亚里士多德，令人尊敬的对手

亚里士多德关于数学的大多数论述都是针对柏拉图观点的争辩，学者们对他所作的那些零散的正面论述莫衷一是。然而，至少其对数学的一种（或多种）说明的主要方面预示了某些现代思想家的观点。亚里士多德哲学包含了经验论的种子。

如上所述，柏拉图的数学哲学与其对作为永恒不变的存在于独立的在之领域中的相所作的说明紧密相连。以类似的方式，亚里士多德的数学哲学则与其对独立的在之世界的反对紧密相连。亚里士多德接受相或共相确实存在，但他认为它们并非独立于它们作为其相的个体对象。例如，美自身（Beauty）是所有美的事物所共有的东西，而不是在这些美的事物之外的什么东西。如果有人能摧毁所有美的事物，那他就摧毁了美自身——因为那样美自身就无处藏身了。这也同样适于正义自身、美德自身、人自身，以及其他相。简单地说，对亚里士多德来说，物理世界中的事物有相，但没有供这些相存在的一个独立的世界。相存在于个体对象中。

亚里士多德有时建议，重要的问题包括数学对象的本性，而不只是它们的存在与不存在：“假如数学对象存在，它们必须像有些人所说的，存在于可感觉的对象之中，或存在于可感觉事物以外（这一点也有些人说过）；若说这两处都不存在，那么它们或者确实不存在，或者它们另有特殊意义的存在。所以我们的论题不是它们的存在，而是它们怎样存在”（《形而上学》（Metaphysics），卷M，1076a；这里以及以下所采用的是Annas 1976）^[6]的翻译。对亚里士多德的一个问题是，如果我们拒绝柏拉图的相，那还有什么理由相信数学对象的存在？它们的本性是什么（如果它们存在的话）？并且，最重要的，我们需要数学对象是为了什么？它们对何种解释有所帮助，或使什么变得清晰了？正如他自己所说的：

关于数，人们也会把注意力放到这问题上：我们有何理由相信它们的存在？对于信奉相的人，数提供了对事物的某种解释，因为每一个数都是相，而相总是别的事物存在的某种解释（姑且让我们同意他们的这一假设）。但有些人由于看到其中潜在的有关相的困难而不同意这种观点，因此对于他们来说，这不是他们认为数存在的理由，对这些人又如何呢……？当他说这类数存在，而且对其他事物还有用时，我们为什么相信他呢？相信这一点的人没有说明它是任何事物的原因……（《形而上学》，卷N，1090a）

亚里士多德对数学对象的解释源自他对相的解释。正如前引第一段所述，他认为数学对象“存在于可感觉对象中”，而不是独立于它们。然而，这种在其中究竟是什么却又莫衷一是。《物理学》（Physics）B中一段关于数学方法论有何与众不同之处的讨论提供了某些洞见：

下面要考虑的一点是，数学家如何不同于物理学家。显然，物理对象含有曲面、体积、线和点，而这些是数学的研究对象……数学家，虽然他也处理这些事物（即曲面、体积、线和点），但并不将它们处理为（作为）物理对象的极限；他也不把那些揭示出的特性看作是这些对象的特性。这就是他为什么要分离它们，因为在思想中它们是与运动可分离的，而如果它们被分离，这也不会有任何影响，更不会犯错误……几何学研究物理长度，但不是作为物理的；光学研究数学长度，但不是作为数学的。（193b—194a）

《形而上学》卷M也包含类似的观点：

存在关于可感觉量的命题和证明，这是可能的，但这并不是着意于其可感觉性，而是着意于其作为一特定的种类……［在］运动事物的情形中，有很多关于它们的命题和知识，但却不是把它们看作运动，而是看作物体，或进而只看作平面，只看作长度，看作可分或不可分而且具有位置……不必有任何进一步的认证就说数学对象存在，并且如其所被言说的那样存在，这也是对的……数学知识不是关于可感觉事物的只是因为它们的对象在偶性上是可感知的，……但它们也不是关于除此之外的什么独立对象的……故如果把事物与其偶性相分离，并如此加以研究，这样做并不会比下面那样的人更为错误：他在地上画一只脚，然后说它有一脚长，但其实并没有一脚长……人作为一个人是不可分的，而算术家假设人是不可分的并研究作为不可分的人的那些偶性；而另一方面，几何学不是把他作为人，也不是作为不可分的来研究，而作为一个立体……这就是为什么几何学家正确地说：他们谈论存在的事物并且它们确实存在……（1077b—1078a）

