希尔伯特的《几何基础》

弗雷格对游戏形式主义的一个批评使人想到该观点温和版的一个变种。假设某人——数学家、物理学家、天文学家——设法解释了例如说算术的一些基本公理，使得它们成为真的，这并不足以确保算术的一个应用，因为这个解释本身不能保证在同一解释下那些定理是真的。我们怎么知道算术游戏的规则引导我们从真到真？弗雷格（1903：第91节）写道：

在有内容的算术中，等式和不等式是表达思想的句子，然而在形式算术中，它们相当于棋子的地位，根据规则而不考虑任何意义的变化。因为，如果它们被看作是具有意义的，那些规则就不能是任意约定的；它们必须被选定为从表达真命题的公式只能导出也表达真命题的公式。那样，形式算术的立场（坚持认为操作记号的规则是任意约定的）就已经被抛弃了。

在当代语境下，为了使像算术这样一个分支的应用成功，就要求游戏的规则不能是任意的，而必须构建逻辑的推论。无论该语言被怎样解释，如果那些公理是真的，那么那些定理在同样的解释下也应该是真的。

严格演绎系统的出现——在很大程度上归功于弗雷格——促成了一种诱人的哲学，它与游戏形式主义有一些共同点，但避免了上述隐患。一名演绎主义者接受弗雷格的观点，认为推理的规则必须保证为真，但她坚持各种数学理论的公理应该被当作似乎是任意约定的来处理。这种想法是，数学实践由判定未经解释的公理的逻辑推论构成。数学家可以自由地把数学的公理（和定理）当成无意义的，或者随意给它们一个解释。

严格地表述这一观点，我们应该区分逻辑词项（如“并且”、“如果……那么”、“存在”以及“所有”）和非逻辑的（或者特别地，数学的）词项，例如“数”、“点”、“集合”以及“线”。逻辑词项按照其一般意义理解，而非逻辑词项则不予解释，或者被当作似乎是没有解释的来处理^[4]。令Φ是算术的一条定理。按照演绎主义，Φ的“内容”就是Φ从算术公理推得。演绎主义有时候被称作“如果那么主义”（if then ism）。

如弗雷格所说，游戏形式主义与演绎主义的共同之处来自能够“像微积分那样运算”的逻辑系统的开发。演绎主义与逻辑是话题中立的（topic neutral）这一口号相符合。从现代模型论的观点来看，如果一个从前提集合Γ到结论Φ的推理是有效的，那么在任何使所有Γ前提为真的解释下Φ也为真。演绎主义背后的想法是略过解释而专注于推理。

就像游戏形式主义者，我们的演绎主义者对哲学问题给出了干净的回答。数学是关于什么的？什么都不是或者可以被当作是什么都不关于的。什么是数学知识？它是从什么推出什么的知识。数学知识就是逻辑的知识^[5]。怎样应用一个数学分支？是通过发现使它的公理为真的解释。

演绎主义是一种与19世纪及20世纪早期数学基础发展，特别是与几何学发展非常匹配的哲学。那些关键事件包括解析几何的出现和成功，以及作为回应的射影几何；纳入理想和想象元素的尝试，例如无穷远的点；n维几何的发展；把非欧几何吸收进主流数学与欧氏几何并列而不是取而代之。这些话题侵蚀了康德论题的基础，即认为数学与时空直观紧密联系（参见第4章，第2节）。数学社区中呈现出对严格性、对各个数学分支的公理化，以及最终对把演绎理解为独立于内容的持续增长的兴趣。从这些数学和逻辑学上的发展到这种哲学论题（即认为公理的“解释”无关紧要）可能只是小且自然的一步。物理学家可能关心真实的时空是不是欧几里得的或四维的，但数学家可以自由地探索所有种类几何的后承。

帕什（Moritg Pasch）发展了认为逻辑推理应该是话题中立的观点。帕什写道，在进行推理的时候，几何学应该以形式化的方式出现，而无需依赖直观或者观察：

如果几何学是真正演绎的，那么推理的过程必须在其所有部分都独立于几何概念的意义，就像它必须独立于图示；只有那些命题和定义中明确表示的关系可以合法地被纳入考量。在演绎中，考虑那些词项的意义是有用且合法的，但绝非必需的；事实上，如果这样做是必需的，那么该证明的不充分就是显然的。（Pasch 1926：91）

