数学的和物理的

数学与科学之间的相互影响是广泛的，甚至有些学科有时被称为“应用数学”。连接数学和科学的丰富而多样的道路都是双向通行的。如尼古拉斯·古德曼（Nicolas Goodman）（1979：550）所说：“大多数数学分支都相当直接地阐释了自然的某些部分。几何学关注空间；概率论教会我们关于随机过程的知识；群论说明了对称性；逻辑描述理性推理；分析的很多部分是为了研究一些特殊过程而建立的，并且依然与所研究的那些过程难以区分……我们最好的定理给出了关于具体世界的信息，这是一个实践中的事实。”更丰富的例子可参见Polya 1954，1977。

由此几乎可以推出数学哲学的一个备受关注的问题，就是理解数学话语和其他科学和日常话语之间的关系。既然有了这些广泛的相互联系，哲学家至少可以从以下假设着手：在数学的研究对象（不论它是什么）与科学的研究对象（也不管它是什么）存在着一定的关系，并且数学应用于物理实在并非偶然。任何不能对这种关系作出说明的数学哲学或科学哲学充其量都是不完备的。有关数学的应用性在最近几十年已经显得十分急迫了。

有一件我以前说起过的轶闻（Shapiro 1983a，1997：第8章）部分说明了这些问题。这个故事出于多人的不太可靠的记忆。但情形十分典型。一个朋友有次告诉我，在一个物理实验室的一次试验中，他注意到有一个现象使他迷惑不解。那节课是观察示波器，一个有趣的图形不停地在屏幕底端形成。虽然它与那天的课程无关，我的朋友还是要求有一个解释。实验室指导员在黑板上写了一些东西（可能是微分方程），并说这种有趣的形状的产生是因为解这个方程的一个函数在某些特定值上取值为零。我的朋友告诉我他对此更为迷惑不解了：一个函数出现零值居然被看作是对一个物理事件的解释，但他当时感到没有能力对此做进一步的探求。

这个例子指出科学中的很多理论和实践工作都包含着构造或发现物理现象的数学模型。科学和工程中的许多问题都是寻找与一类现象有关的微分方程、公式，或函数。对一个物理事件的科学“解释”经常不过是对该事件的一个数学描述，但那究竟又意味着什么呢？对一个物理事件的数学描述是什么？

科洛维尔（Crowell）和福克斯（Fox）（1963）的书是关于纽结理论、关于缠绕在一起的绳子的数学的一个初级读本。作者在一开始讨论了用数学研究这些物理对象的问题，或者这样说更好，即对这些物理对象可能的操作问题：

定义一个纽结：几乎每个人都熟悉最简单的普通纽结，例如，反手结、“8”字形结，拿一段绳子做个小试验就会使任何人相信它们是不同的纽结：……不“结上”或“解开”就不能把一个结变成另一个结。然而，花上几个小时耐心地缠绕还不能把“8”字形结变成反手结并不能证明这是不可能的。我们将考虑的问题是数学地证明这两种纽结……是互不相同的。

数学从不证明关于数学之外的任何东西，而一段绳子是一个物理对象但不是数学对象。所以在费力进行证明前，我们必须有一个什么是纽结的数学定义……这个问题总会出现在把数学应用于物理情形的时候。这类定义应当把数学对象定义得尽可能接近所考虑的物理对象。

这里论断的似乎是：数段形成纽结的绳子之间可能的关系和相互作用能够用拓扑空间的关系来描述或模拟。这一论断凸显了我们的问题。

关于科学解释的哲学文献冗长而深奥，并且难以把握，但这里我们可以停留在一个更为基本的层面。一个令人好奇或令人迷惑不解的情形需要对其作出解释。根据韦伯斯特（Webster）的《新20世纪大词典》（New Twentieth Century Unabridged Dictionary），这样的解释应当把事情从含混变得清晰起来，并且使它成为可理解的。显然，没有对数学本身和科学实在之间关系的某些说明，一个数学结构、描述、模型，或理论就不能用作非数学事件的解释。并且还缺少这样一个说明，数学/科学的解释如何能成功地扫除含混——特别是如果新的、更棘手的含混出现时^[4]？在更一般的层面上，如果没有把握好数学和科学为其提供了知识的实在之间的关系，就不能理解科学是如何提供知识的。