暂时只考虑几何学，这里的意思似乎是物理对象，不管怎样，字面上含有数学中所研究的曲面、体积、线和点。而几何学家却不把这些，例如，将曲面看作物理对象的曲面。在思想中可以将曲面、线和点同含有它们的物理对象分离。这只是意味着我们可以集中注意力于曲面、线和面而忽略它们是物理对象这一事实。这种分离是心理学的，或许是逻辑的。它涉及的是我们如何思考物理对象。对亚里士多德来说，柏拉图的错误在于仅仅因为数学家能够忽略其主题的某些物理方面，就得出结论说几何学对象是形而上学地与它们的物理例示相分离的。

这里对亚里士多德的解释有多种。其中之一是把数学对象的说法当真，并且或多或少地做字面理解。照这样理解，亚里士多德假设了一种抽象能力，借助这种能力，通过对物理对象的沉思，对象被创造出来，或被获得或被把握住，我们抽象掉了它们的某些特征（例如，参见Mueller 1970和Annas 1976 的导论）。

举例来说，假设我们讨论一个铜球。如果我们有选择地忽略铜质而着眼于此对象的形状，将会得到几何学家的球。如果我们着眼于一个冰块的一个表面，就会得到一个平面，而如果着眼于这个平面的一条边，就得到一条线段。因此，几何学的对象非常类似于相。在某种意义上几何学对象就是物理对象的相。当然，它们是亚里士多德的相，而不是柏拉图的相。由抽象而来的数学对象不会先于或独立于它们由之被抽象出来的物理对象而存在。

根据这种解释，自然数通过对物理对象的聚合抽象而来。例如，我们从5只羊的一组开始，有选择地忽略掉羊之间的区别，甚至它们是羊这个事实。我们只是着眼于它们是不同对象这一事实，从而得到数5，它是种类的相，也是这一组的相。所以，数，作为亚里士多德的相，存在于为其所数的那组对象中。

注意，根据这种解读，算数和几何学具有名副其实的真理性——当然这里需要一种可以接受的对于抽象性的解释。几何学是关于几何对象的，它们具有在几何学论述中赋予它们的性质。算术是关于自然数的^[7]。这是一种令人愉快的真值实在论和本体论实在论，且与这样的说法相一致：“几何学家正确地说：他们谈论存在的事物并且它们确实存在……”（《形而上学》，卷M，1078a）

有些阐释者认为亚里士多德基于其从事物的抽象程度来区分“科学”。因此，物理学着意于运动中的事物，从此类事物中抽象出来。数学着意于类似（几何或数字的）量的事物，从运动中抽象而来。形而上学着意于是其所是，从所有事物抽象而来。

这种抽象在整个哲学史上受到了严厉的批评。如果允许我跳到差不多2 000年后，对抽象的最尖锐最全面的抨击是由逻辑学家哥特洛布·弗雷格（针对一些他的同时代人）发起的。弗雷格（1971：125）讨论了这个所谓的过程，我们取一组“计数块”，对它们的差异进行抽象，以至于这些“块”变成“相同”的，很像柏拉图的理想单位。假设我们达到了它们的数，如同现在对亚里士多德的解读那样。弗雷格回应到，如果通过抽象，“计数块成为等同的，那我们现在就只剩下一个计数块；计数将不会超过‘一’。那些不能在其要数的对象中做出区分的人，也不能计数它们”。这就是说，如果我们成功抽象掉这些块之间的差异，则我们就不能区分它们，而这是计数它们所必需的。

