求解三体问题

2. 求解三体问题

随着启蒙运动的逐渐深入，以及微积分体系的不断完善，牛顿的科学体系开始在欧洲确立自己的领导地位。百科全书副主编达朗贝尔编书之余，正忙于进一步验证牛顿学说。其中最复杂的问题之一是三体问题。

三体问题致力于在三个质点的质量和初始状态均已确定之时，在万有引力定律之下求出三者的运动规律，一个最简单的模型就是日地月的轨迹计算。

即使动用微积分武器，三体问题也依然难解。早在十八世纪初，牛顿和莱布尼茨正吵得不可开交之时，欧洲大陆的数学家便已经尝试采用微积分来重构牛顿的力学体系。而探究日、地、月三者关系的三体问题几乎是数学家们不可绕过的一大堡垒。

莱布尼茨曾经邀请数学家皮埃尔·瓦里尼翁解决三体问题，然而皮埃尔随即发现自己束手无策，如果假设其中一个物体不动，还勉强能得到简单的答案，可一旦三个物体都运动起来，他便无计可施。后来，数学家雅各布·赫尔曼以及约翰·伯努利联手跟进，从数学角度证明平方反比定律一定会导出圆锥曲线的轨道，补足了当年牛顿在《原理》中仅仅当作假设却未能严谨证明的缺憾，不过他二人也没能在此一结论之上更进一步。

这并不能怪诸位数学家学艺不精，在通常情况下，一般的三体问题的运动方程为十八阶方程，需要得到十八个积分才能进行完整解答。除了少数特殊情况以外，根本无法得出标准的答案，运用微分方程写出日地月三者相互吸引的等式不算困难，但解出三个等式却不可能，只能通过近似计算才能粗略得解。也正是以这数学上的难解谜题为背景，2006 年起，作家刘慈欣以三体星系为背景写出了中国科幻界扛鼎之作《三体》三部曲，以一人之力带领中国科幻文学进入了世界的第一梯队。

首先把微积分融入牛顿力学体系的大部头著作，正是出自欧拉笔下。1736 年，欧拉还在圣彼得堡供职之时，便出版了《力学》，以纯代数方法而非传统的几何学方法论述力与运动的关系。三年后，欧拉终于打破了微积分与牛顿定律的最后障壁，通过编制三角函数的微积分，求解常系数线性微分方程，用于解决天体之间引力的摄动问题。随后欧拉连续出手，先是攻克月球运动摄动问题，之后又靠着土星和木星之间的引力摄动摘取 1748 年的巴黎科学院征文大奖。这些在天体力学领域的进展，正是解决三体问题的关键锁钥。

在欧拉的奠基之上，又有两位数学家加入到三体问题的求解之中。一个是百科全书副主编达朗贝尔，另一位是当时名气稍逊的，在此前莫佩尔蒂北欧考察中随行的数学家亚历克西斯·克莱罗。三人采用各自的方法进行模拟，同时发现牛顿体系的预测值与观测值出现偏离。这是牛顿学说继地球形状之争之后遭遇的又一次危机，上一次靠着莫佩尔蒂的北欧考察安全过渡，这一次轮到莫佩尔蒂的助手克莱罗出手。他 1749 年发布论文，指出了自己、达朗贝尔和欧拉此前均存在计算失误，达朗贝尔当即坦承失误，欧拉则提名克莱罗获取圣彼得堡学院奖，牛顿定律地位再得巩固。

这只是克莱罗对达朗贝尔的第一次智商碾压，十年后，正是已故哈雷博士预测的彗星回归年，克莱罗综合万有引力定律和微积分方程计算，在巴黎科学院公众大会上公布了他预测的回归日期，宣称误差不会超过一个月，1759 年年初，彗星如期而至。牛顿定律历经莫佩尔蒂子午线测量、三体运动危机及哈雷彗星回归预测三役，一举制霸学界。三役中均有贡献的克莱罗，收获了新牛顿的称誉，达朗贝尔感到颜面扫地，私底下吐槽后者的方法并不算高明，无非也就是靠着「乏味冗长的计算」。

也正是从这一时期开始，微积分开始逐步接手天文学研究的阵地，此前从哥白尼到开普勒的历代天文学家们，还满足于观测并积累大量数据，然后根据观测经验总结星体轨道。而如今，有了微积分作为数学基础，由精密航海对精确星表和月球运行表格的需求，催生出全新的天体力学。从此，周天星体的轨道确认，逐渐从天文观测者的观测数据和经验推演，让位于天体力学家的数学计算。