我们至少有两个问题：数学如何应用于科学解释和描述？数学对科学的可应用性的（哲学）解释是什么？我们用数学的概念——数、函数、积分、希尔伯特空间——描述非数学现象。我们还用数学的定理来确定关于世界的事实以及它是如何运行的。

马克·斯坦纳（Mark Steiner）（1995）区分了“应用数学”这一题目下的几个哲学问题。这些问题中所关注的是我们前一节所遇到一些问题的版本。首先是语义学问题：典型的科学描述和解释援引了数学和物理的术语。这些描述和解释适用于像“木星有4颗卫星”这样简单的陈述，也适用于现代科学那些不同寻常的方面。但问题是要寻找一种对此语言的解释，能涵盖“纯的”和“混合”的语境，以便使数学中的证明也能直接用于科学的语境。

第二组问题是形而上学的。数学对象（如果存在）如何与物理世界相关，使得应用成为可能？例如，按照典型的本体论实在论的观点，数学是关于抽象对象世界的，这个世界缺少因果关系。而按照典型的唯心主义的观点，数学是关于心理活动的。不管哪种情况，这样两种观点如何能告诉我们物理世界是怎样运行的呢？

第三组问题涉及为什么数学的特殊概念和形式化如此频繁地在描述经验实在中发挥作用。有关物理世界的什么东西使得算术如此有用？有关物理世界的什么使得群论和希尔伯特空间在对它的描述中如此关键？斯坦纳指出，对每一被应用的概念，我们确实有不同的问题，因此不能期待有一个统一的解决。

问题出现在不同的层次。首先，人们也许想知道一个特殊的数学事实适合于解释一个特殊的非数学事实，这是如何可能的？我朋友的迷惑就属于这一层面。函数的一个零值如何说明示波器上的一个形状？数学事实如何使物理事件成为可理解的？在这种情况下，恰当的回答可能是对相关科学理论的一个详述，这些相关理论把一类特定的函数和一类物理现象联系起来。因此，那个实验室指导员这样的建议会是恰当的：如果我的朋友想知道完整的解释，他应该上一些课程。

路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）曾写道：所有解释必定会在某个地方“停止”，在我们的好奇心被满足的地方，否则就是我们已经意识到应该停止追问的地方，但也许我们还没有到达那一点。不管我们是否选修更多的物理课，我们可以好奇于一类数学对象，就像实值函数：怎么能够与物理现象相关？这使追问进入了一个不同的层面。现在我们考虑的是作为整体的数学/科学理论的相关性。它为什么起作用？的确，这是好奇心的另外一类问题，需要进行解释。对这第二个问题的可能回答将使人们看到数学的类似应用在科学方法论中扮演着重要角色。如果还坚持问下去，我们的对话者就会注意到这种方法论在预测和控制世界方面的巨大的成功。

这最后的回答解释了为什么人们会从事数学/科学研究，并且这个回答为这种方法论将继续预测和控制提供了保证，假定我们已经解决了或干脆忽略了标准的归纳问题（并且我们允许循环推理）。然而，如果我们尚未碰触到维特根斯坦的驻足之点，那对我们的问题来说就有第三个层面。整个数学/科学事业，或者至少其中的“数学的部分”又如何？为什么数学对于科学是本质的？它扮演了什么角色？遵照休谟的精神，我不希望质问整个数学/科学的事业，对它我很少有疑问。正像蒯因和其他自然主义者不断发问的：有什么比科学更可靠？然而，理解这一事业如何以其自有的方式运行的问题，是一项合法的哲学事业，而那个尚未被最后的回答解决的问题关系到这一事业的成功。

