还记得一个传统的柏拉图主义者，或本体论实在论者认为，一个给定的数学分支，如算术和实分析，其研究主题是具有某种本体论独立性的一集对象。雷斯尼克（1980：162）定义“本体论柏拉图主义者”为那些认为日常物理对象与数“相同”。对这样一位哲学家来说，数与汽车是同类的事物——对象，只不过存在比汽车更多的数，并且数是抽象和永恒的。
为了追求这种相似性，我们的柏拉图主义者也许会赋予单个的自然数以某种本体论上的独立性。就像每辆汽车独立于其他任何一辆汽车，每一自然数——作为一个个体对象——独立于任何其他自然数[2]。也许这一想法是人们能给出每个自然数的本质而不必求助于其他自然数。数2的本质不牵涉数6或数6 000 000。
结构主义者严格拒绝自然数中的任何种类的本体论独立性。一个自然数的本质是它与其他自然数的关系。算术的研究对象是一个单一的抽象结构，任何具有以下性质的无穷对象集合所共有的模式：拥有一个后继关系，一个唯一的初始对象，并且满足归纳原理。数2不多也不少地正是自然数结构的第二个位置；而6是第六个位置。它们都没有相对于它们位于其中的这个结构的独立性，而作为这一结构中的位置，没有一个自然数独立于其他自然数。
确实，一个幼儿可以学会很多有关数2的事情而对其他数，像6或6 000 000，几乎一无所知。但这一认识上的独立性没有排除自然数之间的本体论联系。做个类比，一个人能知道关于一个物理对象，如棒球的很多事情，而对分子和原子几乎一无所知。但这并不能推出棒球在本体论上独立于组成它的分子和原子。
自然数结构通过以下例示得到说明：有穷字母表上按字典顺序排列的串，不同时刻的无穷序列，竖画线的无穷序列：
｜｜｜｜｜｜……
类似地，实分析研究的是任何完全实闭域的模式。群论研究的不是一个单独结构，而是一类结构，是具有一个二元运算，且在这个运算下的一个单位元以及每个元素的逆元这样一个对象集的模式。欧氏几何研究欧氏空间结构，拓扑学研究拓扑结构，等等。
定义系统为一个对象的集合连同这些对象之间的某些关系。一个法人统治集团或一个政府是由人以及管理者与协助者之间的关系组成的系统。一盘棋局是处于一定位置的棋子以及“可能的棋路”关系组成的系统；一种语言是字母、单词和句子以及它们之间的语法和语义关系组成的系统；而一场篮球比赛的防守是一组处于一定位置的人及他们之间的“防守角色”的关系。定义一个模式或结构为一个系统的抽象形式，强调对象之间的关系，而忽略掉对象的那些不影响它们与本系统中其他对象如何相关的特征。
理解模式的一种方式是通过抽象的过程。人们观察具有这个结构的多个系统，注意力集中于对象之间的关系——忽略掉对象的那些与这些关系不相干的特性。例如，人们可以通过观看一场比赛（或多场比赛）并注意无球一方队员之间的位置关系和角色，而忽略掉高度、头发的颜色和投篮命中率这些事情来理解篮球比赛中的防守，因为后面这些因素与防守系统无关。
根据这些，结构主义者认为（纯）数学是对此类结构的演绎性研究。算术的研究对象是自然数结构，而欧氏几何的研究对象是欧氏空间结构。在数学中，对这些结构的研究独立于它们在非数学世界中可能会有的任何例示。换句话说，数学家对这些结构的位置之间的内在关系感兴趣。正如雷斯尼克所说：
我认为在数学中我们不是把具有“内部”成分的对象安排于结构之中，我们只有结构。数学对象，即我们的数学常量和量词所指称的实体，是没有结构的点或结构中的位置。作为结构中的位置，它们没有结构之外的同一性或特征。（Resnik 1981）
考虑语言学的情形。让我们想象一个语法学家……通过运用抽象过程达到了一个他称为英语的复杂结构。现在假设后来发现英语语料库在一些重要方面不能例示这一模式，所以我们的语言学家就他的结构所做的很多断言就失败了。但可笑的是，语言学家重新命名这个结构为特英语（Tenglish）。不过，我们关于作为模式的特英语的知识还继续存在；因为他成功地刻画了某个模式并讨论它的一些性质。类似地，我认为我们知道很多关于欧氏空间的事情，尽管它还没有物理上的例示。（Resnik 1982）
当然，上面提到的例子过于简单以至于不值得数学家去注意。我们关于篮球比赛的防守能证明什么呢？不过，存在关于国际象棋的非平凡的定理。例如，例如二马一王不可能将死单独一个王。不管棋子用什么做成，甚至无论象棋是否被下过，这一点都成立。这一有关象棋的定理或多或少是一个典型的关于某个结构的数学定理。而此处它是某个棋局的结构。
让我们简单回顾一下上一章第1节中在讨论菲尔德（1991）对牛顿引力理论的“唯名论”重构时出现的一个问题。菲尔德坚持数学对象不存在，但他的物理本体论包括无穷多时空点和区域。他论证说时空点和区域是具体的、物理的对象，因此它们不是数学的。菲尔德考虑到了自然的反驳“在假设……一个丰富的物理空间和假设实数之间似乎没有非常重要的区别”。他回答说：
