「无穷小量」与第二次数学危机

1.「无穷小量」与第二次数学危机

不过无论是牛顿还是莱布尼茨，他们都没能完成一件事，那就是——用经典希腊几何式的严谨为微积分学科确定准确的学科定义。他们搭建起一座高耸入云的楼阁，可支撑整座大厦的却是摇摇欲坠的脆弱根基。

这正是之前数学史家猜测牛顿不敢率先发布微积分的一个原因：微积分最脆弱之处，正在于微积分的基础概念——「无穷小量」的应用。

在微积分运算之时，往往要引入一个无穷小量。在运算之初，无穷小量还一直参与正常的运算，然而，运算的末端，数学家又往往把无穷小量近似当成 0 处理，造成了「无穷小量既不等于 0 又等于 0」的矛盾。

数学家们不禁要问，为什么在运算的前几步里，你的无穷小量还可以当做分母，可为什么到了最后一步，你却非要将它近似为 0？如果当成了 0，你在之前凭什么把它放在分母的位置上？

牛顿和莱布尼茨都没能解答。

「无穷小量既不等于 0 又等于 0」的矛盾，直接导致了第二次数学危机的出现，其中，对微积分基础最严苛的质疑，来自于十八世纪著名唯心派哲学家：乔治·贝克莱。

乔治·贝克莱，作为十八世纪最重要的哲学家之一，是主观唯心主义的创始人。他的名言「存在就是被感知」是唯心哲学的理论基础。1734 年，他写下了一本一百多页的小册子，名为《分析学家：致一位不信教的数学家的评论》。

他直接把「无穷小量」的问题拿出来，在书中拷问全部支持微积分学说的数学家，他咄咄逼人地问道：「它们既不是有限的量，也不是无穷小的量，更不是零。这难道不是『消逝的量的鬼魂』么？」在他看来，「那些大人物虽然把那个科学抬高到惊人的程度，实则只是建立了一套空中楼阁。」

好比考虑所谓的瞬时速度，如果一切物体运动的速度都应该使用位移除以时间取得，那么所谓瞬时，当然是时间为零，要去讨论时间为零的速度，似乎毫无意义。

贝克莱对微积分的拷问，并不是要否定微积分取得的成就，而是表明数学家们对他们的研究过程没有有效的论证。贝克莱引述已故牛顿的名言「最微小的错误在数学里都不应当被忽略」，来要求数学家们直视这一重大问题。

来自贝克莱的指责踏实有效，微积分基础上的逻辑漏洞掀起了混乱的风暴，在随后的一个世纪里，后世的数学家都致力于在此问题上进行加固补足。这一场数学危机，要到百年之后数学家柯西出手，最终不再把无穷小量看作一个无限小的定值，而是作为一个极限为 0 的变量；又有魏尔斯特拉斯引入现代的极限语言，双人联手，才终于解决了这一悖论。也正是在这个悖论的解决过程之中，微积分得到了长足发展。