内格尔（1939：第70节）写道，帕什的工作为几何学设立了标准：“此后，再没有什么工作能吸引该科目的学者，如果该工作不是始于对未定义的或初始词项和未证明的或初始的陈述的详细列举；而且不满足如下条件，即所有其他词项以及所有其他陈述都只在这一初始的基础上被定义和被证明。”

希尔伯特于19世纪和20世纪之交在几何学上的工作是这些基础发展的突出代表。在他的《几何基础》（Grundlagen der Geometrie，1899）中被执行的方案标志了几何学中直观作为不可缺少的角色的终结。尽管空间直观或者观察仍然是欧几里得几何公理的来源，但在希尔伯特的书中，直观和观察的角色被明确地限定为动机并且是启发式的。一旦那些公理被形式化，直观和观察就被排除。因为它们并不是数学的一部分。

这个方向的一种结果就是，任何东西都可以扮演点、线、面等未定义的初始词项的角色，只要公理被满足。据布鲁门塔尔（Otto Blumenthal）的报告，1891年在柏林火车站的一场讨论中，希尔伯特说，在一个真正的几何学的公理化中“你总能用‘桌子、椅子和啤酒杯’来代替‘点、直线和平面’”（参见Hilbert 1935：388—429；第403页与这个故事有关）。

希尔伯特（1899）将其观点总结如下：“我们把点、直线和平面想象成具有特定的相互关系，即我们用词语如‘位于’、‘之间’、‘平行’、‘全等’、‘连续’等所指的关系。这些关系的完全的精确的描述作为推论来自几何学公理。”的确，希尔伯特也说，这些公理表达了“某些我们直觉的相关基础事实”，但是在本书接下来的进展中，所有直观内容的遗留只是如“点”、“线”等单词的使用（以及伴随一些定理的图示）。希尔伯特的门徒贝奈斯（1967：497）总结了希尔伯特（1899）的目标：

希尔伯特的几何学公理化的一个主要的特征是公理方法在抽象的数学观的精神下被呈现和实践，这种数学观产生于19世纪末并且在现代数学中被广泛采纳。它在于对词项直观意义的抽象……以及以假言的意义理解公理化理论的论断（定理），即对任意满足公理的解释为真。因此，一套公理系统不是被看作一套关于研究主题的陈述的系统，而是一套关于可能被称作关系结构（relational structure）的东西的条件的系统……在这种公理系统观下……在公理基础之上的逻辑推理不仅仅是被用来作为在学习空间图形中一种帮助直观的方法；而且逻辑依赖关系本身成为被思考的对象，并且这种观念坚持要求在推理中我们应该只依靠那些或者明确假设的或者从假设和公理逻辑地推出的图形的性质。

希尔伯特著名的“数学问题”的第二道（Hilbert 1900）把演绎主义的方法推广至数学的每一个角落^[6]：“当我们投入到一门科学的基础的研究中时，我们必须建立一套公理系统，它包含对存在于那门科学的基本概念中的关系的精确且完全的描述。这套公理同时也建立那些基本概念的定义……”

这一背景下（包括逻辑主义）的一个重要的进展是形式语言和演绎系统被公式化得足够清楚和严格，以至于它们自己可以被作为数学对象来研究。这就是说，数学家可以证明关于形式系统的东西。这种努力被称为元数学。对元数学的兴趣来自非欧几何的发展，是对证明平行公设的失败的一个回应。事实上（而这是事后诸葛亮），非欧几何的这些公理通过描述一种使它们为真的结构而被证明是一致的。

使用解析几何中的方法，希尔伯特（在《几何基础》（1899）中）利用实数构造了一个所有这些公理的模型，因而证明了这些公理是“相容的”（compatible），或者说一致的。按照当代的说法，他证明了这些公理是可满足的。如果空间直观扮演的角色超出了启发式的，那么这个证明将是不必要的。直观本身就能为我们确保所有这些公理（对于真实空间）是真的，因而它们都是彼此兼容的。在这种背景下，康德时期的几何学家将无法理解“兼容性”或可满足性的证明。正如我们会看到的，弗雷格也止步于此。

然后，希尔伯特给出了一系列模型，在其中，他的一条公理为假，但其他的公理成立，由此证明了每条公理相对其他公理独立。每个模型的不同的“点”、“线”等的域是数的集合、数的有序对的集合或者数的集合的集合，并不真的就是桌子、椅子和啤酒杯，但想法是一样的。

