数学之于柏拉图

柏拉图对数学家们令人兴奋的成就的赞赏已广为人知，甚至随手翻翻那些对话的读者也能发现这一点。正如弗拉斯托斯（Gregory Vlastos）（1991：107）指出的，柏拉图“能在学院里同当时最好的数学家用易懂的术语进行交流，分享并鼓舞他们对自己工作的热情”。最近一些学者已经关注于数学发展对柏拉图哲学的影响。富于戏剧性的是，柏拉图与其老师苏格拉底的一些尖锐对比也被揭示出来。

如我们所知，苏格拉底的主要兴趣是伦理学和政治学，而不是数学和科学。他认为自己有一种神圣的使命向每个人传播哲学。我们都津津乐道于这样的景象：苏格拉底徘徊于雅典的街头，同任何想听想说的人谈论正义和美德。任何人。他践行了活着的本质就是反思这一哲学格言。我们为思想而生。在对他的审判中，苏格拉底宣称如果他不再宣讲哲学而关心自己的事情那就违背了神的旨意（《申辩篇》（Apology），38a）：“我告诉你们，人所能做的最大的好事，就是天天谈论美德以及其他你们所听见我谈的东西，对自己和别人要进行省察，未经省察的人生是不值得过的。”

苏格拉底的典型做法是首先使对话者说出自己的一些信念，然后通过仔细的考问，试着得出这些信念的一些令人惊奇的和意想不到的结论。通常这些谈话不会以对话者的原初立场被归谬法证明为错误而告结束，而是对话者被鼓励去重新省察自己的信念并学会形成新的信念。甚至在对自己的审判中，苏格拉底也针对原告尝试这样的做法^[3]。

苏格拉底的方法其实就是清除错误信念的一种技术。如果说这种方法能产生真理，那只能是通过排除或者说试验与失误的过程。苏格拉底从未宣称任何关于正义、美德，以及诸如此类的事物的正面知识。恰恰相反。他认为自己的智慧就在于他知道自己的无知这一事实。他可能通过省察自己而得到这个否定性的结论。

另外，苏格拉底的方法不会有确定性的结果。它可以告知我们某些信念是错误或混乱的，但它不能必然指出哪一种信念是错误的或混乱的。这个方法是易错的，也是假设性的，但却是我们能有的最好的方法。

成熟时期的柏拉图，其方法论与苏格拉底的这种方式没有任何相似之处。柏拉图偶然注意到数学是“一切技术的、思想的和科学的知识都要用到的，它是大家都必须学习的最重要的东西之一”（《理想国》，523）^[4]。到柏拉图的时代，需要热切而持久地学习才能掌握数学。漫不经心地了解不会使你走得太远。因此，柏拉图意识到任何“形式的知识和智性活动”都需要热切而持久的学习。特别是哲学。

与其老师不同，柏拉图认为哲学不是适合每个人的。在《理想国》中预想的共和国中，只有少数经过精挑细选的领袖能参与哲学沉思，而且是在一段持续的训练直到其50岁后。绝大多数的公民被告诫要靠这些领袖指引方向并且只关心自己的事务。农民坚持种地，而厨师坚持烹饪。每个人只做自己最擅长的。哲学也留给专家——卫士。柏拉图甚至认为让群众参与哲学是危险的。而在未经全面训练之前就让预备役卫士从事哲学甚至更危险。柏拉图坚持认为对绝大多数公民来说，未经省察的人生是值得过的。如果柏拉图这样认为，那么经过省察的人生几乎对每个人来说都是禁止的。在这一点上，很难想象有比苏格拉底和他最著名的学生之间更尖锐的对立了。

值得注意的是，对柏拉图来说，卫士的训练有整整10年完全是数学的。他们在20—30岁之间几乎不做任何别的事情。这比今天人们对那些准备成为职业数学家的人所期待的时间还要长。柏拉图这样做的理由很清楚。为了更好地统治，卫士需要将注意力从变的世界转向在的世界。因此，对他们进行教育中的关键一步是“心灵从朦胧的黎明转到真正的大白天，上升到我们称之为真正哲学的实在”（《理想国》，521）。数学“将心灵从变化的世界引向实在”。它“自然地唤醒思想的力量……以引导我们达致实在”——至少对少数有这种上升能力的心灵如此。

柏拉图同其老师的分裂是可以理解的，如果不是值得赞赏的话。苏格拉底没有给数学值得骄傲的地位，而柏拉图视数学为通向在的世界的大门，一个希望理解任何真实事物的人必须经过的大门^[5]。数学，作为哲学研究的预备，需要一个长时间的热切的学习。这就难怪我们大多数人过着对真正的实在无知的生活，而必须依靠卫士指引美好生活的方向。

柏拉图对数学的着迷也导致他对假设性的和易错的苏格拉底方法的不满。数学通过（或应当通过）证明前行，而不是仅靠检验和归谬。随着柏拉图的成熟，苏格拉底方法逐渐被取代。在《美诺篇》中，柏拉图用几何学知识和几何学证明作为包括道德知识和形而上学在内的所有知识的典范。在那篇对话中，柏拉图就伦理和伦理学知识立论，他还明确指出其与几何学知识的相似之处。从清晰的例子出发，通过类推，进展到有更多问题的情形，这是标准的苏格拉底和柏拉图式策略。当谈到数学和数学知识时，柏拉图发现了清晰而直接的事情，而他力图将这些发现扩展到所有知识。在对话中，没有人对数学与伦理学和形而上学之间的类似提出疑问。理性主义也基于相同的类比（见第4章，第1节）。

在“准卫士”们10年的数学学习中，他们从公设和公理出发，“假设地”前进。他们必须完全接受那些“假设”，而不知道它们的最终基础是什么。如线喻中所暗示的，数学家也要使用图形和其他来自变之世界的手段。在这一阶段，未来的卫士们从变之世界前进到在之世界。这一阶段是必需的，但却不是他们学习的合适的终点。柏拉图暗示了一种更确实、更安全的哲学方法论。从30岁开始——在经10年的数学学习之后——准领袖们花费数年于“辩证法”，在这里他们遇到并把握相本身，独立于物质世界中的任何受污染的实例，他们达到非假设性的第一原理，所有知识和理智的最终基础。他们中的佼佼者将继续对善的沉思。

总之，对柏拉图来说，探索性的，但又令人兴奋而平易近人的苏格拉底方法首先让位于希腊数学证明的精致的严格性。而后者又替代为更精致的面对相的“辩证法”。