唯名论者对使用实数的反对并不是因为它们的［基数］或关于它们所做的那些典型的结构性假设（如柯西的完全性）。相反，所反对的是它们的抽象性：即使假设一个实数也已经违反了唯名论……反过来，假设不可数多的物理实体……不是对唯名论的反对；当人们假设这些物理实体遵循与柏拉图主义者为实数假设的类似的结构性假定时，也并不使它成为更可反对的。
结构主义者对这一区分持有异议。对于她来说，一个实数是实数结构中的一个位置。由于每个实数都是一个巨大结构的部分，所以“假设一个实数”是没有意义的。这就像试图想象一个独立于篮球队的控球后卫，或独立于一盘棋局的扮演黑后的相的角色的棋子。它位于何处？它的棋路是什么？人们当然能询问实数结构是否被某个给定的系统（像一个物理点的集合）例示。那样，人们就能确定扮演单个实数角色的对象，就像在比赛日人们能够认出在其中一个队中扮演控球后卫角色的那个人，或在一局棋中人们能认出作为相的那个棋子。但是盘算独立于它们所属结构的数是没有意义的。
菲尔德同意他的唯名论物理学对时空做了实质性的“结构假设”，并且他明确表示这些假设有值得称赞的严格性。虽然菲尔德不会这样做，但其时空的“结构假设”却刻画了一个非常像实数的4重数R4的结构[3]。事实上，菲尔德证明了关于这个结构的定理。作为结构主义者来审视这一点，他因此从事了数学，关于结构的科学。证明有关时空的事情的活动与证明关于实数的定理的活动是同一类的活动，都是对结构的演绎性研究。
有两个相互关联的问题涉及结构主义的本体论。一个涉及结构本身的状态。自然数结构、实数结构以及诸如此类的结构是什么？结构像对象那样凭借自己而存在吗？像棋局、篮球比赛的防守或交响乐这样现世的结构或模式又如何呢？另外一个问题涉及单个数学对象的状态，即在结构中的位置。结构主义者会对数、几何点、集合以及等等说些什么呢？当然这些问题是密切地相互关联的，而我们要一起处理它们。
由于一个同样的结构能被超过一个的系统例示，一个结构是多上之一（one over many）。此类实体长久以来已经受到哲学的注意。多上之一的传统例子是性质，有时称为特征，共相或型。这个世界中的所有不同的红色对象共享红性（redness）这一单个的性质。这个世界中的所有不同的人共享人性（personhood）这一性质。在更晚近的哲学中，有一个类型个例（type token）的二分（在第6章，第1.1小节和第3节中提出）。例如墨水、粉笔和墨粉的形如“E”的不同痕迹称为类型“E”的个例。个例是物理对象，能被随意创造和摧毁。类型是一个抽象对象，它是全体共有的形状。所以下面一行：
E E E E
由单独一个类型的4个不同个例组成。这部书的另外一册在相应的页上会有这个类型的另外4个个例。如果相关页由于憎恶而从这本书中被撕掉并成为碎片，这些个例就因此被摧毁了。但是（谢天谢地）类型不会被毁。即使所有这些页都被毁了，类型会依然存在。
如上面所定义的一个系统是对象的一个集合及这些对象上的关系，而结构是一个系统的形式。因此，结构之于被结构的，就像模式之于被模式的，就像共相之于其所包摄的殊相，就像类型之于个例。
有关共相的大量文献中的各种立场限定了结构主义者的选择。源自柏拉图的一种观点认为，至少某些共相先于并独立于例示它们的任何事项而存在（见第3章，第1节）。即使没有人也没有红色的事物，人性和红性这些性质将依然存在。这种观点有时称为先物（ante rem）实在论，而如此解释的共相称为先物共相。先物共相（如果存在）先于（并因此独立于）具有这一共相的对象而存在。按这一观点，一个“多上之一”在本体论上先于“多”。所以甚至毁掉这个字母的每个个例也不能摆脱类型“E”。
另一种不同于先物实在论的选择源自亚里士多德，是共相在本体论上依赖于它们的例示（见第3章，第4节）。根据这种观点，红性就是所有红色事物共有的。去除掉所有红色事物，红性也就随它们消失。毁灭所有的人就不再有人性这样的事物。如此解释的共相称为在物共相（in re universal），而亚里士多德的观点有时称为在物实在论（in re realism）。这种观点的支持者勉强接受共相的存在，但他们否认共相对它们的例示有任何存在上的独立性。在一定意义上，共相只存在于它们的例示中。在本体论上，“多”在先，只有那以后才有“多上之一”。
还有其他关于共相的观点。概念论者认为共相是心灵的构造，而传统唯名论者认为共相或者是语言学的构造或者它们根本就不存在[4]。对于目前的讨论，重要的区分是先物实在论与其他观点之间的区分。我们的问题是，结构本身是否并且在什么意义上，独立于例示它们的对象系统而存在？如果没有例示这些结构的系统，说自然数结构、实数结构或欧氏空间还是合理的吗？我们下一节讨论一种结构主义的先物路线，再下一节讨论某种在物路线。
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