欧拉的继承者和「数独」游戏

3. 欧拉的继承者和「数独」游戏

天体力学的学科基础，正是从百年之前的牛顿起步，欧拉、达朗贝尔逐渐加固，随后又迎来两位杰出的年轻数学家：先是拉格朗日创始大行星运动理论，又由再之后的拉普拉斯集各家大成，以五卷十六册巨著《天体力学》，提出了天体力学的学科名称，也奠定了整个学科的基础。

这两位年轻人中的第一位，约瑟夫·路易斯·拉格朗日生于 1736 年，比欧拉足足年轻二十九岁，他崭露头角之时，也还只是十九岁的青年，那时他靠着自己在变分法领域的研究，已经获得了都灵皇家炮兵学院的教职。

拉格朗日生于意大利都灵的官员之家，当时由于父亲失败的投资，家中财政总是捉襟见肘。他单纯地以为自己可以靠着数学改变自己的经济状况，在后来的回忆中，他提到，如果他家中富有的话，就不会把自己奉献给数学事业。

他在数学领域的天分一发而不可收，在没有接受任何名家的辅导下，他靠着勤勉的自学成才，十八岁便开始发表论文，并开始了与欧拉的通信，迅速引起了柏林科学院院长莫佩尔蒂以及欧拉的注意。莫佩尔蒂与欧拉力邀拉格朗日前来柏林就职，希望为这位年轻后进提供远比都灵更有声望的职位。

年轻的拉格朗日心怀更大的野望，他婉转而礼貌地拒绝了莫佩尔蒂和欧拉的善意，只愿意以通讯院士的身份与学院保持联系，转身成为都灵皇家科学院的奠基人。在都灵科学院的学术期刊上，拉格朗日是最主要的供稿人。

面对拉格朗日的婉拒，莫佩尔蒂已经无暇叹惋，当时，莫佩尔蒂已经年近花甲，身体渐衰。他最终前往巴塞尔养病，就住在恩师约翰·伯努利的家中调养生息。

1759 年夏天，莫佩尔蒂病情加重，致信让妻子前来瑞士陪同。他没能等到与妻子的最后一面，柏林科学院院长至此陨落。

莫佩尔蒂的去世未能引起力邀他前来柏林的腓特烈大帝的关注，其时，蔓延了整个欧洲的七年战争从英法正式宣战开始，已经进行到第五年。腓特烈大帝与英国一道，以新兴国家之姿，力敌法俄奥三大强国。上年严冬，腓特烈大帝以主力与奥地利主将道恩元帅对峙，连战皆北，士兵在临时搭建的木屋里瑟瑟发抖。大雪漫天而下，覆盖了普鲁士人留下的数万具尸体。

经历了五年筋疲力尽的战争，这只普鲁士之狐正在默默舔舐伤口。腓特烈归国后忙于稳定货币、训练新军，预备与法军和奥军的决战。战争中对峙双方均伤痕累累，最终腓特烈以教科书式的战术布局反制成功。这场漫长的战争还要持续四年，英国和普鲁士一方才会取得最后的胜利。而惨胜之时，当年意气风发的普鲁士国王已年过半百，两鬓斑白，饱受疾病的折磨。此后他又活了二十三年，整理战争留下的焦土。

莫佩尔蒂之后，忙于军政的腓特烈大帝没有遴选一位新院长接替，欧拉成为柏林科学院实际上的领导者。如今的史料里，在欧拉服务柏林科学院的时间里，留下有三千份详细的文档，包括大量的报告、笔记和会议记录，几乎是逐日记录了欧拉二十五年里的每一项科研、行政、组织工作。他为了学院宵衣旰食，承担了远比往日繁重的工作，他为科学院遴选人才，也平衡学院的收入支出，甚至连日历的出版到地图的绘制都要过问。

