数学本质与哲学本质的区别

本节简单讨论一下数学与数学哲学之间的关系（更完备的阐释也请参见Shapiro 1994和1997：第1章）。在多大程度上我们期待哲学能去确定真正的数学实践，甚或为真正的数学实践提供建议？反过来，又在何种程度上我们能期待自发的数学实践去决定数学哲学的正确性？这只是一个更为一般的问题的特例，这个问题涉及哲学在它的后代——各种学术领域——中的地位。类似问题也出现于，例如，物理学哲学和心理学哲学中。对这些问题的回答为数学哲学的主要议题和问题提供了动力和背景，这些议题和问题中的一些将在下章来确定。

有相当一段时间，哲学家和一些数学家相信哲学的事情，如形而上学和本体论，决定着真正的数学实践。例如，柏拉图认为数学的研究对象是一个永恒不变的、观念的王国。数学对象，如数和几何对象，是不生不灭，也不能被改变的（见第2章，第2节）。在《理想国》（Republic）第7卷，他抱怨数学家并不知道自己在谈论什么，因此他们没有正确地研究数学：

［几何］科学与它的行家使用的语言完全相反……他们的语言再可笑不过……他们似乎在说他们正在做什么事情，又似乎他们所有的语词都是直接指向行动……［他们谈论］关于“化方”、“作图”、“延长”等等，而事实上这门科学真正的目的是纯粹为了……关于永恒事物的，而不是关于某种有时产生和灭亡的事物的……知识。（Plato，1961，柏拉图著作标准编号527a）

古代几何学的几乎每一文献，包括欧几里得（Euclid）的《几何原本》（Elements），都广泛使用构造性的、动态的语言：线被画出，图形被四处移动，函数被应用。在这一方面，这种习惯直到今天也没有很大改变。如果柏拉图的哲学是对的，动态语言就没有意义。永恒不变的客体不是被构造和移动的对象。人们不能画出一条永恒存在的线或圆。人们也不能取一条永恒不变的线段，把它切为两段，然后再把其中一段放在另一个图形的顶端。

有人也许认为此处只是语词之争。欧几里得曾写道：在任何两点之间人们能够画一条直线。在柏拉图主义者看来，人们不能做这样的事情，但也许他们能重新解释这条原理。希尔伯特的《几何基础》（Grundlagen der Geometrie，1899）有一条对柏拉图主义者来说是正确的公理：任何两点之间存在一条直线。一旦希尔伯特和欧几里得所说的能被正确地理解，那么也许他们说的是同一件事情。柏拉图自己在用不怎么“可笑的”术语解释几何学家的意思方面没有什么困难。他的抱怨涉及语言，而不是几何学。

然而，这种情形在数学范围和哲学范围内都不是这么简单。乍看起来，三等分角、化圆为方和加倍立方体这些久远的问题不是关于存在的问题。古代和现代的几何学家会对是否存在一个20°的角感到疑惑吗？或者，这样的角是否能被画出，如果能的话，用什么工具画出？

在20世纪，关于直觉主义的争论为针对作为实践活动的数学而提出的哲学挑战提供了另一个清晰而直接的例子（见第7章）。传统的直觉主义者是柏拉图的严格意义上的对立面，认为数学对象是心灵构造，而数学陈述必须在某种程度上援引心灵构造。例如，布劳威尔（L. E. J. Brouwer）(1948)曾写道：“唯有凭借内省的构造推演定理，严格以这种观点对待的数学称为直觉主义数学……它背离了经典数学……因为经典数学相信存在不可知的真理。”而海丁（Arend Heyding）（1956）则说：“布劳威尔的计划……在于对心灵的数学构造本身的研究……在对心灵的数学构造的研究中，‘存在’一定是‘被构造’的同义词……事实上，数学，从直觉主义者的观点来看，是对人类心灵某种官能的研究。”直觉主义者主张哲学有涉及真正数学实践的后果。尤为引人瞩目的是，他们否认所谓排中律的有效性，这个论题是说对任意命题Φ，或者Φ为真，或者它的否定为真——用符号表示为Φ∨Φ。直觉主义者论证说排中律，以及基于其上的相关原理，是相信数学对象的超越性存在和/或数学陈述的超越真理性的征候。这一争论蔓延到整个数学。对一个直觉主义者来说，并非所有自然数都有某一性质P——用符号表示xPx——这一命题的内容是说可以否证人们能找到一个构造，它表明P对每一自然数都成立。存在一个自然数没有性质P——x这一命题的内容是说人们能够构造一个自然数x并且表明P对x不成立。直觉主义者同意后一个命题，，蕴涵前一个，但在相反的方向上停了下来，因为表明一个性质不能普遍成立而又构造不出一个令其不成立的自然数，这是可能的。海丁注意到一个实在论者，一个确实认为数独立于数学家而存在的人，会接受排中律以及相关推论。从实在论者的观点来看，的内容不过就是P普遍成立是假的，而意味着存在一个数P对它不成立。两个公式都指称数本身；没有一个与数学家的知识聚集能力有关。因此，两个命题是等价的。在标准的逻辑系统——对所谓经典逻辑的系统化——中，其中任何一个都能被另一个导出。因此，似乎经典逻辑的正确性开启了一个多少有些传统的哲学思考。如果数是独立于心灵的，那么经典逻辑就是恰当的。前述的直觉主义者则主张由于数是心灵的，经典逻辑必须让位于直觉主义的（有时也称为构造性的逻辑）。

