希尔伯特计划

借用狄更斯（Dickens）的名言，19世纪与20世纪之交的数学“在其最好的时候，也是最差的时候”（the best of times, the worst of times）。实分析中有力且硕果累累的发展归功于柯西（Augustin Louis Cauchy）、波尔查诺、魏尔斯特拉斯等数学家，他们克服了无穷小的问题并把微积分放在了一个坚实的基础上。希尔伯特（1925：187）写道，实复分析是“数学中所竖立的最艺术最精美的结构”。尽管不需要无穷小或无穷大，这套新理论仍然依赖于无穷集合（collection）。按希尔伯特的话说，“数学分析是一场关于无穷的交响乐”。与此同时，在康托的集合论中存在一个令人振奋的对于无穷的解释。

尽管有这些激动人心的发展，或正是因为它们，人们有一种基础性危机的感觉。数学似乎是，并且应该是所有规律中最精确最确定的，而现在出现了对它的挑战和质疑。根据像罗素悖论（参见第5章，第1—2节）这样的二律背反，人们甚至不确定集合论是一致的。康托使用的所谓“不一致的集群”^[8]（inconsistent multitudes）无助于这种危机感，集合的聚集（collection）过于庞大以至于不能够全部收集在一个集合中。二律背反引来对一些数学方法合法性的攻击，引导数学家们给数学方法加上严格的限制，而这种限制会破坏实分析和复分析（参见第1章，第2节；第5章，第2节和第7章）。

希尔伯特对这些发展的回应包含了演绎主义、词项形式主义和游戏形式主义的方面。无论其哲学价值如何，希尔伯特计划引领了一个硕果累累并繁荣至今的元数学时代。对希尔伯特来说，这个计划有一个明确的认识论目标：“我的理论的目的是一劳永逸地建立起对数学方法的确信。”（Hilbert 1925：184）它将建立在先前公理化各个数学分支的工作以及像弗雷格这样的逻辑学家在发展严格逻辑系统中的不朽成就之上：

存在着……一条令人满意的道路去避免悖论而不用背叛我们的科学。帮助我们发现这条道路的要求和态度……是这些：（1）……我们要仔细地研究成果丰硕的定义和演绎方法。我们要看护它们，使它们强健，让它们有用。没有人能把我们赶出康托为我们创造的乐园。（2）我们必须在整个数学中为我们的演绎建立起像存在于普通初等数论中一样的确信，它是无人怀疑的并且矛盾和悖论只可能因为我们自己的粗心而发生。（Hilbert 1925：191）

这一计划背后的想法是要仔细严格地形式化数学的每个分支及其逻辑，然后去研究该形式系统以确认它们是一致的。

为了描述这一计划，我们先从它的核心开始，即有时候被称作“有穷元算术”（finitary arithmetic）的东西。最需要强调的是，有穷元算术并不被理解为一种无意义的游戏（像象棋）或是从无意义的公理到其推论的演绎。相反，有穷元算术的判断是有意义的，它们具有研究对象。

有穷元数学的公式包括等式，如“2＋3＝5”和“12553＋2477＝15030”，以及这些的简单复合，如“7＋5＝12或7＋7≠10”或甚至“210000＋1是质数”。注意，目前为止所考虑的陈述都只是涉及确定的自然数，且所有提到的性质和关系都是能行可判定的，即存在一种算法（或计算机程序）来计算是否具有这些性质和关系。

考虑下述两句句子：

（1）存在自然数P，大于100小于101!＋2且满足P是质数^[9]。

（2）存在自然数P，大于100且满足P和P＋2都是质数。

这两句都含有一个量词，“存在自然数P”，但是它们之间有一个不同。句子（1）中的量词是“限制”在小于101!＋2的（有穷多的）自然数中的。称为有界量词（bounded quantifier）。相比而言，句子（2）中的量词没有限制，因而它的“范围”覆盖所有自然数，一个无穷的集。这称作无界量词。希尔伯特把只包含有界量词的句子看作是有穷元的，而像（2）那样有无界量词的句子不是有穷元的。

就像那些简单等式的复合，只具有有界量词的句子也是能行可判定的，即存在一种算法来计算它们是否为真。由于这些界限可以是非常大的，这里涉及一些理想化，但是在有界量词之下只存在有穷的情况需要考虑，因而这样的命题代表着计算。具有无界量词的句子不具有这个性质。那里不存在对需要考虑情况的数的限制，甚至原则上的也没有这个要求。

希尔伯特引入字母来表示概括。考虑句子：

（3）a＋100＝100＋a。

（3）的实例，如“0＋100＝100＋0”和“47＋100＝100＋47”都是合法的、有穷元的陈述。句子（3）说的是，每一个这样的例证都是真的。希尔伯特把这样的概括也看作是有穷元的。因此，交换律有一个有穷元公式：

