集合论实在论

在20世纪90年代出版了大量数学哲学的重要著作，这其中很多都是由牛津大学出版社出版的^[8]。一个卓越的贡献是麦蒂（1990）对本体和真值实在论的捍卫，这一贡献综合了哥德尔的柏拉图主义和蒯因的经验主义的某些方面，避免了两者的不足。

像蒯因（和密尔）一样，麦蒂是一个自然主义者。她论证说关于一类实体的本体论实在论是合理的，如果这些实体的客观存在性是我们对世界最好解释的一部分。麦蒂（1990）支持蒯因普特南的不可或缺论证（上一节所讨论过的）。由于数学对现代科学是本质的，而这个现代科学是我们“最好的理论”，我们有充足的理由相信数学对象的存在。在这个问题上，对科学理论的评价让我们几乎没有选择。不过，麦蒂注意到直接的不可或缺论证不可能完全说明数学，因为，如我们刚刚看到的，它不能涵盖非应用数学。与蒯因不同，麦蒂把容纳数学的主体，而不仅仅是那些在科学中找到应用的部分，看作是任何数学哲学所必需的。另外，她注意到不可或缺论证忽略了初等数学的“显然性”。一般地，信念之网的最理论化的部分恰恰不是显然的，所以把数学吸收到信念之网的理论部分并将其搁置于那里是不行的。

因此，麦蒂寻求一种“折中的柏拉图主义”：“从蒯因/普特南那里，这种折中接受了不可或缺论证的中心地位；从哥德尔那里，它接受了对显然性的纯数学形式的承认和对其进行解释的责任”（麦蒂1990：35）。麦蒂的数学认识论是“两层的”。在下面一层我们有“直观”，它支持着基本数学理论的底层原则。与哥德尔一样，各种数学分支的公理迫使我们接受它们为真。在上面一层，数学，通过它对下层的数学和自然科学的应用而得到了“外在”的辩护。麦蒂认识论的两层互相支持，并且它们一起容纳了整个数学——或者说麦蒂论证是如此的。

如前所述，哥德尔的数学直观的概念经常因为与自然主义相冲突而受到批评——或嘲笑。人类，作为居住于一个物理宇宙中的物理生物体，如何能具有关于一个抽象对象组成的脱离因果的世界的直观知识呢？人类心灵，如经验心理学所描述的，如何能达到关于集合和数多知识，如数学所描述的“是的知识”呢？如上引用的段落所指明的，麦蒂严肃对待对数学直观——其认识论的底层——进行“解释的责任”。数学直观必须在科学的领地获得体面的身份才能为自然主义者所援引。

回忆一下，对于哥德尔，数学直观是与感性知觉相提并论的。麦蒂提出了一种数学与感性知觉之间的甚至更为紧密的联系（Maddy 1990：第2章；也见1980）。对于麦蒂，需要辩护的数学对象是集合，所以她称自己的观点为“集合论实在论”^[9]。她论证说我们实际上知觉到一些集合，即中等尺度物理对象的集合。她的创新在于至少把部分数学对象带入了物理世界，因此直接被置于物理学和心理学的范围之内。

根据赫博（D. O. Hebb）有关知觉的著作（1949，1980），正常人在儿童阶段会形成神经生理学上的细胞群落，它们可以知觉和分辨物理对象。如麦蒂（1990：58）指出的，这些细胞群落“在感应物和感知物之间的鸿沟上架起了桥梁”。它们允许主体把物理对象从环境中分离出来。麦蒂称这些细胞群落为“对象探测器”。她提出我们的大脑或许也含有“集合探测器”来辨认物理对象的聚合。无论赫博理论的命运如何，麦蒂推测有关知觉的正确的生理学说明一旦被认识，将会扩展到对物理对象集合的知觉。

考虑4双鞋的集合A（而把每双鞋看作两只鞋的集合）。令B为同样的8只鞋的集合。根据集合论，A和B不同：A有4个元素而B有8个。A的元素本身也是集合（每个有两个元素），B的元素是鞋而不是集合。根据麦蒂的解释，在知觉作为8只鞋（即B）的质料和知觉作为4双鞋（A）的质料之间存在着一个差别。这就是，A和B看起来不一样——有一个不同的格式塔——即使它们占据了同样大小的空间和时间。