让我们考虑另一个被认为引起哲学思考的方法论之战，它将在本书中多次被我们讨论^[4]。对一个数学实体的定义是非直谓的（impredicative），如果它用到了包含被定义项的集合。例如，“最小上界”的通常定义是非直谓的，因为它提到了上界的集合，然后辨别出该集合的一个元素。基于数学对象并非独立于数学家存在的思想，庞加莱（Henri Poincaré）系统地攻击了非直谓定义的合法性（如Poincaré 1906；见Goldfarb 1988和Chihara 1973）。用传统哲学的术语说，庞加莱拒绝的是实无穷，坚持认为唯一明智的选择是潜无穷。例如，不存在一个先于数学活动而被确定的全体实数的静态集合。由此观点看，非直谓定义是恶性循环。人们不能构造一个对象，而要用到已经包含它的集合。

现在讨论相反的观点。哥德尔（1944）基于他的有关数学对象存在的哲学观点，为非直谓定义做了明确的辩护：

……恶性循环仅当对象是我们自己构造的时候才能应用。在这种情形下，必须清楚地存在一个定义……它不能用到被定义对象所属的全体，因为一个事物的构造当然不能基于这个被造事物所属的全体。但是，如果问题是关于独立于我们的构造而存在的对象的，那么存在全体包含的对象，它们只能通过援引这个全体才能被描述（即唯一地被刻画）就没有任何荒谬之处……类和概念可以……被认为是真实的对象……独立于我们和我们的定义以及构造而存在。对我来说，假设这类对象似乎与假设物理的物体完全同等地合法，并且完全有同样的理由相信它们的存在。

按照这种实在论，一个定义并不代表一种构造或创造对象的方法。相反，它是刻画或指出一个已经存在的事物的途径。这样，一个非直谓定义就不是恶性循环。“最小上界”并不比其他“非直谓”定义有更多问题，像用“村傻”（the village idiot）指称全村最傻的人，或用“镇醉”（the town drunk）指称全镇酗酒最严重的人。

这些例子暗示出的倾向是，在某种深刻的形而上学意义上，哲学先于实践。在基础层面上，哲学决定实践。这里的图景是，人们首先描述或发现数学是关于什么的——不管数学实体是客观的还是依赖于心灵的。这就固定了研究数学的方式。那些相信数学对象是独立存在的人会接受排中律和非直谓定义。我们称这种观点为哲学在先原则（philosophy first principle）。其想法是，我们首先弄清我们在谈论的是什么，只有在这以后才能弄清对数学本身又该说些什么。哲学因此有了决定数学的高贵任务。用传统术语说，这个观点就是哲学为像数学这样的特殊科学提供第一原理。

尽管有以上例子，对数学史来说哲学在先原则并不是真的。虽然直觉主义和直谓数学依然在这里和那里被实践着，经典逻辑的绝大部分和非直谓定义在当代数学中却根本不能被动摇。尽管争论在哲学家中持续着，但在数学中战斗已完全结束。按照以上概述，人们或许认为压倒多数的数学家已像哥德尔那样接受实在论。然而，数学界决不会戴上哲学的头衔，并决定数学对象（例如数）确实存在并独立于数学家的心灵，而且由于这个原因才决定参与到这类早就被质疑的方法论中。

如果有什么不同的话，那就是有另一种情况存在。20世纪前半叶见证了对经典逻辑和非直谓定义（以及其他有争论的原则）在数学的核心领域所扮演角色的仔细研究，这些领域包括分析、代数、拓扑以及诸如此类。最后知道，就当时它们已经发展的程度来讲，排中律和非直谓定义对于这些学科的实践是本质的。长话短说，所讨论的这些原则不是因为实在论的批准才被接受，而是因为数学的平稳发展需要它们。在一定意义上，数学家忍不住使用这些原则，事后来看，没有这些原则，数学会变得多么贫乏无力。我们不得不作出很多奇技淫巧的定义，不得不不停地检查定义的构造性或直谓性层谱，而数学家将需要密切注意语言。这些恼人的东西被证明是人为的，而且是徒劳无功的。关键是很多重要的结果将不得不放弃。数学家在由此得出的系统中没有发现任何吸引人的地方^[5]。