如果抽象导致所有差异的消失，那将使计数不可能。另一方面，如果“相等”这个词指的不是等同，则相同的对象就因此在某些性质上相异而在另一些性质上相同。但如果知道了这些，我们就没必要先对其差异进行抽象……抽象是无差别的、不可见的；它不是一种领悟和澄清的力量，而是一种蒙昧和混淆的力量。

弗雷格（1980a：84—5）的立论与上述相似，但更尽挖苦之能事：

疏忽是一种很强的腐蚀剂，绝不能以过高的浓度使用它，以防止所有的事物都被融解；但同样也不能过于稀释，以便让它对事物能引起足够的变化。因此得到正确的浓度是一个问题。这是很难操作的，我从没有取得任何程度的成功……［抽象］特别有效。我们减少对一个性质的注意，它就消失了。通过使性质一个接一个地消失，我们得到越来越多的抽象概念……假设有一只黑猫和一只白猫分两边坐在我们面前。我们停止注意其颜色，它们就变成无色的了，但仍然将它们分两边坐在那里。我们停止注意其姿势，而它们就不再是坐着的（虽然也没假设它们有其他姿势），但依然在各自的位置上。我们停止注意其位置，它们就不再有位置，但依然保持差异。以这种方式，我们或许从它们每一只都得到一个普遍的猫的概念。持续应用这一过程，我们从每个对象得到越来越苍白的幻像。最后我就这样从每个对象得到完全没有内容的某物；但从一个对象得到的这一某物不同于从另一对象得到的某物——虽然很难看出其间有何不同。

也可参见Frege 1884：第13节和第34节。通过对贝克莱的解释，抽象条目似乎是从对象分离出来的幽灵。

对亚里士多德数学评论的第二种阐释是反对本体论的抽象，并且拒绝本体论实在论。无论借助什么过程，我们都没有得到几何学或算术对象。严格地说，这类对象本就不存在。需要技巧的地方在于保持真值实在论，因而保持数学的客观性。李尔（Jonathon Lear）（1982）将亚里士多德的几何学家阐释为研究（某些）日常物理对象的特殊方面，这或许与弗雷格提出的方向一致。再考虑一个铜球。几何学家并不是抽象掉铜以达到一个几何学的球体。她只是忽略掉铜而只考虑使这个物体作为球形而具有的那些性质。无论她得出什么结论，也将同样适用于一个木质的球。

正如上面一段所昭示的，几何学家的典型做法是假设存在一个几何学对象，有且只有我们归之于球体的那些性质。这就是假设了特殊几何学对象的存在，而与亚里士多德对此的阐释相反。然而，亚里士多德注意到假定几何学对象存在并无害处，因为真实的物理球体有我们归之于那个假设球体的所有性质。严格而确切地说，几何学家只谈论物理对象（虽然不是“作为物理的”）。然而，假定几何学球体是独立的并无危害。换句话说，几何学对象是有用的虚构。设想一个几何学家说，“令A是等腰三角形”，那他就只把A作为等腰三角形的那些性质归之于A。数学家有时说A是一个“任意的”等腰三角形，但他的意思不过是A可能是任何这样的三角形。与当前的解释相类似，说A是一个具有所有等腰三角形共有性质的特殊对象是一个无害的虚构。

对算术的类似解释来自将一个聚合中的给定对象视为“不可分的”或“单位”。例如在5只羊的聚合中，我们把每只羊看作是不可分的。当然，屠夫知道每只羊都是可分的，因此数学家的假设是错的。这里的设想是数学家忽略了这个聚合中所有来自单只羊的可分性的性质。我们假设每只羊都不可分，因而把它们视为不可分。

亚里士多德关于数总是某物的数这一看法与柏拉图一致，但对亚里士多德来说，数是日常对象的聚合的数。亚里士多德的数是柏拉图的物理数。如几何学那样，在算术研究中引入数作为有用的虚构是无害的。

在两种对亚里士多德的数学哲学的阐释中，数学对物理世界的可应用性都是直接可得的。数学家研究真实物理世界的真实性质。不需要在数学领域和物理领域假设一个连接，因为我们本来就不是在处理两个相分离的领域。这是经验主义——至少是它的某种形式——的一粒种子。

