卡尔纳普和逻辑实证主义

我们现在来考虑一个活跃在20世纪早期到中叶的经验主义的学派。逻辑实证主义兴起的背景是自然科学取得的惊人成功和数理逻辑的成熟。正如之前所表明的，数学对经验主义来说是一个困难的例证。在前面的章节中我们考虑了密尔的观点，他认为数学的真是同通过对经验的概括而经验地被认知的。相应地，数学是综合的和后天的。与之相反，逻辑实证主义者对逻辑主义者的论点有所好感，即数学的真是分析的因而是先天的。正如我们已经看到的，这些概念对不同的作者意味着不同的东西。我们会遇到分析性这个概念进一步的进化。

正如在本章的开头所提到的，科法（1991）认为，19世纪哲学的主要的努力是不通过康德的直观来解释（至少表面上的）数学和逻辑的必然性和先天本质。科法认为在反康德阵线上最富有成果的是他所谓的“语义学传统”，该传统经波尔查诺，早期的维特根斯坦、弗雷格和希尔伯特的工作，至石里克与卡尔纳普的维也纳学派达到高潮。这些哲学家开发并完善了许多在数理逻辑和一般西方哲学领域中至今仍在使用的工具和概念。其中最主要的洞见是把必然性和先天知识的来源定位于语言的使用中。必然的真是由定义而真；先天知识是语言使用的知识。达米特把这条道路称作哲学的语言学转向^[13]。

在现在的背景下，论题是，一旦我们理解了像“自然数”、“后继函数”、“加”以及“乘”这样的词项，我们将由此获得资源去认识到诸如归纳原理等基础算术原理是真的。这至少是符合逻辑主义的精神的，即使在严格的意义上，数学真理最终之为真并不仅仅建立在逻辑的基础上。至于前面所讨论的两位主要的逻辑主义者，弗雷格认为数必然地独立于数学家而存在，而罗素认为数不存在（至少在他的无类理论时期）。人们可能想这已经穷尽了所有选项，但作为一个经验主义者，卡尔纳普发现整个关于数的存在的形而上学问题都是自寻烦恼。这个问题怎么能通过观察来判定？卡尔纳普拒斥了关于数学对象存在性的这个争论本身的意义。

在一个层面上，这个本体论的问题有一个平凡、肯定的答案。“存在数”是“存在大于10的质数”的逻辑后承。如果我们接受后者（这是当然的），那么，只要我们严肃地看待数学和科学，我们就必须承认前者：两千年来争斗的一个简单的结局。弗雷格和柏拉图获胜；罗素、密尔，可能还有亚里士多德失败。

当然，本体论上的反实在论者不会因这个简单的逻辑推论而消失，而且许多本体论上的实在论者也认为这个问题没那么简单^[14]。那么传统的争论是关于什么的呢？卡尔纳普（1950：第2节）指出，各派“可能试图解释他们所说的数的本体论地位的问题（即数是否有一个确定的形而上学的特性，即实在性（reality）……或者‘独立实体（entity）’地位的持存（subsistence））是什么意思”。卡尔纳普指责“这些哲学家到目前为止都没有在普通科学语言术语中表述他们的问题。因此，我们的判断必须是他们尚未成功地赋予［本体论］问题……任何认知（cognitive）内容。我们可以正当地怀疑他们的问题是伪问题，除非且直到他们提供一个清晰的认知的释义……”我们在这里看到了一个自然主义倾向，而这在经验主义者中是常见的（见第1章，第3节及第4章，第3节）。这里的想法是科学具有最好的，甚至可能是唯一的通向真的路线（line on truth），因而任何有意义的问题必须以科学的术语提出。这些本体论问题不是“理论的（theoretical）”或科学的，因而是无意义的。

那个平凡的、正面的回答，即从存在比10大的质数的证明得出数的存在，又算什么呢？卡尔纳普描绘了一个区分：

是否存在性质、类、数、命题？为了更清晰地理解这些相关问题的本质，首先必须识别两种关于实体的存在或实在性的问题之间的一个基本的区分。如果有人希望用他的语言说一种新的实体，他就必须引进一套新的说话方式的系统，服从新的规则；我们将称该程序为针对问题中的新实体的语言框架的构造。而现在我们必须区分两种关于存在的问题：第一种，关于框架中的某个特定的新种类的实体之存在的问题，我们称之为内部问题；第二种，把这些实体的系统作为整体来考虑其存在或实在性的问题，称为外部问题。内部问题和其可能的回答利用新的表达式形式而被公式化。这些回答可以通过纯逻辑方法或经验的方法找到，这取决于其框架是逻辑的抑或是事实的。外部问题在需要仔细检查上是一个有问题的特征。（Carnap 1950：第2节）