（4）a＋b＝b＋a。

一个等式的否定，如“3＋5≠8”是合法的有穷元陈述。它表示假，即3与5的和不是8。然而，我们并不清楚像（3）和（4）那样包含有概括的字母的陈述，对它们的否定是什么。希尔伯特（1925：194）说，有概括字母的句子没有有穷元的否定。他写道：“陈述句，如果a是一个数字符号，那么a＋1＝1＋a是普遍真的，从有穷元的角度看是不能否定的（incapable of negation）。如果我们考虑这一陈述不能被解释为无穷多数字等式通过‘和’连起来的合取式，而只能看作一个断言在一个数字符号被给定的情况下的事情的假言判断，我们就会看得更清楚。”因此，一个概括陈述的否定会断言，存在一个例证——一个数字符号——对此它是假的。类似地，（3）的否定应该是说，存在一个自然数P使P＋100不等于100＋P。因此，一个概括陈述的否定含有一个无界量词，因而不是有穷元的。

关于那些不含概括用的字母的有穷元句子不存在严重的认识论问题。所有这样的句子都代表例行公事的（如果够长）计算，并且判定它们的真值只是执行一个算法的事情（但请参见注释[2]）。希尔伯特并没有明确给出我们怎样合法地判断那些确实含有概括用的字母的有穷元句子，并且学者之间关于有穷元算术中的证明技术有所争论。最常见的解释是，有穷元算术对应于今天被称作“原始递归算术”的东西，但有些人把有穷元方法的范围理解得更开放^[10]。

我们接下来的项目是考虑有穷元算术的内容。它是关于什么的？显然，有穷元算术的研究对象是自然数。所以，又一次，我们问它们是什么。希尔伯特明确地反对逻辑主义的看法：“我们发现我们与哲学家们达成了统一，尤其是康德。康德教导说……数学处理一个独立于逻辑而给出的研究对象。因此，数学永远不可能单单建立在逻辑之上。结果是，弗雷格和戴德金这样做的尝试注定失败。”（Hilbert 1925：192）希尔伯特认为有穷元算术考虑的是某种意义上是所有（人类）思维——甚至逻辑演绎——的前提（precondition）的东西。利用康德的语言，希尔伯特写道，只是为了一致地思考，

有些东西必须在观念中被给出，即某种逻辑之外的具体对象，它就像被直接经验到的那样是先于所有思维而被直观到的。为了使逻辑演绎确定无疑，我们必须能够了解这些对象的每个方面，它们的性质、差别、序列和相邻（contiguity）必须被给出，这些对象本身也必须作为某种不能再归约成其他任何东西的东西而被给出……这是基本的哲学，我发现它是必然的，不仅仅是对数学，而是对所有科学的思考、理解和交流。（Hilbert 1925：192）

希尔伯特指出，有穷元算术的研究对象就是“那些具体的符号本身，其结构是直接地清晰和可识别的”。他提议，在有穷元算术中，我们把自然数等同于“数字符号”：

｜，｜｜，｜｜｜，｜｜｜｜, …

他强调，这样理解，“每个数字符号由于它们只包含一些‘｜’这个实事都是直观地可识别的”。然后，符号“2”被作为“｜｜”的缩写而引入，以此类推。所以不等式“3＞2是用来交流符号3（即｜｜｜）比符号2（即｜｜）长这一事实，或换句话说，后一个符号是前一个的真部分”。

因此，希尔伯特显示了他与我所谓的“词项形式主义”的相似之处（参见之前的第1.1小节）。与游戏形式主义中一样，这里对词语“符号”的使用会使人误解。希尔伯特所关心的是字符本身。在某种意义上，那些数字符号表示它们自己。

尽管使用了单词“具体的”，希尔伯特更希望有穷元算术中研究的字符被理解为抽象的型而非物理的例次^[11]。物理的墨水（或炭粉）块｜｜并不是物理墨块｜｜｜的真部分。这两个例次出现在不同的空间位置，因此是截然不同的墨块。还请注意，希尔伯特说，“具体的符号”是“在观念中被给出”而且“就像被直接经验到的那样是先于所有思维而被直观到的”。希尔伯特没有说具体的符号是被感知到的。这是另一个迹象，以显示“具体的符号”不是物理对象。他心中似乎有某种类似于康德的直观形式的东西（参见第4章，第2节）。

希尔伯特还认为，有穷元算术的主题对所有人类思维来说是本质的。在这里，我们同样看到类似康德的想法。这个想法是，仅仅为了思考和推理，我们就不得不使用符号并且以某种或其他种方式操纵它。有穷元算术可能不是无可挑剔的，或者说对怀疑免疫的，但它是如此确定无疑以至于它就是人类所可能的。不存在什么比有穷元算术更好的，或者说认识论上更可靠的立脚点（参见Tait 1981）。

