布丰的投针试验

布丰的投针试验

1777年的某一天，法国科学家布丰（1707—1788年）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

布丰像

试验开始，只见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”

不知道布丰先生要玩什么把戏，客人们只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔，而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3．142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”

听布丰这么一说，大家吃惊不小，一时异议纷纷，大家全部感到莫名其妙：“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀。”

布丰先生好像猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。

π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题，布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为L，投针的次数为n，投的针当中与平行线相交的次数为m，那么当n相当大时有：π≈2Ln/dm

在上面的故事中，针长L恰等于平行线间距离d的一半，所以代入上面公式简化得：π≈n/m

应该值得一提的是，后来有不少人步布丰先生的后尘，用同样的方法来计算π值。其中最为神奇的要算意大利数学家拉兹瑞尼。他在1901年宣称进行了多次的投针试验，每次投针数为3 408次，平均相交数为2 169次，代入布丰公式求得π≈3．1415929。这与π的精确值相比，一直到小数点后第七位才出现不同。用如此轻巧的办法，求得如此高精度的π值，这真是天工造物，倘若祖冲之再世，也会为之惊讶得瞠目结舌。

然而，对于拉兹瑞尼的结果，人们一向非议甚多，究其原因，也不能说都没有道理，因为在数学中可以证明，最接近π真值的，分母较小的几个分数是：

（1）22/7≈3．14（疏率）

（2）333/106≈3．1415

（3）355/113≈3．1415929（密率）

（4）103 993/33 102≈3．141592653

但拉兹瑞尼竟然投出了密率，对于万次之内的投掷，不可能有更好的结果了。难怪有不少人提出怀疑：“有这么巧吗？”但多数人鉴于拉兹瑞尼一生勤勉谨慎，认为他确实是“碰上了好运气”。事实究竟如何，现在也无从考查了。

聪明的读者朋友，你一定还想知道布丰先生投针试验的原理，其实这也没什么神秘，下面就是一个简单而巧妙的证明。

把一根铁丝弯成一个圆圈，使它的直径正好等于平行线间的距离d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。

现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至不相交。

因为圆圈和直线的长度都是πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线相交的交点的总数可能也是一样的。这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。

现在再讨论铁丝长为L的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度L成正比，因而有n：m＝kL，式中k是比例系数。

为了求出k来，只需注意到，对于L＝πk的特殊情形，有m＝2n。于是求得k＝2n/πd。代入前式就有：m≈2Ln/πd从而π≈2Ln/dm

这个式子，就是著名的布丰公式。

运用布丰公式，我们还可设计出求根2，根3，根5等数的近似值的投针试验。读者朋友们，难道你不想试一试吗？这只需把L/d选得等于你那个数就行，不过这时的π要当成知道的。

瞧，多么奇妙的概率！