圆周率计算的接力赛

圆周率计算的接力赛

刚下过雨，空气清新，祖恒鼻翼扇动，猛吸了几口气。他觉得自从随父亲来到南徐州后，又长高了许多，身体也比以前强壮了。他刚才在房间里看书，发现雨后天晴，便出来舒展着身子，享受着清爽的空气。这时，老仆人走过来说：

“少爷，刚才我在市上买东西，听一个当差的说，刺史大人要调回京城到皇帝老子身边做官了。”

祖恒继续活动着身子说：

“刺史大人回京与咱们有何相干？”

老仆人神秘兮兮地凑近祖恒身边说：

“少爷，你不晓得星星跟着月亮走吗？”

祖恒不解地问：

“什么意思？”

“老奴的意思是说老爷是跟随刺史大人来到南徐州的，如今他要回京城，难道还会不把老爷带回去吗？”

一句话提醒了祖恒，他立刻高兴地说：

“这么说我们也可以回京城了，可以回家了，可以看到爷爷、奶奶了！”

他高兴得跳起来，老仆人的眼泪在老脸上一行行地往下淌，祖恒惊讶 地问道：

“你怎么哭了？”

老仆人兴奋地说：

“我是高兴啊！”

不久，刘子鸾果然调回京城，在朝廷里兼任管理民政的长官司徒。司徒主管民事，负责征发徒役并兼管劳役和田地耕作。于是祖冲之又在司徒府做了公府差军。做州的从事和司徒府的公府参军，祖冲之算是进入了仕途。

这一天，没有风，天空是蔚蓝的。太阳照耀着这深绿色的平静的湖面，活像一面平平的、反光的镜子。

在湖边，祖氏父子正在漫步。祖恒今日特意将父亲引到此处换换脑子。

近日，祖恒见父亲整日伏在案上摆弄着筹码，有时从早晨一直摆弄到午夜。见父亲日见消瘦，时而发出咳嗽声，他越发觉得父亲已经衰老，背有些驼，腰有些弯，气力不如前时了。他非常理解父亲，却又为他担心。他知道父亲为了历法又遇到了数学问题了。一定是很难的问题，一般情况是难不倒父亲的。他暗暗下定决心，要协助父亲，为他老人家分担一点工作，也好减轻父亲的负担。

于是，他将父亲引出来，让那些整日占据着父亲的筹码，暂时休息片刻。让大自然还给他一个完整的父亲。祖冲之哪里知道儿子的良苦用心呢！他摸着胡须，想起儿时常来此玩耍。他清楚地记得每当有星光的夏夜里，吹着一点微风，长长的湖面便跳跃着许多闪光的星点。那时，他总是呆呆地看着，久久不愿离去。每当这时，他就有一种成仙的感觉。这湖好似银河一般，自己仿佛做了神仙。

他情不自禁地感叹说：

“此湖可以和天上的银河媲美啊！”

祖恒在旁不知其所以然，于是反驳说：

“它比银河更富于风韵。每当下起雨来，这湖更是迷人。那是银灰色的朦胧一片，像半醒的美女，又像带泪的婴儿那么单纯，那么可爱。它那雄浑的气魄，启发着人们懂得用力量去冲破困难，去追求光明。”

祖冲之看了儿子一眼说：

“这湖能有这么大的作用吗？”

祖恒为了转移父亲对那些筹码的专注，便故弄玄虚地问：

“父亲，您可知这湖叫什么名字？”

祖冲之听了，啼笑皆非。心想：我自小常到此处来玩耍，怎能不知此湖的名字呢？想到这里，他脱口说道：

“此湖乃石城湖。”

祖恒摇着头说：

“非也，此湖叫莫愁湖。”

祖冲之莫名其妙的地望着儿子问：

“何出此言？”

祖恒得意洋洋地说：

“这里还有一段小故事哩。”

祖冲之真的被儿子蒙住了，他急切地问道：

“有何故事？”

祖恒见父亲真的上了道，心中有说不出的高兴：

“据说有个少女住过这里。她勤劳、聪明、善良、美丽，但她身世很悲惨。她从河南洛阳嫁到石城的卢家，婚后不久，丈夫就应召远征。莫愁姑娘因生活无着落，便自己耕种一块地，但因节气有误，一连几年不见收成。莫愁姑娘过着非常艰苦的日子，后人由于对莫愁十分同情，把这个风景秀丽的湖泊和这位善良美丽的姑娘联系在一起，称它为莫愁湖。”

祖冲之闻听，长叹一声说：

“真难为这位姑娘了！若是能早日推行《大明历》，百姓受益匪浅啊！”

祖冲之的脸上立刻罩一层阴影。祖恒感到非常后悔，他本来想将父亲引出来散散心，让他把什么历法呀、天文呀、数学呀……统统丢到九霄云外去，彻底放松一下子，没想到又扯到《大明历》上来了。自己想来也很可笑，父亲真是三句话离不开本行，不知不觉就溜到那里去了。此时的祖冲之像中了魔似的，有板有眼地讲起来：