一个“语言框架”是形式地描绘一段话语的一种尝试。框架应该包括一套精确的语法，以指示哪些表达式在该框架中是合法的句子，并且它还应该包括这些句子的使用规则。某些规则可能是经验的，用以指示，例如，当一个人有某种经验他就可以断言某某句子。其他的规则将是逻辑的，指示什么推理是允许的以及哪些句子是无论一个人有什么经验都可以断言的。卡尔纳普称后者为分析的真。

在别处，卡尔纳普提供了一个非常像罗素的逻辑主义的系统（见Carnap 1931），但有一个重要的不同。罗素把他的工作看作对命题、概念、类和数的本质的哲学的分析（见Goldfarb 1989），因而他坚持恶性循环原则，并因此拒绝非直谓定义。如前文所示，结果就是一套笨拙的分枝类型论和一条专门的可化归公理。另一方面，卡尔纳普则把他的系统视为一个语言框架——许多框架中的一个。在开发一个框架的过程中，人们可以自由地约定（stipulate）系统的规则，唯一的要求是那些规则是清晰明确的。因此，卡尔纳普更喜欢拉姆塞的避免了可化归公理的非直谓的简单类型论（参见注释[11]）。

卡尔纳普（1950）简单绘制了一个称为“数的系统”的语言框架。它的语法包括数字、变元、“存在一个数x满足……”这样的量词和算术运算的符号。卡尔纳普指出这个框架包含算术所需的“惯常的演绎规则”。这个框架似乎是一个形式的演绎系统，就像数理逻辑中的那些一样。

定义数框架为像卡尔纳普早期的逻辑主义系统或之后的“数的系统”那样的系统。对于任何这样的系统，首先有“内部问题，例如，‘是否存在比100大的质数？’……其回答不是通过基于观察的经验调查而得到，而是通过基于那些新的表达规则的逻辑分析。因此，该回答在这里是分析的，即逻辑地真的”（Carnap 1950：第2节）。大于100的质数的存在是给定数框架中那些规则和定义的一个简单、直接的推论。数的存在是那些规则和定义的全然平凡的推论。它由对于1是数的规定推得。“因此，没有人在把‘是否存在数？’作为内部问题时会断言或严肃地考虑一个否定的回答。”

再一次，卡尔纳普认为关于数的实在性的外部问题是无意义的。最接近合法的问题是采纳一个给定的数框架的可行性，但这是一个实用主义的事情，并不需要一个绝对的“是”或“非”的回答。我们——理智的/科学的社区的成员——可以根据一个框架对我们目的的促进作用来自由地选择采纳或不采纳这一框架。科学事业的总的目的是去描述和预测经验，从而去控制物理世界。数学似乎是这个科学事业的一部分。这里实用主义的问题是卡尔纳普的数框架相比其他框架（例如，罗素的分枝类型论）是更好还是更差地服务于科学的目的。

卡尔纳普采取了一种宽容原则并为之辩护，也就是让千朵花试着开放，即使并非所有花都能开放出来：

接受或拒绝……任何科学分支中的语言形式将最终由它们作为工具的效率，即所达到的成果与所需付出的努力的量和复杂度之间的比值来决定……让我们允许那些工作在特定研究领域的人们自由地使用任何看起来对他们有用的表达形式；那个领域中的工作迟早将导致那些缺乏有用的功能的形式消失。让我们谨慎地做出断言，批判地检验它们，但宽容地容忍不同的语言形式。（Carnap 1950：第5节）

在前文第一章§2中，我们看到哥德尔基于本体论的实在论为非直谓定义做了辩护。拉姆塞也是这样（参见注释[11]）。从那个角度，非直谓定义是对一个存在的实体的描述，其中涉及另一个存在的实体。但这就需要对关于数的存在的最初的外部问题有一个肯定的回答，因而要通过形而上学的方法。按照哥德尔和拉姆塞，非直谓定义是可接受的是因为数和类有一个独立的存在。相比而言，卡尔纳普是在实用主义的基础上为非直谓定义作辩护的。他的数框架对于手边的科学目的远比分枝类型论来得方便，不需要更多的合理性证明，甚至一致性也不需要。深究到性质、概念或数的形而上学地位中去只会制造伪问题。

