没有结构的结构主义

先物观点因此预设了位置即对象观点中的陈述，初看起来，这要在字面上理解。像“财务主管”、“守门员”、“2”以及“6＋3i”这样的词项是真正的、指称对象的单独词项。一些结构主义者反对这一点，并不严肃地看待位置即对象的观点。注意到位置即对象的陈述使概括成为例示被讨论结构为所有系统所必需的。每个是副总统的人——不管是戈尔、库勒、布什还是蒙代尔——是那届政府的参院议长。每个相都走对角线，位于黑格中的相没有一个曾经走到过白格中（在同一盘棋局中)。没有人能既是控球后卫又同时是大前锋；而任何在自然数系统中扮演3这个角色的事物都是在那个系统中扮演2这个角色的事物的后继。简短地说，位置即对象的陈述应用于在例示这一结构的任何系统中占据位置的对象或人。

一个拒绝先物路线、更喜欢对结构进行在物说明的哲学家会认为位置即对象的陈述不过是方便地重述例示被讨论结构的系统之上的相应概括。如果成功的话，像这样的一种策略将完全消除位置即对象的观点。这个论题会是位置即对象的陈述不在字面上被理解。表面上的单独词项掩盖了隐含的约束变元。

这一计划依赖于能够推广例示所讨论结构的所有系统。在在物计划中，像一个“3＋9＝12”这样的陈述会变成如下的某种事物：

在任何自然数系统S中，S的3位置中的对象S加S的9位置中的对象，其结果是S的12位置中的对象。

像这样解释时，看似大胆的本体论主张失败了。例如“3存在”这个句子变成了“每个自然数系统有一个对象在它的3位置中”，而“数存在”成为“每个自然数系统在它的位置中有对象”。几乎没有任何东西能比这更无害了。

把数学陈述重述为概括的计划是结构主义的一种表现形式，但它不支持结构——或就此而言的数学对象——成为真正的对象。谈论数是谈论例示这一结构的所有系统的一种方便的简化。一般地，谈论结构是谈论系统的一种方便的简化。

帕森斯（1990：第2—7节）提出（但很快放弃）一种这样的观点，他称之为取消论的结构主义：“它……避免了挑选任何一个……作为自然数……［取消论结构主义］例示了一种对这样一种考虑的非常自然的回应，一种自然主义者的观点基于这种考虑之上，把关于一种数学的陈述看作关于特定类型的结构的一般陈述，并且通过这种思想来寻找一种方式，消除对所考虑的这类数学对象的指称。”（Parsons 1990：307）贝纳塞拉夫（1965）采取了一种取消论的、在物版的结构主义，他写道数论“是数的序型的所有［系统］之性质的结果”。当然，这是他拒绝数是对象这一论题的一个片断。

在当前的讨论中，取消论结构主义计划凭借位置即职位的观点来解释位置即对象的陈述。还记得位置即职位的倾向要求一种背景本体论，一个话语的论域，来填充（在物）结构。为了使数学的实质部分有意义，取消论计划的一个潜在的绊脚石是背景本体论必须非常坚固。本体论中对象的本性无关紧要，但那里一定要有很多对象。为了看到这一点，令Φ为算术语言中的一个句子。按照取消论结构主义，Φ处于以下形式的事物之中：

(Φ′)对任意系统S，如果S例示自然数结构，则Φ［S］，

其中Φ［S］是通过以系统S的对象与关系由Φ来解释算术术语和变元。每一例示自然数结构的系统一定拥有无穷多对象。所以如果背景本体论是有穷的，那么就没有系统例示自然数结构。在这种情况下，Φ′为真，不管Φ是什么句子。也就是说，如果背景本体论是有穷的，那么“3＋5＝4”和“每一自然数是素数”和“有些自然数不是素数”的解释都为真。所以如果背景本体论是有穷的，那我们就不能以一种不破坏算术句子的正常真值的对算术的解释而告终。这样，一个取消论结构主义者对算术的解释要求一种无穷的本体论，类似地，一个取消论结构主义者对实分析和欧氏几何的解释要求一种基数至少为连续统的背景本体论。一种对集合论的取消论的解释甚至要求更多的对象。否则，这一领域就是空洞的。对这一威胁存在两种回应（除了回到先物结构主义或完全拒绝结构主义）。其中一个是假设存在足够多的抽象对象，使所有被研究的结构可被例示。也就是说，对数学的每一合法领域，我们假设存在足够的对象，以使这个领域避免成为空洞的。这称为本体论选择。这种观点是本体论的取消结构主义。

根据这一计划，如果人们想要对全部（或几乎全部）数学做单一解释，那么抽象对象的背景本体论一定会相当大。许多逻辑学家和哲学家考虑把集合论层谱作为全部数学的本体论。如果人们假设这一层谱中的每个集合都存在，那将肯定有足够的对象来例示任何可能想到的结构。因为，历史上，集合论的一个目的就是为尽可能多的结构提供模型，所以集合论对于取消论结构主义的背景本体论是一个好的候选者^[7]。系统和满足的相关概念是普通模型论的标准部分。一个结构是模型论解释的一个序型。