假设，这种元数学自身不是从被认为是无意义的公理的定理推导。元数学的目标是阐明一种名为形式语言和公理化的研究对象。这样，元数学似乎是演绎主义（和游戏形式主义）主题（主张数学不需要研究对象）的一个例外。

对演绎主义者来说，一种选择是主张元数学不是数学，但这近乎是一种矛盾修饰法（oxymoron）。元数学与数学的其他任何分支有相同的表现和方法。非常明确的是，元数学可以被（随后也确实被）公式化。为保持一致，我们的演绎主义者应该提议元数学中的“数学”只是从该元数学公理得出的推论的推导，而这些公理被看作是无意义的。元数学在形式语言和演绎系统上的应用与它作为一个数学分支的本质是不相干的。正如算数可以被应用于计数，元数学也可以被应用于演绎系统。元数学的角色和重要性在不同的形式主义者那里是不同的。

弗雷格与希尔伯特进行过热烈的通信，这些通信突出显示了他们在理解数学的哲学路径上的差异^[7]。弗雷格询问希尔伯特（1899）的声明。希尔伯特的这一声明说他的公理化提供了几何学［初始概念］的定义，因此同一句句子即作为公理也作为定义。弗雷格试图纠正希尔伯特对定义和公理的本性的理解。根据弗雷格，定义应该给出意义并且确定词项的所指，而公理应该表达真。在1899年12月27日的一封信中，弗雷格认为希尔伯特（1899）并没有提供例如“之间”（between）的定义，因为这里的公理化“没有给出一个特征性的标志”可以用来判定“之间”关系是否成立：

词语“点”、“线”、“之间”的意思没有被给出，而是假设预先就知道了……你称什么为一个点也是不清楚的。一个人一开始会把点想成欧氏几何意义上的，该想法由如下命题得以巩固：公理表达我们直观中的基本事实。但是，之后你把数的有序对想成点……这里，公理被要求承担定义所要承担的作用……在单词“公理”以往的意思之外……这里还出现了其他意思，而我不能理解它。

把“数的有序对想成点”的想法涉及希尔伯特的一些元数学定理。例如，希尔伯特通过构造一个笛卡儿模型（其中“点”是数的有序对）证明了他的公理化是一致的。在同一封信中，弗雷格告诉希尔伯特：一个定义应该指明一个意思尚未被给出的单词的意思，并且该定义应该使用其他意思已知的词。与定义不同，公理和定理“必须不包含其意义和意思尚未被完全确定的单词或记号，以便关于该命题的意义和它表达的想法没有任何疑问。唯一可能的问题是这个想法是否为真……因此，公理和定理永远不可能试图去确定在它们里面出现的一个记号或单词的意思，而要求它必须已经被确定了”。弗雷格的要点是一个简单的两难：如果在所提议的公理中的词项事先没有意义，那么这些陈述不能是真的（或假的），因而它们不能是公理；如果它们事先已具有意义，那么这些公理就不能是定义。

按当代的说法，希尔伯特为像“点”、“线”和“面”等词项提供的是隐（implicit）定义或功能（functional）定义。这些是通过几个项之间彼此的关系同时特征化它们。一个成功的隐定义会抓住一个结构（参见夏皮罗《数学哲学：结构与本体论》，1997：第4—5章）。弗雷格并不采纳这种观念，至少不把它作为定义。

弗雷格补充道，从那些公理的真“可以推出它们彼此不矛盾”，因而没有更多的需要去证明那些公理是一致的。这就是说，弗雷格没有理解希尔伯特的元数学的要点。那些公理的真由直观所保证，而没有理由去证明它们是一致的。

在12月29日的回信中，希尔伯特告诉弗雷格《几何基础》（1899）的目的是探索几何学原理之间的逻辑关系，去发现为什么“平行公理不是其他公理的推论”以及三角形内角之和等于两个直角这一事实是如何与平行公理相联系的。我猜想弗雷格作为数理逻辑的先驱可能会赞赏这个计划。对于弗雷格断言单词“点”、“线”和“面”的意义没有“被给出，而是假设预先就知道了”，希尔伯特回应道：

