5.4.3 m个因素的单纯形优化实验设计步骤
1.初始单纯形的确定
如上所述，要采用单纯形法进行实验设计，对m个因素，首先要构造m＋1个实验点作为初始单纯形的顶点。这里介绍三种构造初始单纯形的方法：一是在给定某一个顶点和步长后构造一个正规初始单纯形；二是在给定各个因素取值的大致范围内，按黄金分割法将各因素分成两个水平，再按一定规则应用这两个水平构造初始单纯形；三是利用均匀设计表直接构造初始单纯形。
（1）正规单纯形
先确定一个点X1（a1，a2，…，am），a1，a2，…，am为m个因素的某一起始水平，然后对每一个因素，根据经验，选择一个步长，假设其变化步长为δi，其余m个顶点如下
其中
（2）黄金分割法
如果知道了各因素的实验范围，可使用本法。先根据各因素范围按黄金分割法将各因素划分为2个水平，即0.382水平（水平1）和0.618水平（水平2），水平1位于相应因素范围内的0.382处，水平2则位于因素范围的0.618处。以5因素为例，可按表5－11的排列规则构造初始单纯形。
表5－11 黄金分割法构造的初始单纯形
表5－11中如A1，A2，A1/2分别表示该因素（A）的第一个水平、第二个水平和中间水平。前两个水平对应分割的0.382水平和0.618水平，而后一个水平则是这两个水平的平均值，即A1/2＝（A1＋A2）/2。
（3）均匀设计表法
均匀设计表可容纳的因素与水平较多，实验点在整个优化区间分布均匀，用均匀设计表来构造单纯形，不需要任何计算，只需根据实验的因素水平表选择合适的均匀设计表，并按其使用表的要求，直接填入U表即可确定初始单纯形。同理，按均匀设计表安排的每次实验对应单纯形的各个顶点。
2.单纯形优化
单纯形优化过程就是要比较各顶点Xi（i＝1，2，3，…，n＋1）目标值，去除目标值最差的顶点Xw，寻找使目标值最佳的顶点。设在单纯形中最好（Best）顶点为Xb、最坏（Worst）顶点记为Xw、次坏（Next worst）顶点记为Xn。单纯形寻优时引入新的实验点Xr，Xr是从Xw出发，对除Xw以外的m个点重心Xg进行反射映象而得的坐标。
可能存在的好点的位置Xr的坐标为
α称为反射系数，一般取α＝1，在改良（改进）的单纯形中，α可大于1或小于1。Xg，Xr，Xw均为m维向量，其中每个元素的数值表示这些点处m个因素所取的水平。得到Xr后，根据其提供的实验因素的水平做一次实验，比较新的单纯形（由原有m＋1个顶点除去Xw，引入新点Xr构成）中各实验点的目标值，找出新的最差点……
3.单纯形寻优时遇到的意外情况处理
（1）最差点映射得到的新实验点Xr在新单纯形仍为最差，就会出现死循环，则用新单纯形的次差点来寻找新的实验点，改变寻优方向。
（2）某个新实验点的因素水平超出该因素的限制条件（如出现负值等），则人为规定该新点为最差点。
（3）若一个实验点连续在m＋1个单纯形中保留，且该点为当前最佳点，则该点为所求的最优点。
4.基本单纯形寻优的特点
基本单纯形寻优的特点是步长固定。如步长大、收敛速度快，靠近最优点附近收敛精度就较差；若步长较小，在最优点附近收敛精度就会较好，但收敛速度较慢，实验次数较多。为了加快基本单纯形的收敛速度，不少研究者提出多种改进的单纯形优化方法，下面介绍一种常用的改进单纯形优化法。
5.改进单纯形优化
改进单纯形优化法确定初始单纯形，找最差点Xw步骤与基本单纯形法相同，其基本思想是在寻优过程中根据每一步的结果调整步长，这由最好点Xb、次坏点Xn及最坏点Xw的目标值相对大小决定，可分以下四种情况。
第一种情况，Xr的目标值是当前新单纯形的最佳点，表明该向正确，可加快优化速度，将单纯形扩大（如图5－14所示的Xe）。
γ为大于1的系数，称为单纯形的扩大系数（延伸系数），一般为1～2。
图5－14 单纯形扩大与收缩示意
如Xe的目标值好，表明单纯形扩大成功，寻优方向正确，保留Xe；如Xe的目标值比Xr目标值差，表明加速不成功。仍采用Xr构成新的单纯形。
第二种情况，反射点Xr的目标值在新的单纯形中既非最佳点，亦非最差点，但比次坏点Xn要好，仍以Xr代替Xw后继续寻优。