戴德金（Richard Dedekind）在讨论自然数的论文（1888）的开头一段就明确拒绝了构造主义者的观点。随后有一个脚注：“我明白地提到这些是因为克罗内克（Leopold Kronecker）不久前……曾努力施加某种限制于……数学之上，我不相信这些限制是正当的；但是似乎没有什么必要更仔细地纠缠于此事，除非有杰出的数学家为这些限制的必要性或至少是方便性提出他的理由。”杰出的数学家克罗内克确实陈述了他的理由，但那些是哲学的。戴德金显然想知道作为数学家本身为何要限制自己的方法。他也显然认为哲学本身不能提供这样的理由。因此，戴德金拒绝哲学在先的原则。

在哥德尔已经发表的论文中，哲学在先原则并不是占主导地位的议题。哥德尔（1944）的目的是回应一种基于哲学的对数学原则的攻击。他的论证是：这种方法论的批评基于一种哲学之上，而人们不必一定采用这种哲学。其他哲学支持其他原则。哥德尔没有在第一原则、先于实践的立场上论证实在论。他的哲学论文中有对实在论清晰流畅的表达，有对实在论与数学实践完美适应的论证，并且，也许还有实在论为这一实践提供了精确指南的论证。哥德尔因以下观点而著称：数学对象存在的情形恰好与物理对象存在的情形是平行的（见第8章，第1节）。他的观点，照我的理解，是我们基于清晰而成功的理论（数学和物理学）得出以上两个结论的。这不是，或至少不必是哲学在先。

有些哲学家倾向于忽略以下事实（如果它是事实的话）：哲学在先与数学发展史并不一致。他们并不情愿接受来自实践和历史的“材料”，坚持一种规范性的主张：数学应该为哲学所支配，并且与柏拉图、布劳威尔、庞加莱、克罗内克等人一样，在数学家忽略或冒犯哲学在先原则的时候，对他们大加批评。这些哲学家中的一些人认为当代数学的各部分是不一致的，这却不为那些实践者所知，他们仍然幸福地继续着他们有缺陷的实践。为了贯彻这个规范性的主张，哲学家也许会为数学制定一个终极目标，然后论证说，或者数学家没有接受这个目标但应该接受，或者数学家虽然隐含地接受这个目标但却没有行进在追求这一目标的道路上。我们也许要避免一种回溯，否则就可能陷入一场关于什么才能被称为“数学”的口舌之争。

其他哲学家，也许是大多数，拒绝哲学在先，恰恰是因为它对于实践来说不是真的。他们宣称，数学哲学的目标是给数学一个一致的说明，而不管你喜不喜欢，数学就是数学家所做的事情。

一个人在这一全局的、元哲学问题上的倾向决定着他对一些当代哲学文献——而不仅仅是数学中那些局部问题——的反应。一个中心议题是当代数学（或任何其他学科）保持内在一致或融贯的程度，取决于哲学家对什么是一致或融贯的深思熟虑的反思。谁的标准算数？像卡洛尔（Lewis Carroll）的蛋形人（Humpty Dumpty）^[6]所说的，谁来负责？

举一个例子，达米特（Micheal Dummett）（如1973）带来了涉及语言的可学习性和用语言作为交流媒介的大量思考。这些思考的一个结论就是排中律不是普遍有效的，并且因此经典逻辑应当为直觉主义逻辑所取代（见第7章，第3节）。达米特当然明白，如果他关于语言的观点是对的，那么当代数学实践就是有缺陷的——甚至是不融贯的。那些倾向于哲学在先的人可能会严肃对待达米特有关语言的论证。非常可能的是: 达米特是对的，而几乎每个数学家都是不融贯的，或者至少在一个正规和系统的基础上严重出错。另一方面，那些倾向于远离哲学在先的反对修正主义的哲学家则可能拒绝达米特关于语言的思考，或许根本不假思索。他们论证说如果要求改变数学，那么达米特关于语言的那些论证必定是错误的。这是一个用不着回答的疑问句：作为实践的数学和达米特的语言哲学，哪一个更安全，更像是真的？更为中立地陈述这件事情：达米特论证说当代数学没有享有某种类型的辩护。一个反对修正主义的人可能会同意这一点，但会马上加一句说，数学不需要这种辩护。

我们再简单讨论一下哲学在先的极端反对者，哲学与数学是无关的这一论题。按照这种观点，数学有自己的存在方式，完全独立于任何哲学思考。一种哲学观点对数学没有任何贡献，而最坏的情况是它只是一种无意义的诡辩，门外汉的闲逛和（试图）多管闲事。即使最好的情况，数学哲学也不过是数学的一个不值一提的女仆。如果它有什么工作可做的话，就是给作为实践的数学提供一个融贯的说明，仅此而已。如果数学的发展开始与其冲突，那么哲学家必须准备否定自己的观点，不能有一丝犹豫。这称为哲学忝列末位原则（philosophy last if at all principle）。