本体论取消结构主义的关键特征是背景本体论不按结构主义者来理解。如果集合论层谱是背景，那么无论如何集合论都不是特定结构的理论。相反，集合论是关于对象的特定类的背景本体论。或许从一个不同的观点来看，集合论能被设想为对特定结构U的研究，但这会要求另一种背景本体论来填充U的位置。新的背景本体论不被理解为另一结构的位置，或者如果是的话，为了它的位置，我们还需要另外一种背景本体论。本体论取消结构主义必须停止这种倒退。最终的本体论不是凭借结构来理解，即使数学中的其他任何事情都如此。

某些倾向于本体论反实在论的哲学家已经表达了对结构主义者对数学所作解释的同情，但是，当然，他们不支持先物结构，从唯名论的观点看，本体论取消选择会由于背景本体论而不太好。我们的唯名论者提议我们谈论可能结构而不是结构。不说算术是关于某一类型的所有系统的，而是说算术是关于某一类型的可能系统。再次令Φ为算术语言中的一个句子。上面，按照本体论选择，一个算术句子Φ被解释为“对任意系统S，如果S例示自然数结构，则有Φ［S］”。根据目前的选择，Φ被理解为

对任意可能的系统S，如果S例示自然数结构，那么才是Φ［S］，

或者

必然地，对任意系统S，如果S例示自然数结构，那么才是Φ［S］。

对于本体论反实在论者，难题是使算术、分析等等避免成为空洞的又不假设存在一个例示这一结构的系统。目前的解决方案是代之以假设这样一个系统是可能的，不像本体论选择（或先物结构主义），这里我们不需要现实的、丰富的背景本体论。作为替代，我们需要一个丰富的背景本体论是可能的。称这种观点为模态取消结构主义。

赫尔曼（1989）极为详细地执行了像这样的一个计划。他的书的标题为《没有数的数学》(Mathematics Without Numbers)，对事情作了很好的总结。这是对数学的一个结构主义者的解释，而又不支持结构——或数学对象——的存在。一个数学分支中的陈述被理解为一个可能性或必然性算子的辖域之内的概括。赫尔曼不是断言各种结构或系统存在，而是断言这些系统可能存在。

模态选择的核心议题或许是所用到的模态词的本性，我们如何说明在解释数学陈述中用到的“可能性”和“必然性”？或许，它是物理上的可能性，存在一个系统例示自然数结构。我们甚至会认为欧氏空间是物理上可能的。不过，宣称一个系统例示任何更丰富的结构是物理上可能的，就把这一模态概念延伸得不能辨认了（虽然，Maddy 1990：第5章；见前面第8章，第3节）。确实，存在那么多物理对象是不可能的。

相关的模态算子也不被理解为形而上学的可能性。直观地看，如果数学对象——像数、点以及集合——在根本上存在，那么它们的存在是形而上学上必然的。大多数对数学对象存在的支持者和反对者都同意“自然数的存在”等价于“可能地自然数存在”和“必然地自然数存在”。对任何数学对象也是如此，至少在它们被传统地设想时。这样，背景本体论中条目的存在和可能存在是等价的，所以使用形而上学模态没有真正地减轻取消论结构主义的本体论负担（有关类似之点的一个详尽的细节，见Resnik 1992）。

由于这些原因，赫尔曼没有调用物理的或形而上学的可能性，作为替代，他为他的取消论结构主义调用了逻辑模态。我们有算术句子Φ：

对任意逻辑上可能的系统S，如果S例示自然数结构，那么Φ［S］。

其逻辑可能性与一致性十分相像。从这种观点看，模态结构主义者只需要假设以下是逻辑上可能的：存在系统例示自然数结构、实数结构，等等。

来自前一章第2节和第4节的一个问题在这里出现了。还记得在当代逻辑学教科书和课堂上，逻辑模态是借助于集合被理解的。说一个句子是逻辑上可能的，就是说存在一个特定的集合满足它。不过，根据取消论结构主义的模态选择，说存在一个特定的集合，就是说了关于每个逻辑上可能的系统的某些事情，这些系统例示了集合论层谱的机构。这是一个不能接受的循环。借助于逻辑可能性来解释数学的“存在”就没有什么好处，如果后者借助于在集合论层谱中的存在来解释的话。把这些观点放在一起，一个句子是逻辑可能的这样一个陈述，实际上是一个关于集合论的所有集合论模型的陈述。谁断定存在这样的模型呢？赫尔曼接受了这一直截了当的观点，因此他反对对逻辑模态的标准的、模型论的解释。作为替代，他把逻辑概念视为初始的，而不是还原为集合论。