第三种情况，Xr在新单纯形中为最差点，需进行单纯形收缩。分以下两种情况。
①若Xr的目标值在新的单纯形中虽然是最差的，但仍比原单纯形中的最差点Xw的目标值好，新实验点（如图5－13所示的Xp）采用下式
式中，β称为收缩系数，一般为0～1。
②若Xr不仅在新单纯形中为最差，且比原单纯形的Xw还差，则
若Xp（或Xa）的目标值优于Xr的目标值，则用Xp（或Xa）构成新单纯形继续寻优；若Xp（或Xa）的目标值比Xr的还差，则按第四种情况处理。
图5－15 单纯形压缩示意
第四种情况，即Xr、Xw直线各点目标值均是最差时，对原来单纯形整体压缩，将原单纯形棱长缩小，保留原单纯形最佳点Xb，其余各点向Xb方向靠拢，n＝2时，压缩示意如图5－15所示。
注意：此处介绍的单纯形优化是一种基于最优化原理进行实验设计的方法，只不过是用做实验求得的目标值来替代用数学关系式计算的目标值，其原理方法与数学上的解析单纯形最优化方法无异。由于最优化方法求得的解往往不是唯一的，与初值有关，因此单纯形优化实验设计得到的可能是全局最优点，也可能是局部最优点。通常可从不同初始单纯形上出发寻优，如果最终得到的结果相同，则可能是全局最优条件。
以上介绍的是目标与因素之间无数学表达式时用单纯形法进行
优化设计，当目标与因素之间有解析表达式Y＝f（x1，x2，…，Xm）时（如在前面两节介绍的正交实验设计与均匀实验设计时获得目标值与实验因素间的数学关系后），就可以用单纯形法或其他最优化方法实现解析最优化，求得最佳实验条件。
例5－6 设有一光度分析体系，现要研究酸度（稀HCl浓度，mol·L－1）A，温度（℃）B，反应时间（min）C以及显色剂浓度（%）D等分析条件对该显色剂反应的影响，试用改进单纯形法寻找最佳条件。
解：根据初步实验，取得各因素实验范围见表5－12。
表5－12 各因素水平取值范围
按前面介绍的三种方法分别构造如下初始单纯形。
（1）设初始顶点为X1＝（0.2，30，15，1.5）；步长取因素水平范围的2/3，则经简单计算可得δ＝（0.6，40，40，2.0）；经方程（5－24）与方程（5－25）计算可得：p＝0.925 6a；q＝0.218 5a，由方程（5－23）求得初始单纯形的其余4个顶点见表5－13。
表5－13 正规初始单纯形
（2）采用黄金分割法，求得第一个因素的三个水平分别为
同理可计算其他三个因素的各个水平取值，将各水平值按表5－11规则构造初始单纯形结果见表5－14。
表5－14 黄金分割初始单纯形
（3）采用均匀设计表法，选用U5（54）均匀设计表，将各因素分成5个等间距水平后，列入U5（54）表中即成初始单纯形，结果见表5－15。
表5－15 均匀设计初始单纯形
获得初始单纯形后，就可根据单纯形优化法求最佳实验条件。由黄金分割法构造的初始单纯形获得最优结果的过程见表5－16。该表注明了各次单纯形寻优的操作类型以及构成新单纯形的顶点序号。下面以第6及第7点的计算为例说明单纯形寻优方法。
由初始单纯形可知，单纯形的最好点Xb为第1点、次坏点Xn为第4点，最坏点Xw为第3点；由方程（5－26）可求出去除最差点后的单纯形的形心点（重心）如下。
令α＝1，采用方程（5－27）可求得反射点各因素水平值如下。
该点即为第6点，其吸光度为0.828，比初始单纯形的最佳点1的吸光度0.612还好，故应进行单纯形延伸（扩大），由式（5－28）
可求出延伸点各因素水平值
此点即为第7点，其吸光度为0.945大于第6点（Xr）的吸光度，应保留此点，去除反射点（第6点）和最坏点构成新的单纯形（由1，2，7，4，5五点构成），再重复上述步骤，最后求出最优点（详见表5－16）。
表5－16 黄金分割初始单纯形寻优过程及最优结果
续表
同样，可以用方程（5－23）～方程（5－25）设计正规单纯形，或根据均匀设计表设计初始单纯形，进行单纯形优化求得最优实验条件。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