“在劳作和生活中常常要计算圆面积、圆柱的面积、圆锥体积等等，在计算中总要用到圆周率π，它是圆的周长与直径之比。一个小小的圆周率，外行人看着似乎并没有什么惊人之处，而熟悉它的人才知道它的精确数目是多么不容易求啊！”

祖恒听了父亲的话，频频点头说：

“父亲所言极是。世上的事都是如此，不管何事，看其表皮都觉得无所谓，叫起真来可就有学问了。不知有多少饱学之士曾为它呕心沥血啊！”

祖冲之听了儿子的话，觉得很有道理，便问道：

“你也在研究圆周率吗？”

祖恒歉意地说：

“不敢说研究，我只是看了看。”

祖冲之听了儿子的回答，颔首说：

“你可知圆周率最早出自何处？”

祖恒不假思索地说：

“当然应该是公元一百多年成书的《周髀算经》，此书中有‘周三径一’的记载，即圆周率为3。这当然是很不精确的。但它是最早的。

祖冲之不解地问：

“你怎么也研究起圆周率了呢？”

祖恒笑着说：

“常言道：有其父必有其子嘛。孩儿的血管流着父亲的血，怎能没有一点遗传呢！”

祖冲之欣慰地说：

“你说的一点都没错。后来，王莽时，刘歆制律嘉量，用的圆周率为3.1547和3.166这两个近似值。东汉著名的大科学家张衡则提出了‘10的平方根’和92/29这两个近似值。这些，都比‘周三径一’是大有进展了。”

祖恒接着说：

“他们是如何计算出这些数值的？”

祖冲之若有所思地说：

“他们的计算方法都已经失传了。先人的东西没有流传下来，很是遗憾！到三国时期，魏国的数学家刘徽确立了圆周率的科学计算方法割圆术。具体方法是用逐渐增加的内接正多边形来逼近圆周，即先作六边形，再作12边形，再作24边形……，如此一直进行下去。再用这些内接正多形的面来除以圆半径的平方，就得出了圆周率的近似值。而分割得越多，所得的圆周率也就越精确。当这个内接正多边形增加到无限多的时候，就几乎与圆周重合了，得到的圆周率就是最精确的数字。用割圆术求圆周率，是数学上极限思想的体现。眼下没有比此法再好的方法了。”

祖恒说：

“用割圆术计算，其过程如此复杂，一个数学家即使用尽毕生的精力，也很难到达极限呀！”

祖冲之颔首说：

“是呀，刘徽用毕生之精力才计算到内接192边形，得出圆周率在3.14+64/625与3.14+169/625之间。去掉尾数，得3.14或化为157/50。数学界将这个数值称为‘徽率’。”

祖恒摇着头说：

“谈何容易啊！他几乎数了一生筹码呀！”

祖冲之正色说：

“我总觉得他计算的结果不够理想，我要接过他的接力棒继续计算，争取得到更精确的结果！”

可是，好景不长。公元464年5月，南朝宋孝武帝刘骏因病去世。刘骏去世当天，太子刘子业在群臣的簇拥下，举行了登基仪式。

刘子业年时爱读书。初因年幼，居于永福省。公元458年入居东宫。他生性急躁，常惹其父不满。他的生身母亲王皇后也逐渐不得刘骏宠爱。殷淑仪因年轻美貌而宠倾后宫，她的儿子刘子鸾出生后，也深得刘骏的喜爱。而刘子业在父亲眼中，更成了横竖不顺眼的不可雕琢的朽木了。一次，刘骏起驾西巡，刘子业写信请安，字迹有些潦草，被刘骏狠狠责备一通。刘子业心中惶惧，连忙认罪。刘骏不满地说：

“你的字不长进，此是一条。听说你平素懈怠，脾气越来越暴躁，怎么如此顽劣呢！”

刘子业听了，心里虽然不高兴，表面却只有唯唯听命而已。后来，刘骏打算废掉刘子业，另立刘子鸾为皇太子。侍中袁极力谏阻，盛称“太子好学，有日新之美”，刘骏也考虑到随意废立太子于社稷不利，于是便打消了废掉刘子业的念头。但这一举动对刘子业震动太大了，致使他始终对父亲和八弟刘子鸾耿耿于怀。

刘子业即位不久，10岁的襄阳王刘子鸾被赐死。祖冲之也被调到娄县（在今江苏省昆山县东北）担任县令。

从此，祖冲之虽然生活很不安定，但他仍然继续坚持学术研究。

祖冲之不分昼夜，整日摆弄着筹码。在那些日子里，他不知道什么时候是白天，什么时候是黑夜。

用割圆术来求圆周率的方法，大致是这样：先作一个圆，再在圆内作一内接正六边形。假设这圆的直径是2，那么半径就等于1，内接正六边形的一边等于半径，所以也等于1；它的周长就等于6。如果把内接正六边形的周长6当做圆的周长，用直径2去除，得到周长与直径的比π=6/2=3，这就是古代π=3的数值。但是这个数值是不准确的。