不同于密尔，卡尔纳普和其他逻辑实证主义者认为数学的真并不由经验决定。数学的真是先天的，总是成立的，无论我们可能有什么经验。然而，作为经验主义者，他们认为每个事实性的问题（factual matter）必定最终由经验决定。所以逻辑实证主义者得出的结论是数学的真没有事实性的内容（factual content）。对卡尔纳普来说，关于自然数的真可以称为“框架原理”，因为它们是从一个数框架的使用规则中显示出来的。

该学派后来的一位成员艾耶尔（1946：第4章）说得更清楚：

一个科学概括（generalization）容易被认为是可错的，与此相反，数学和逻辑的真对每个人来说似乎是必然的和确定的。但如果经验主义是正确的，那么任何具有事实性内容的命题都不可能是必然的或确定的。于是，经验主义者必须用下述两种方式之一来处理数学和逻辑的真：或者，他必须说它们不是必然的真……或者，他必须说它们没有事实性内容，然后他必须解释一个事实性内容为空的命题如何会是真的，是有用的，是令人惊奇的。

艾耶尔写道（与密尔相反）数学的真是必然的，但是他补充道，它们没有就这个世界是怎样的说任何东西。我们“不可能放弃［逻辑和数学的真］而不自我矛盾，而不违反支配语言的使用的规则”。对卡尔纳普来说，那些“支配语言的使用的规则”存在于不同的语言框架中。

因此，逻辑实证主义者排除了先天可知的综合命题的可能性。正如艾耶尔提出的，一个命题是综合的，或具有事实性内容，仅当它的真或假“取决于经验的事实”。一个命题是分析的，“即它的有效性仅取决于它所含的符号的定义”。他补充道，尽管分析命题“没有给我们任何关于经验的情况的信息，但它们确实通过说明我们运用特定符号的方式启发了我们”。

逻辑实证主义者把几何学也放进来一并考虑。几何学（例如，欧几里得几何）的公理“仅仅”是对“点”和“线”这样的初始词项的“定义”。艾耶尔写道：“如果某个看似欧几里得三角的东西被发现通过测量其所有角之和不是180度，我们不说我们遇到了一个使数学命题欧几里得三角形三个内角之和为180度无效的例证。我们说我们测量错了，或者更可能的是，我们测量的那个三角形不是欧几里得的。”欧几里得几何被构造为一个纯数学理论，它是一个卡尔纳普式的语言框架。那个之前指出的关于三角形三个内角之和的定理是一个框架原理，因而是分析的，先天可知的，它由其定义而真。另外有实用主义的或科学的议题来考虑在物理学中采用这一框架而不采用某个非欧几何的适当性问题。后者不是一个数学问题。

除卡尔纳普和艾耶尔之外，主要的逻辑实证主义者包括其他的所谓“维也纳学派”的成员，例如，石里克、伯格曼（Gustav Bergmann）、费格尔（Herbert Feigl）、诺拉特以及韦斯曼（Friedrich Waismann）。除维也纳之外，还有莫里斯（C.W. Morris）和内格尔（Evnest Nagel）。这个运动直到20世纪60年代才有很好的发展，如果说之前没有的话，但是在数学上的立场并不是人们拒绝逻辑实证主义的主要原因。逻辑实证主义与传统的（激进的）经验主义在描述知识的基础方面具有同样的问题。我们能否把观察从理论中区分出来，我们能否清楚地把数学从其他科学理论中区分出来？数理逻辑的成功引导实证主义者去尝试一种证实的逻辑（a logic of confirmation），能够把经验观察与科学和数学理论联系起来。目前还没有一种有说服力的证实逻辑出现。这些失败导致难以形式化［实证主义的］中心论题，即每个事实性的（非分析的）陈述都是可证实的（verifiable）。到底什么是可证实的？可证实论题被证明是站不住脚的，即使用弱之又弱的证实概念。

一些批评者指出逻辑实证主义本身的陈述破坏了其观点的基础。例如，考虑命题：每个有意义的陈述或者是分析的或者是通过经验（在某种意义上）可证实的。显然，这个命题不是分析的（在其真由其所含词语的意思决定的意义上）。同样，该命题也不像是（在任何意义上）要由经验来证实的题目。因此，逻辑实证主义似乎给自己打上了被其禁止的形而上学教条的烙印。许多卡尔纳普自己用来概述其方案的哲学陈述看起来并不是在一个给定的语言框架中的。确实，他的陈述是关于语言框架的，因而对任何给定的框架都是“外部的”。这是否把卡尔纳普自己的工作变成了无意义的“伪问题”？