为数学上的真值实在论的一个流行的论证集中于数学和科学之间的联系（见第8章，第2节）。一个前提是数学与科学不可分辨，另一个前提是科学的基本原则（或多或少）是真的。从蒯因的整体主义（或上面提到的Benacerraf 1973 中的迫切需要）出发论证出的结论就是数学也是客观为真的——真值实在论。但是，即使这些前提是真的并且即使不可分辨论证是可信的，让事情停留在这一阶段也太过贪图安逸了。为了支持这一论证，实在论者必须提供说明的正是数学如何应用于科学。这一节的要点就是此论证的第一个前提——数学与科学的不可分辨性——本身需要解释。关于数和集合的陈述如何与科学研究的物理世界有关？这样的陈述如何能说清电子、桥梁的稳定性，以及市场的稳定性？除非我们知道了这些，否则就不能坚持不可分辨论证的结论。的确，数学家不应简单地满足于注意到了表面的不可分辨性，然后就得出结论，而这些结论产生了与他们回答的同样多的问题。

哥德尔也注意到了数学与物理实在之间联系的重要性。如前所述，对于一个真值实在论者来说，无歧义的数学陈述有客观的真值。当标准的数学证明做不到时，我们如何确定这些真值？哥德尔（1964）指出一个数学命题的概然性“真理标准”就是它“在数学中，……可能也在物理中的结果的丰富性”（此处的强调是我加的）。显然，在物理中的结果丰富性不能作为数学真理的标准，除非数学实在以一种在认识论上明显的方式与物理实在有某种联系。

可应用性的问题也潜在地困扰着各种反实在论。例如，本体论唯心主义者认为数学对象是依赖于心灵的。那样的话，数学的心灵构造如何能说清（假定为客观的）非数学的、物理的宇宙？关于外部宇宙的什么允许我们通过心灵的数学之域来把握它？如果这个哲学家还是物理世界的唯心论者，那她的问题则是要说明观念的数学世界如何与观念的物理世界相联系？数学的构造如何影响外部物理世界的构造？

那些完全否认数学命题有（非空洞的）真值，或认为大多数数学命题是系统的为假的哲学家似乎有一个更为棘手的问题。像这样的数学命题如何能说清任何非数学的东西？

我请读者自己决定这一问题的哪个版本困难最少。在整本书中，当我们更细节地讨论不同哲学时，都会回到这个问题上来。

斯坦纳（1995，1997）界定了一组引人注目的相关问题，这些问题我们不会频繁地重新讨论，主要是因为我没什么好说的，还有就是这些问题在所有各种数学哲学（就我所知道的）中都没有得到直截了当的解决。有时候，纯数学的一些领域，像抽象代数和分析，会在数学的结果成熟很久才发现意想不到的应用。数学家有一种离奇的能力，会提出一些在科学中找不到任何应用的结构、概念、领域。在整个历史中，以下场景反复出现：数学家研究一种结构，不管出于什么原因，她们出于自己的内在的目的（比如说，通过考虑无穷维的情形）将其推广到另一结构上；而后一种新定义的结构在科学的某些地方找到了应用。如S·温伯格（S. Weinberg）（1986：725）所说：“这肯定很恐怖，物理学家发现数学家在他或她之前已经在那里了。”而理查德·费因曼（Richard Feynman）（1967：171）说：“我发现这非常令人惊奇：用数学预测将会发生什么是可能的，而数学只是简单地遵循那些与最初的东西毫无关联的规则。”在数学阵营这边，同样的情绪出现在布尔巴基（Bourbaki）的皇皇巨著（1950：231）中：“数学像……一个抽象形式——数学结构——的仓库；而它恰巧是这样——我们并不知道这是为什么——产生，使得经验实在的某些方面适合于这些形式，就像通过某种预先的改造一样……”