偶然误差的表达

2.3.2　偶然误差的表达

1.误差和相对误差

在物理量的测定中，偶然误差总是存在的。所以测得值a和真值a真之间总有着一定的偏差Δa，这个偏差称为误差。

Δa＝a－a真　　　　　（2.3.1）

误差和真值之比，称为相对误差，即

误差的单位与被测量的单位相同，而相对误差无因次，因此不同物理量的相对误差可以互相比较。误差的大小与被测量物的大小无关，而相对误差则与被测量物的大小及误差的值都有关，因此评定测定结果的精密程度以相对误差更为合理。

例如，测量0.5m的长度时所用的尺可以引入±0.0001m的误差，平均相对误差为

但用同样的尺测量0.01m的长度时相对误差为

比前者大50倍。显然用该尺子来测量0.01m长度是不够精密的。

由误差理论可知，在消除了系统误差和过失误差的情况下，由于偶然误差分布的对称性，进行无限次测量所得值的算术平均即为真值

然而在大多数情况下，我们只是作有限次的测量。故只能把有限次测量的算术平均值作为可靠值

并把各次测量值与其算术平均值的差作为各次测量的误差。

又因各次测量误差的数值可正可负，对于整个测量来说不能由它来表达其特点，为此引入平均误差

而平均相对误差为

2.准确度与精密度

准确度是指测量结果的正确性，即偏离真值的程度，较准确的数据只有很小的系统误差。精密度是指测量结果的可重复性与所得数据的有效数字，精密度高指的是所得结果具有很小的偶然的误差。

按准确度的定义：

由于大多数物理化学实验中a_真是我们要求测定的结果，一般可近似地用标准值a标来表示。所谓标准值是指用其他更为可靠的方法测出的值或载之文献的公认值。因此测量的准确度可近似地表示为

精密度是指各次测量值ai与可靠值的偏差程度，也就是指在n次测量中测量值之间相互偏差的程度。它可判断所做的实验是否精细（注意不是准确度），常用三种不同方式来表示：

（1）平均误差：　　

（2）标准误差：　　

（3）或然误差：　　　　p＝0.6745σ

以上三种均可用来表示测量的精密度，但数值上略有不同，它们的关系是

在物理化学实验中通常用平均误差或标准误差来表示测量精密度。平均误差的优点是计算方便，但有着将质量不高的测量掩盖的缺点。标准误差是平方和的开方，能更明显地反映误差，在精密地计算实验误差时最为常用。如甲、乙两人进行某实验，甲的两次测量误差为＋1、－3，而乙的为＋2、－2。显然乙的实验精密度比甲高，但甲、乙的平均误差均为2，而标准误差甲和乙各为，由此可见用后者来反映误差比前者优越。

由于不能肯定ai离是偏高还是偏低，所以测量结果常用±σ（或ai±Δa）来表示。σ（或Δa）愈小则表示测量的精密度愈高。有时也用相对精密度σ_相对来表示精密度。

测量压力的五次有关数据列于表2－2。

表2－2　　　　　　压力测量数据

其算术平均值：　　

平均误差：　　

平均相对误差:

标准误差：　　

相对误差：　　

故上述压力测量值的精密度为98298Pa±6Pa（或98298Pa±4Pa）

从概率论可知大于3σ的误差的出现概率只有0.3%，故通常把这一数值称为极限误差，即

δ_极限＝3σ　　　　　（2.3.11）

如果个别测量的误差超过3σ，则可认为是过失误差引起而将其舍弃。由于实际测量次数不多，概率论不适用，而个别失常测量对算术平均值影响很大，为避免这一失常的影响，有人提出一个简单判断法，即

的ai值为可疑值，则弃去。因为这种观察值存在的概率大约只有0.1%。

3.提高测量结果精确度的措施

（1）首先按实验要求选用适当规格的仪器和药品（指不低于或优于实验要求的精密度），并加以校正或纯化，以避免因仪器或药品引进系统误差。

（2）测定某物理量时需在相同实验条件下连续重复测量多次，舍去因过失误差而造成的可疑值后，求出其算术平均值和精密度。

（3）将ai与a_标作比较，若两者差值ai－a_标＜Δa（ai是重复测量15次或更多时的平均值）或是重复5次的平均值），测量结果就是对的。如若），则说明在实验中有因实验条件不当，实验方法或计算公式等的系统误差存在。于是需进一步探索，用改变实验条件、方法或计算公式来寻找原因，直至公式使）。如不能达到，同时又能用其他方法证明不存在测定条件、方法或公式等方面的系统误差，则可能是标准值本身存在着误差，需重找新的标准值。

（4）仪器的读数精密度。

在计算测量误差时，仪器的精密度不能劣于实验要求的精度，但也不必过分优于实验要求的精度，可根据仪器的规格来估算测量误差值。例如的水银温度计Δa＝±0.02℃；贝克曼温度计Δa＝±0.002℃；100mL容量瓶。