要明确的是，有穷元算术只是数学美妙画卷中的（可能是平凡的）一小块。第一个超越有穷元算术的冒险由含有无界量词的关于自然数（或字符）的陈述组成。如上文所述，这包括含有用来概括的字母的有穷元陈述的否定。然后有了实分析、复分析、泛函分析、几何、集合论等等。希尔伯特把所有这些封为“理想数学”，以类比几何学中的在无穷处的理想点。正如理想点使几何学的许多东西简单化、一体化，理想数学也使有穷算术成为流线型且处理起来更高效。因此，理想数学被作为工具来对待。

我们……总结道，［理想数学的符号和公式］本身不意谓任何东西，没有比数字符号所意谓的更多的东西。我们仍然可能从［理想公式］推出其他公式，而我们认为那些公式是具有意义的，即，把它们解释成有穷元陈述的表达。概括这一结论，我们认为数学由两种公式组成：第一种，那些有意义的有穷元陈述的表达所对应的公式；第二种，不表示任何东西的公式，它们是我们理论的理想模型。（Hilbert 1925：196）

理想数学将被形式地处理，非常类似游戏形式主义（参见之前的第1.2小节）。理想数学每个分支的句法和推理规则将被精确地形式化，而该分支将被当作似乎是一种字符游戏来研究。正如希尔伯特（1925：197）所指出的，“因此，实质（material）演绎被一种由规则控制的形式的程序所代替”。这些“规则”就是像由弗雷格这样的逻辑学家所开发的演绎系统中的。

当然，理想数学一定对有穷元算术有用。对形式化的理想数学分支的唯一的严格要求是，人们不能用它导出一个对应于假的有穷元陈述的公式。假设T是被给出的某理想数学的一个形式化，并且令Φ为任意有穷元陈述，例如是一个简单的等式，那么，除非Φ可以在有穷元数学中被判定为真，否则我们应该不能在T中导出Φ（的对应公式）。用当代的术语来说，形式系统T应该是有穷元算术的保守扩张（conservative extension）。

比如说，形式化理论T是一致的，即利用T的公理和规则不可能导出矛盾公式，像“0＝0且0≠0”。如果每一个真的有穷元陈述对应于T的一条定理且T使用标准的演绎系统（例如弗雷格的），那么T的保守性等价于它的一致性^[12]。所以，理想数学的要求就是一致性。

因此，对一致性的强调从希尔伯特早期的演绎主义著作中一直延续下来（参见上一节）。请回忆他对弗雷格所写的：“如果那些任意给出的公理以及它们的所有的推论彼此不矛盾，那么它们就是真的且它们所定义的东西存在。这对我来说是真和存在的标准。”当然，在这里“一致性”概念被更加清晰地表述出来，一致性的哲学意义更加明确。

无论人们是否同意希尔伯特（或词项形式主义者）把自然数等同于它们的名字，在数和符号之间显然存在一种紧密的结构性联系。这种联系被之后的逻辑学家和其他数学家开发利用（参见，例如，Corcoran et al. 1974）。对希尔伯特计划至关重要的是，把自然数同字符等同起来使有穷元算术可以应用于元数学。意思是，形式系统自身现在也处于有穷元算术的范围之中。正如希尔伯特所指出的：“一个形式化的证明就像一个数字符号，也是一个具体的可见对象。我们可以完备地描述它。”并且利用有穷元数学，我们可以证明关于这种形式化证明的一些东西。

也请注意，如果T是一个形式化的公理系统，那么T是一致的这一陈述本身是有穷元的，利用概括的字母可以公式化。T是一致的这一陈述有这样的形式：

a不是T中的一个推理，其最后一行是“0≠0”。

希尔伯特计划的最后一步是给出那些完全形式化的数学理论的有穷元的一致性证明。这就是说，为了使用一个理想数学的理论，我们必须把它形式化，然后用有穷元算术证明该理论是一致的。一旦对理论T完成这一步，我们就达到了认识论的目的。我们有极大的信心，利用T不会带来矛盾，也不会产生任何错误的有穷元陈述。这是我们对理想数学理论所能要求的一切。如果T是康托集合论的形式化，那么一旦我们拥有了一个有穷元一致性证明，我们就会以极大的确定性知道我们将不会被赶出那片乐园了。

冯·诺依曼（John von Neumann）（1931）给出了一份希尔伯特计划的简要概括，涉及4个步骤：

（1）枚举所有数学和逻辑中用到的符号……

（2）明确地特征化这些符号的所有表示经典数学中被归为“有意义的”陈述的组合。这些组合被称为“公式”……

（3）提供一种构造程序，它使我们能够成功地构造所有对应于经典数学中“可证”陈述的公式。这种程序相应地被称为“证明”。

（4）证明（以一种有穷元的……方式）那些对应于经典数学的陈述的公式（这一对应可以用有穷元算术的方法来检查）可以由（3）中描述的程序证明，当且仅当对其所对应陈述的检查显示它是真的。

（1）—（3）项要求对各个数学分支的形式化。这部分已经完成了，令人瞩目，而且对这些得到的形式系统的研究现在是数理逻辑一个繁荣的分支。（4）是决定性的顶峰，它被证明是有问题的。