这显然是主要的误解之处所在。我并不想假设任何东西是预先知道的。我把我的说明当……作概念点、线、面的定义……如果一个人在寻找另一种“点”的定义，例如通过无广延性等的释义，那么我必然以坚定的方式明确地反对这种尝试；他是在寻找永远找不到的东西，因为那里没有任何东西；而且所有东西都迷失了，变得模糊、混乱并堕入一种捉迷藏式游戏。

这里是在暗指像欧几里得“点是没有部分的东西”那样的定义。希尔伯特声称这样的定义没什么帮助。这些“定义”在数学的发展中没有用。我们所能做的就是指明点、线和面彼此之间的关系——通过公理化。我们所能提供的就是对词项的一种隐定义。试图去做得更好就会陷入“捉迷藏”。弗雷格认为希尔伯特的“点”概念不是“唯一确定的”，希尔伯特回应了他的这一不满：

非常显然的是，每个理论只是一副概念的脚手架或图表，包括了它们彼此间的必然关系，并且那些基本元素可以被人以任何喜欢的方式设想。如果在说我的点的时候，我在想某种东西的系统，例如爱情、法律、烟囱清洁工的系统……把我所有的公理设想成这些东西之间的关系，那么我的命题，例如毕达哥拉斯定理也同样对这些东西有效……事实上，这种状况被频繁用到，例如在对偶原理中（principle of duality）……［这］……决不可能是一个理论的缺陷，并且它在任何情况下都是不可避免的。

注意这与希尔伯特在柏林火车站的名言的相似之处。

希尔伯特强烈反对弗雷格的声明，即不需要担心那些公理的一致性，因为它们是真的：“只要是我在思考、撰写或者讲授这些事情的时候，我说的正相反：如果那些任意给出的公理以及它们的所有的推论彼此不矛盾，那么它们就是真的且它们所定义的东西存在。这对我来说是真和存在的标准。”从字面上，希尔伯特声称如果一个公理集是一致的，那么它们就是真的且它们所说的东西存在。这与我们在其他领域的思考方式形成鲜明对比。对希尔伯特来说更谨慎的陈述是，一个公理集的一致性足以使它们构成数学的一个合法的分支。一致性是数学家所需要的全部“真”和“存在”。

在1900年1月6日的一封回信中，弗雷格注意到希尔伯特希望“把几何学从空间直观分离出来并且把它变成一种像算术那样的纯粹的逻辑科学”，而且弗雷格能够重新抓住希尔伯特的看法，只是在他自己的框架中。然而，两个伟大的心灵仍然离得很远。弗雷格说，建立一致性的唯一的方法是给出一个模型：“去指出一个具有所有那些性质的对象，去给出一个所有那些要求都被满足的情况。”正如我们在下一节中将看到的，希尔伯特后来的计划试图给出另一种方式来建立一致性。

弗雷格批评道，希尔伯特的“定义系统就像有数个未知项的等式系统”。我想，希尔伯特会接受这个比喻。举个手边的例子，3个“未知项”是“点”、“线”和“面”。我们只知道它们之间的关系。弗雷格写道：“有了你的定义，我并不知道怎么去判定我的怀表是否是一个点。”希尔伯特当然会同意，但他会补充，试图解决关于怀表的这个问题就是去玩捉迷藏游戏。弗雷格这里的议题使人回想到在他自己的逻辑主义中提出的所谓“凯撒问题”（参见第5章，第1节）。对弗雷格来说，句子“我的怀表是一个点”必定有一个真值，并且我们的理论必须判定这个真值，就像算术理论必须判定等式“2＝凯撒”的真值。

希尔伯特把对弗雷格关于概念的看法——那个怀表议题所显示的——驳斥当作一个主要的创新和他的方向的力量所在。在1903年11月7日给弗雷格的信中，他写道：“在传统逻辑学结构中最重要的缺陷是假定……如果一个人可以陈述任何对象是否在一个概念之下，那么那个概念就已经在那儿了……［相反］具有决定性的是定义这个概念的公理没有矛盾。”希尔伯特显得有些恼怒，总结道：

一个概念只有通过它与其他概念的关系才能被逻辑地确定。这些关系在特定的陈述中被公式化，我称之为公理，因此得到这样的看法，即公理……是那些概念的定义。我并不是因为我没有更好的做法才发明这种观点的，而是我发现由于在逻辑推理和理论的逻辑构造中的严格性的要求，才迫使我不得不持这种观点。我相信只有以这种方式，更多数学的微妙部分……才可以得到确定地处理；否则一个人只是在圆圈里转圈。