仅靠一个单薄的欧拉自然撑不起整个学院，其他科学家也陆续受聘而来。首先入职的是欧拉的老师约翰·伯努利之孙，也以约翰·伯努利为名，称约翰·伯努利三世。这位出身数学世家的少年，入职时仅仅十九岁，他在腓特烈大帝的安排下，接过了此前由欧拉掌管的天文台。三十四年前，年仅十三岁的欧拉刚刚结识亲手将自己带入数学领域、改变了自己一生的老师约翰·伯努利，如今年近半百的欧拉望着雄心勃勃的少年英才，恍如昨日。

欧拉在柏林后期的工作不算开心，当年莫佩尔蒂曾经与伏尔泰陷入无聊的意气之争，欧拉站在莫佩尔蒂一方，导致与后来前往柏林宫廷任职的伏尔泰关系一直很僵。他讷于修辞辩论，常常被伏尔泰出言嘲讽。欧拉在腓特烈大帝这边也不讨喜，在腓特烈看来，这位数学家太过单纯谦和，充满一副呆板的理科生气息，私下里甚至用欧拉的眼疾开玩笑，叫他「数学独眼龙」。这位雄才大略的君主显然不懂得如何尊重顶级数学家的才华，竟然让欧拉协助修建自己私家花园的水槽。欧拉通过计算求出了将水提升至蓄水池里需要多大的力，可对修好水管却没有任何帮助。腓特烈用充满嘲讽的语气与伏尔泰通信吐槽「我的磨坊连几何学都用上了，结果连一口水都送不到我的水池里去」。

最令欧拉难以忍受的是百科全书派达朗贝尔到访，这个当年被遗弃在教堂石阶上的私生子如今已成长为巴黎科学院的一流数学家，当时二者之间因为一场学术优先权的争端已经颇不愉快，而达朗贝尔此番来访，却大摇大摆地成为腓特烈大帝的座上嘉宾。更令欧拉不满的是，达朗贝尔得到自己在柏林用了二十五年都难以取得的信任，他被邀请继承莫佩尔蒂身后从缺良久的院长席位。

欧拉私下写给拉格朗日的信件中表达了强烈的不满，抱怨达朗贝尔一再对自己的研究成果吹毛求疵，仅仅是因为「达朗贝尔自己没研究出来」，又指出「这种人要是当了院长，只会弄得一锅糟」。

在这一事件中欧拉略显紧张过度，达朗贝尔在宫中住了三个月便返归巴黎，不但没有抢走欧拉的位置，还劝说国王任命欧拉成为新任院长，也推荐了已经颇有小成的数学家拉格朗日，那时拉格朗日不久前已经因其在月球天平动问题的解答中获得法国科学院大奖，而达朗贝尔访问当年，法国科学院征文研究木星及四颗卫星与太阳的相互引力关系，面对这复杂度远超日地月三体运算的六体问题，拉格朗日以超凡的微积分技巧，对繁杂的问题以近似方式求解，再获大奖。

国王对欧拉继任院长一事按下不表，却对拉格朗日大加赞叹。他力邀拉格朗日来柏林工作，后来更说出了「欧洲最大的王的宫廷里，要有欧洲最大的数学家」，全然不顾欧拉的心理感受。

此时，拉格朗日则只是写下了一段礼貌而意味深长的回绝：「如果欧拉还在柏林，我前去工作似乎还不合适。」

事已至此，欧拉终于心灰意冷，他于 1766 年整理行装，接受了卡德琳娜二世女沙皇的邀请。五十九岁的老人再一次踏上了四十年前走过的那条熟悉的，前往圣彼得堡的路途，将自己的余生彻底奉献给了俄国。拉格朗日闻风立即从意大利赶来，在而立之年继承了欧拉的数学部主任席位。他迅速和同事打成一片，以新贵之姿走上了更为辉煌的学术道路。