一个对逻辑实证主义有影响力的攻击来自卡尔纳普最有影响力的学生，蒯因。他认为不存在分析陈述和综合陈述之间的区分，或者至少没有为逻辑实证主义计划服务的那种区分。按照蒯因的说法，在决定有意义的陈述的真与假上，语言的角色和世界的角色并没有明确的区分。蒯因提出一套关于科学语言的全盘的方案，其中观察、理论和数学陈述无法解开彼此联系。他分享经验主义者的基本观点，认为观察是所有知识的基础，因而蒯因也分享了对许多传统形而上学的基本的怀疑。他发展了一种自然主义和一种在某些重要方面近似密尔的经验主义。数学的真是以与科学的真和观察报告的真同样的方式而为真的。这些真不是必然的，也不是先天地被认识的。我们将在第8章§2回到蒯因。

要由数学词项的意义裁决数学命题的真假这一论题就必须进一步讨论什么是“意义”。然而，请注意，这个论题的一个主要的承诺是解释数学是怎样被认识的。根据逻辑实证主义者，正确使用数学语言的知识对于数学命题的知识（例如，归纳公理、质数定理，甚至费马大定理）是充分的。对卡尔纳普来说，一旦我们学会一个给定语言框架的规则（例如，数框架或欧几里得几何），我们就有了所有认识那些必要的数学命题所需的东西。这就是说，在认识论上，数学命题可以被精确划分为一些自足的群。每个命题P都连接着它的框架P。P的规则的知识正是关于所有的P的真假的知识。

数学中的发展，包括数理逻辑的一些成果向这个被寄予希望的认识论论题提出了质疑。哥德尔不完全性定理是，如果D是能行可演绎的系统并且包含一定的算术，那么存在D的语言中的一些句子不能被D的规则判定（参见，例如Boolos and Jeffrey 1989：第15章）。许多这类句子的真值通过把自然数嵌入一个更丰富的结构，如实数或集合论谱系而被判定。这就是说，算术语言中的某些陈述单单在一个自然数框架规则的基础上是不可知的。这种情况在数学中是典型的。例如，假设一个数学家对某个关于特定结构S的数学陈述s感兴趣。按照卡尔纳普，如果s（在S中）是真的，那么s是分析的并且它的真是由于结构S的语言框架。然而，这位数学家通常会用到比S丰富得多的结构来证明或否证s。这就是说，这位数学家为了确定S的性质考虑了比S丰富的结构。没有数学理论能丰富到像卡尔纳普的（数学的）语言框架被假想的那样成为自足的^[15]。

最近对费马大定理的证明就是这样一个例子。对那些词项有基本理解的任何人都可以理解如下陈述：对任意自然数

a＞0，b＞0，c＞0，n＞2，an＋bn≠cn。

然而，这个证明从几乎所有老练的数学家手中溜走了，因为它涉及的概念和结构远远超出了自然数。至少在这个事例中，一个人可以理解诸如“自然数”、“后继函数”、“加”、“乘”和“乘方”等词项的意义，但仍然不具备认识到费马大定理为真的必要手段。有可能存在该定理的一个“自足的”证明——即，一个不超出自然数的性质的证明。可能费马自己就发现了这样的证明，但当代的数学家并不是通过那种途径学会这个定理的（也不知道那种途径）。尽管如此，这个定理显然是关于自然数的。

逻辑实证主义者的一个可能的让步是，例如在算术中，只有一些真是分析的，或者说由算术术语的意义决定的。可能人们可以保留认为算术真理的基本核心是分析的。那其他的非核心命题又怎样呢？那些是综合的吗？如果是这样，它们是以某种方式在观察中被证实的吗？

逻辑实证主义者的另一个选择是，保留这样的论题：数学陈述是由于它们的意义为真，而承认人们可以拥有必要的知识来理解一个给定的真命题却不具备认识到它为真的智慧。这里的想法是，当我们把自然数嵌入到一个更丰富的结构中，我们由此对哪些可以从原来数学词项的意义中得出了解得更多。因此，逻辑实证主义者就需要一个丰富的并且开放的逻辑后承概念，他在宣布一个对数学知识的理解之前必须先阐明这个后承概念。在这一后承概念得到支持和评估之前，不清楚人们可以在数学的认识论领域能取得多少进展。