与柏拉图不同，对亚里士多德的两种阐释都表明，几何学中典型的动态语言是有意义的。因为几何学处理物理对象或它直接来自物理对象的抽象，谈论“化方、作图和延长以及诸如此类”是很自然的。我们当然对物理对象“化方、作图并延长”，而这种说法可以逐字逐句地转到几何学上。考虑欧几里得的两点之间可画一条直线的原理。对柏拉图来说，这是一个伪装的关于直线存在的命题。亚里士多德却可以字面地理解这条原则，它是一个允许人们能做什么的命题。

有一个潜在的问题牵涉真实的物理对象与几何学对象或几何学性质的不匹配。当然，这是激发柏拉图主义认为对象与相之间不匹配的一个例证。考虑铜球和冰立方的一面。这个球一定包含缺陷而立方体的这个表面也一定不是完全平的。回忆一下圆的切线与圆交于单独一点那个定理（见图3.2）。这个定理对真实的圆和真实的直线是错的。所以我们如何解释亚里士多德的断言：“数学对象存在并如其所说的那样存在”以及命题“几何学家所说是正确的”？

在抽象主义的阐释中，我们想终止于那些恰好满足对球、面和线的数学描述的对象。为了得到这，我们必须抽象掉物理样本中的所有缺陷，如立方体表面的突起。这就是说，我们不仅抽象掉铜，还要抽象掉缺陷，才能达到完美的球。如果这进一步的抽象是允许的，那人们就会迷惑于亚里士多德的观点与柏拉图的有何不同。在什么意义上这个最后的抽象图形还是物理世界的一部分？完美的相如何存在于不完美的物理对象中？我们似乎又从后门进入了柏拉图的在的世界，或至少我们遭遇了在的世界的主要问题。沉思的劳作切断了我们上面发现的数学与物理世界的紧密联系。

在第二种（虚构主义的）阐释中，几何学家研究由物理对象的性质组成的某个受限集合的推论。为了解决不匹配的问题，亚里士多德或许认为存在没有缺陷的物理对象。换句话说，存在物理的真实的完美球，有着绝对平滑表面和完美直线边的立方体、完美的三角形，等等。亚里士多德确实认为天体是（完美的）球体而它们的轨道是球面的。然而，对丰富的几何学来说，天空没有给出足够的对象，而这种意见也没有说明此处几何学对地面领域的应用。对亚里士多德来说，也许只要坚持下面一点已经足够了，即完美的球、线、平面以及诸如此类的对象的存在是可能的——即使没有（或很少）实际的对象供数学家研究。很多几何学证明都是通过构造进行的。读者被要求生成某一直线或圆。在第二种阐释下，亚里士多德必须让这种构造是可能的——在物理世界中只用物理工具。类似地，在算术中如果我们发现对任何物理对象的可能集合，总可能存在一个比其多一个对象的集合，那后继原则就是肯定的。这种向模态的发展会带来针对柏拉图主义的认识论问题。亚里士多德可能会指出几何学能够应用于物理世界，是就对象近似于数学研究中描述的完美对象而言的，这种回答对柏拉图同样适用。

人们也许把几何学（和算术）的完美对象设想为物理空间的一部分，但是，如上所述，这将切断与可观察对象的联系。理想的圆和线不会“在”我们看见的对象中。

显然，亚里士多德与经验主义同样认为数学的研究对象和物理世界具有紧密联系。但这种观点在那些与物质的宇宙没有如此直接联系的数学分支上却完全失败了。亚里士多德认为有理数不是数，而是与自然数的比值相关。或许有理分析甚至实分析可能形成于亚里士多德式的对几何学的理解。照欧几里得的观点，人们或者可以发展一套有关线段比值的理论，或者通过线段，将任意线段看作单位（与亚里士多德关于算术单位的理论一致）来重新把握实数。然而，至少初看起来，这是此类观点能够达到的极致。但一个亚里士多德主义者如何理解复分析，或泛函分析，或点集拓扑，或公理集合论呢？当然，就此缺陷苛求于亚里士多德是不公平的，然而这却是任何现代的亚里士多德主义者应该面对的问题。