第三个元素a31各乘了一个二阶行列式。而且a 11对应的行列式恰好是划掉它所在的第一行第一列剩下的数组成的，我们称其为a11的子行列式或子式；a21对应的行列式恰好是划掉它所在的第二行第一列剩下的数组成的，我们称其为a21的子式；a31对应的行列式恰好是划掉它所在的第三行第一列剩下的数组成的，我们称其为a31的子式。剩下要确定的是这三项的符号，a11的子式取“+”，可由（-1）1+1得到；a21的子式取“-”，可由（-1）2+1得到；a31的子式取“+”，可由（-1）3+1得到。一般地，ai1的子式前面的符号是（-1）i+1。

简单些的二阶行列式是否也有类似的规律呢？为此，我们先定义一下一阶行列式，规定|a|=a。于是，二阶行列式。

这样，二阶行列式被展为两项的代数和，其中两项分别是第一列中的第一个数a11与第一列中的第二个数a21各乘了一个一阶行列式。而且a11对应的行列式恰好是划掉它所在的第一行第一列剩下的数组成的（同样我们称其为a11的子式）；a21对应的行列式恰好是划掉它所在的第二行第一列剩下的数组成的（同样我们称其为a21的子式）。再看两项的符号，a11的余子式取“+”，a21的余子式取“-”，也完全符合上面提到的结论：ai1的子式前面的符号是（-1）i+1。

由此，我们看到二阶行列式与三阶行列式在展开为低一阶的行列式时遵循着共同规律。这一规律在数学上称为拉普拉斯展开定理。上面我们介绍的是按第一列展开的结果，同样的，我们还可以按第一行展开。根据这一展开规律，我们就可以如上面已经做过的，由一阶行列式定义出二阶行列式，由二阶行列式定义出三阶行列式。进而，我们可以如下由三阶行列式定义出四阶行列式（按第一行展开，其中a1j的子式前面的符号可通过（-1）1+j确定）：

类似地，可以由四阶行列式定义五阶行列式……依次下去，

可以由n-1阶行列式定义n阶行列式。为了形式上的简洁，我们可以引入相应的定义：把n阶行列式中划掉元素a1j所在的行和列，余下的n-1阶行列式叫做元素a1j的子式，并用M1j表示。若在其前面再添加上符号（这个符号可由（-1）1+j确定），则称为元素a1j的代数余子式，并用A1j表示，即A1j=（-1）1+jM1j。在引入这些定义与符号后，n阶行列式A可定义为：

用语言表述即：一个n阶行列式等于其第一行诸元素与其代数余子式的乘积之和。

事实上，根据拉普拉斯展开定理，我们可以按任意一行或任意一列展开。当然，这需要引入相应的定义：把n阶行列式中划掉元素aij所在的第i行与第j列，余下的n-1阶行列式叫做元素aij的子式，并用Mij表示。若在其前面再添加上符号（aij的子式的符号可由（-1）i+j确定），则称为元素aij的代数余子式，并用Aij表示，即Aij=（-1）i+jMij。在引入这些定义与符号后，我们可以说，一个n阶行列式等于其第i行（或第j列）诸元素与其代数余子式的乘积之和。

上面我们是利用拉普拉斯展开定理，通过递归方法定义出了n阶行列式。当然，我们也可以直接定义出n阶行列式。通过观察可以看到，二阶行列式完全展开后，由2项构成，其中每一项里都有每行的一个元素和每列的一个元素作为因子，而且所有这种可能的乘积（共2！种）都出现。对三阶行列式而言，它完全展开后，由6项构成，同样的，其中每一项里都有每行的一个元素和每列的一个元素作为因子，而且所有这种可能的乘积（共3！种）都出现。另外需要确定的只是每一个乘积前面或“+”或“-”的符号。

这样的规律可以推广到任意阶。一般地，n阶行列式完全展开后由n！项构成，其中每一项里都有每行的一个元素和每列的一个元素作为因子，而且所有这种可能的乘积（共n！种）都出现，另外再在每个乘积前面添加上“+”或“-”。简单说，n阶行列式是从每一行取一个元素从每一列取一个元素做成的所有乘积按一定的规律冠以正号或负号后的代数和。不过，确定每一个乘积的符号的规律有些复杂，我们这里不再做介绍。有兴趣的读者可以自己去查看这方面的书籍。

我们下面所要做的是，回顾一下行列式的历史，看看历史上人们是通过什么方式引入行列式概念以及这一概念是如何发展的。