在此后拉格朗日服务柏林的二十年里，他一个人就撑起了一个学院。他承接欧拉的分析学研究，同时进入了纯数学和应用数学的多个领域。他同样重视「代数化的分析方法」，认为纯代数的解法更加纯粹，且不必借助几何图形。如同欧拉在早年出版的著作《力学》中，大量采用纯数学进行力学分析而更少采用几何学作图法；拉格朗日则更进一步，在 1781 年——几乎是欧拉出版《力学》的半个世纪之后——拉格朗日出版了著名的《分析力学》，在这一本书里，拉格朗日没有采用哪怕是一张插图，一切力学作用都被他归拢在美妙的纯数学分析之下。他骄傲地宣布：「力学已经成为分析的一个分支。」

分析力学这门崭新的、融合了力学与数学的分支，也正是从拉格朗日开始。从此，数学分析开始与几何及力学脱离开来，数学分析，这项在分析学中最古老、最基本的分枝，由此根深叶茂。

拉格朗日谦和不争的个性也打动了腓特烈大帝，大帝为感谢达朗贝尔为自己推荐来拉格朗日这样的优秀人才，专门写下：「全靠你的费心和推荐，我得以在我的科学院里，用长着两个眼睛的数学家，代替了只有一个眼睛的数学家。」

此时的欧拉，在圣彼得堡受到了极大的礼遇。女沙皇为欧拉配备了豪华的住所和十几位侍从，任凭差遣。然而好景不长，欧拉刚刚回到彼得堡左眼便突发白内障，他靠着模糊暗淡的残存视力，抓紧最后的时光，在黑板上奋笔疾书，辅以口述，由学生予以笔录。他的儿子约翰·阿尔勃兰特·欧拉随他前往圣彼得堡，出任物理学院主席，后来又转任学院秘书，一直随侍父亲左右。留给欧拉的时间不多，很快他便失去了全部的视力。

双目失明后欧拉又遭重创，在圣彼得堡的一次大火中，欧拉的住所被毁，也险些毁掉了欧拉的生命。虽然老人被救出，大量的研究成果却在火中付之一炬。同样的经历牛顿也曾经历过，当大火烧掉了自己珍藏的手稿，牛顿曾一度陷入低沉。而欧拉反而越挫越勇，在黑暗的世界里，他在圣彼得堡写出了一生中近半数的论文著述，以强大的记忆和心算继续工作直至逝世。

经过了几十年的磨砺，欧拉在数学上的造诣已经收放自如，运用一心。失明后他靠着强大的记忆力与运算能力继续着高强度的研究，现在留下的史料里，流传着大量关于欧拉记忆力及心算能力难以置信的描述。他可以一字不差地背出五十年前孩提时代读过的诗人维吉尔的长诗《埃涅阿斯纪》全篇，也能轻松报出前一百个素数以及它们的平方、立方、四次方、五次方甚至六次方。传说一次运算中两位学生在无穷级数求和问题上算到第十七项，在小数点后第五十位数字产生争执，欧拉以心算将计算复盘，最后给出了正确答案。在研究到梅森素数之时，又以心算，得出 2 的 31 次方减 1 是个素数，在梅森素数领域里再添一笔。后来的法国物理学家阿拉戈评价，欧拉在计算时如同「人在呼吸」，或「鹰在翱翔」一样自然而出乎本能。如果十八世纪的数学界有一门宗教，欧拉无疑是数学家们的神佛。

欧拉后来的研究涉及数学以及其他学科的方方面面，其中一个有趣的数学问题是三十六军官问题（Thirty-six officers problem），欧拉设想在一个六人见方的三十六人阅兵方阵里，六支部队每支都派出六个军衔不同的军官，是否有一种排列，令每一行每一列都既没有军官来自同一部队，也没有重叠的军衔。

欧拉把满足这一特性的方阵称作正交拉丁方阵，他没能解出这一题目，他曾想与丹尼尔·伯努利交流此一问题，却传来了故人去世的消息。他只留下一个猜想，猜测三十六军官问题无解，而这猜想要到 1901 年才由法国数学家泰利证明无误。

这道题目后来开启了组合数学分支的一系列研究，最接地气的一个成果是欧拉在此基础上发明了数学游戏「拉丁方块」，经过演化成为今日风靡于学生与上班族之间的游戏「数独」。