“是的集合”这个关系进一步重复。考虑3组鞋组成的集合，分别是皮特、保罗和玛丽拥有的鞋子。集合C有3个元素，每个是鞋的集合的集合。而继续下去，鞋的集合的集合……的集合，可达到任何深度。许多集合论，包括ZFC（见上面第1节），都包含一条无穷公理，该公理断言存在一个集合，在它的元素之间“是的集合”关系有任意多次重复。当然，麦蒂没有（也不必）宣称人类能够在知觉上区分所有这些集合（甚或我们知觉它们的全部）。也许超过第二层或第三层就没有视觉上的差别了。存在多次叠加的集合，包括无穷的集合，是理论的假设，为麦蒂认识论的上层所支持。集合论——包括无穷公理——为数学提供了一个统一的基础，而后者则又是信念之网的本质部分。

作为纯数学分支，现代集合论不涉及物理对象的集合。集合论层谱完全是抽象的，包含空集等等。麦蒂没有主张我们知觉到这样的“纯集合”，也不主张我们有关于它们的直接直观。作为对那些倾向于反对抽象对象的哲学家提供的一种帮助，麦蒂（1990：第5章）通过勾勒出一种足够强的集合论，在其中所有对象都是物理对象或物理对象……的集合的集合，展示了如何放弃纯集合。

回忆一下，对于哥德尔，数学直观代表了人类和非物理的数学世界之间的某种关系。他关于康德式直观之本性的评论至少暗示，对于他来说，数学直观传递了至少某些数学的先天知识。麦蒂如何呢？确实，人类需要某些经验以便发展他们的对象探测器和集合探测器，但是没有特别的感觉经验是必需的。因此她认为在一种意义上直观信念是先天的：“虽然在形成概念时需要经验，一旦概念就位了，就不需要进一步的经验来生成直观信念。这意味着就直观信念因它们是直观的而获得支持来说，这种支持是所谓的‘不纯的先天’”（Maddy 1990：74）。

我们注意到，差不多任何被认为是先天的知识在麦蒂的意义上最多是“不纯的先天”。例如，考虑“猫是猫科动物”这句话被认为是凭借意义为真的。人们不能通过需要知道“猫”的意义或知道猫是什么这种感觉经验来否定那种认为这句话是先天的主张。如果这句话是先天的，那是因为这些词的意义本身足以确定这个句子为真，与我们需要经验来把握这个意义的事实是无关的。如布拉克伯恩（Blackburn）（1994：21）指出的，一个命题是先天可知的，如果这一支持不是基于“有关现实世界事件的特殊过程的经验”。

无论如何，麦蒂论证说数学的先天本性是特别弱的。首先，她指出单凭直观不能对数学有很多支持。更重要的是，一个自然主义者不能从字面上接受直观，而必须询问我们为什么有理由依赖于直观，为什么认为它提供了关于独立的数学宇宙的精确知识。对这些问题的回答要援引数学在信念之网中的作用——认识论的另一个层次。重复密尔的观点，我们知道直观是由于经验因而是可信赖的。如麦蒂所说，不能根据直观的本性甚至推出“初始数学信念也是先天的。没有适当的理论支持的合作，直观信念就只能被看作不过是纯粹的猜测”。所以麦蒂比起有关数学知识本性的传统观点来说更接近密尔和蒯因。

作为一个实在论者，麦蒂同意哥德尔，每一无歧义的集合论语句都有客观真值，即使这一语句不能被已被接受的集合论判定。连续统假设是一个相关的例子（见前面第1节）。她考察了扩展ZFC的几种方式，注意到它们中的每一个“回答了至少［某些］未解决的问题……每个都享有一系列外在的支持、不同程度的直观和经验法则证据的补充……哲学上悬而未决的问题是：在何种理性的基础上人们可以在这些……理论中作出选择？”（Maddy 1990：143）。这一挑战摆在了那些倾向于实在论的人的面前。

麦蒂的很多数学哲学著作关注着这一有关独立语句的问题，以及集合论公理背后的信念到底是什么这一密切相关的问题（1988，1988a, 1993）。她对自然主义（和独立性）的兴趣导致了对数学方法论和数学在科学——信念之网——中作用的广泛研究。这一工作在《数学中的自然主义》（Naturalism in Mathematics，1997）中达到了顶点（也见Maddy 1995，1996）。对自然主义的关注使她改变了《数学中的实在论》（Realism in Mathematics, 1990）中所提倡的实在论。