支持哲学在后原则的一个（不幸的）事实是许多数学家，也许是大多数，对哲学没有丝毫兴趣，而毕竟是数学家们实践于自己的领域并进一步使其有机联系起来。不管好坏，这个学科完全独立于哲学家的沉思冥想而进展着。

也许有些讽刺意味的是，有些哲学在后的观点来自哲学家。维也纳学派成员的著作中有反对传统哲学问题，特别是那些关于形而上学问题的声明。例如，卡尔纳普论证说，有关数学对象真实存在的哲学问题是“外在”于数学语言的，由于这个原因，它们只是“假问题”（见第5章，第3节）。

我假定（至少希望）反修正主义者并不意味着对数学和数学家的崇拜。没有什么实践是神圣不可侵犯的。作为会犯错的人类，数学家肯定有时也会出错，甚至是系统的错误；而有些差错可能被某些被认为是哲学的东西发现。所以，一种合理的反修正主义立场是数学中使用的原则被看作是缺省正确的，但不是不可改变的。数学主体的正确性是一条完全确立的、高层次的理论原则。考虑到数学——包括经典逻辑、非直谓定义以及诸如此类——的巨大成功，强行去除它将会付出沉重代价。基于一个哲学家个人直观信念之上的一些反思，或对自然语言的观察而进行的概括，不会颠覆已经建立起来的数学，至少单凭这些东西本身不行。根本的想法是科学家和数学家通常知道他们在做什么，知道他们所做的是有趣的、是有价值的。

也许哲学在先和哲学忝列末位原则导致太过尖锐的对立。如上面提到的，有些数学家关注哲学，并且至少用它作为他们工作的一个指南。即使没有哲学在先原则，哲学也能提出数学研究的方向。例如，贝奈斯（Paul Bernays）（1935）可以被看作是拒绝哲学在后原则的，因为他写道：“灵感源自柏拉图主义的那些数学概念，其价值在于它们提供了在简单性和逻辑力量上都十分突出的模型。”有些观察者宣称，数学已经变为一个高度专业化的、没有共同方向的学科序列，甚至相关领域的专家也不能相互理解对方的工作。哲学也许会帮助提供方向和指导，即使它不提供第一原则。

有一个引人注目的例子，哥德尔声称他的实在论在发现一阶逻辑的完全性和算术的不完全性中都是一个重要因素。完全性定理是司寇伦（Thoralf Skolem）的一些结果的平凡推论。然而司寇伦没有得出这些结论，其原因可以追溯到司寇伦和哥德尔对于数学的不同倾向上，倾向则大致可看作是哲学的^[7]。

我们不打算解决哲学在先、哲学在后或哲学在中间这些议题。十有八九，那些倾向于某种极端形式的哲学在后的人不会对本书的论题感兴趣。或许我们其余的人会同意哲学家有自己的兴趣，不同于他们在其他系的同事，而追求这些兴趣是有趣的、有价值的。数学哲学家的工作应该吸收数学家的工作，但至少其中有一部分是不同的工作。哲学和数学有紧密的相互关系，而不是其中一个统治另一个。根据这种观点，研究数学的正确方式不是纯正哲学的直接后承，而正确的数学哲学也不是作为实践的数学的直接后承。

哲学家的工作是说明数学及其在理智生活中的地位。数学的研究对象是什么（本体论）？数学的对象与科学的对象之间是怎样的关系以至于容许如此广泛的应用和交叉？我们如何能研究和认识数学（认识论）？数学如何被传授？如何理解数学语言（语义学）？简而言之，哲学家必须就关于数学的、关于数学的应用性的、关于数学语言的、关于我们自己的事情说些什么。这已经是令人生畏的任务了，即使不算寻找第一原则的工作。

在我看来，数学哲学的基本目标是解释数学，并由此说明数学在整个理智事业中的地位。按照反修正主义的观点，我们要解释的是数学，而不是断言数学应该是什么的某种先天哲学理论。一般来说，解释可以也应该包含批评，但照反修正主义者的看法，批评不是来自外部——来自先定的第一原则。一个修正主义者，也许为哲学在先原则所掌控，可能论证说数学，作为实践，没有融贯的解释。他提出修正或替换，以便把数学置于一个更好的基础上，同时保持它的固有功能。在这一点上我们将保持中立，以便涵盖各种主要的立场。

也许所有派别都同意数学哲学是那些关心数学、渴望理解其在理智事业中的角色的人所研究的。一个采纳某种数学哲学的数学家会从中受益，这包括：一种工作倾向，对其前景和任务的一些洞见，以及对其发展方向——哪类问题是重要的、什么疑问应该被提出、什么方法论是合理的、什么看起来能成功，等等——的至少是试验性的指导。