如果我们把内接正六边形的边数加倍，改为内接正十二边形，再用适当方法求出它的周长，那么我们就可以看出，这个周长比内接正六边形的周长更接近圆的周长，这个内接正十二边形的面积也更接近圆的面积。从这里就可以得到这样一个结论：圆内所做的内接正多边形的边数越多，它各边相加的总长度（周长）和圆周周长之间的差额就越小。最初，我国劳动人民从实践经验中知道用3做圆周率值，即古代所说的“周三径一”，虽然比较粗略，但却是一项重要发现。

到西汉末年，由于建筑工程、机械制造、改进容器的精确程度以及天文历法研究工作等等的需要，粗糙的“周三径一”已满足不了实践的要求了。王莽时，刘歆受命造标准量器律嘉量。其精度要求很严。量是圆柱形，计算容积时就用到了圆周率。刘歆没有用3，而是用3.1547或3.166为圆周率的近似值。到东汉时候，科学家张衡在历法研究中曾用10的平方根（3.1622）和92/29这两个数作为圆周率值，其中10的平方根是世界上最早的记录。东汉末年，蔡邕（133—192）认为π＞25/8（3.125）。三国时，吴人王蕃（219—257）由于研究天文的需要也曾以142/45（3.155…）为圆周率值。这些新值比π≈3是好了一些，但还不够理想，而且可能都是从经验上试验得到的，而不是用科学方法求得的。

到三国时代，由于考核度量衡和天文历法研究的需要，终于建立了圆周率的科学计算法——割圆术。首先用这种方法计算圆周率值的是我国历史上最杰出的平民数学家刘徽，他在公元263年注解《九章算术》这本数学书时，把割圆术详细地记录了下来。刘徽割圆术求圆周率的基本内容是这样的：

在单位圆（半径为1尺）内作内接正六边形，然后倍增边数，依次求出圆内接正12边形、正24边形、正48边形、正96边形和正192边形的面积。后两者的面积各为313584/625（平方寸）和31464/625（平方寸），设S为圆面积，刘徽有下面的式子：

31464/625＜31464/625+31464/625-313584/625或31464/625＜S＜314 169/625

他在这时弃去分数部分，把314（平方寸）取做圆内接正192边形的面积。因为已经假定圆半径r为1尺，以r²=100（平方寸）去除314则得3.14，这就是π的近似值。刘徽又用几何方法把3.14化为157/50，后人称他为“徽率”。他还清楚地看到：“圆的内接正多边形的边数越多，它的面积和圆面积之间的差数就越小；当内接多边形的边数增加到无限多时，多边形就与圆重合在一起，它的面积和圆面积之间的差数也就没有了。”这已经具备了近代数学上的极限观念，是我国数学史上一项光辉的成就。

由于考核度量衡和天文历法计算上的实际需要，祖冲之在前人的基础上深入研究了圆周率。

月亮升起来了，庭院里稍有些凉爽了。祖冲之头不抬眼不眨地忙碌着。只见他两手不停，不一会儿，在他的周围摆成了规则的内接正六边形，好似八卦阵。摆着摆着，在他的身子下面就摆成了一大片。他像坐在八卦阵里的大蜘蛛，又好似铺了一张米黄色的地毯，他在当中打坐，祈求上苍保佑天下的百姓过上安居乐业的日子。这乍一看很简单，其实需要长年养成的熟练和灵巧，而在他手里干得麻利极了。

祖冲之用一种神经质的急促动作卷起衣袖，把一把把筹码迅速地变成规则的多边形。他有时兴奋得眼睛冒着异样的光，这是由于要实现心爱的梦想，心痒难熬。

……

他一边摆弄着，一边叨念着，这里放几根，那里放几根，总是放得恰到好处，简直可以说是一幅新的图画，而且是沐浴在光辉中的一幅图画。他用那么高涨的热情工作着，以致汗珠布满了他的前额；他的动作焦躁、突然而短促，进行得很快，以致年轻的祖恒看来，仿佛有一个魔鬼附在父亲身上，用他的手动作，而且是违反他的意志、想入非非地抓住他的手在动作。他的眼神是那样的专注和投入，他的抽搐似的动作仿佛是在抗拒魔鬼。这一切都触动了一个青年人的想象力，给他想象的东西增加了逼真感。

功夫不负有心人，这个接力棒传到祖冲之手里，经过他艰辛的努力，终于求出了当时世界上最好的近似值。他学习过《九章算术》和刘徽注文，并且自己也给《九章算术》作了注解。祖冲之在研究《九章算术》的时候，从刘徽注文中学到了割圆术这种求圆周率的科学方法。可是他认为刘徽的结果π=157/50还不够精确。于是，他利用割圆术，在刘徽的基础上继续推求，一直计算到圆内正接1536边形的时候，得出圆周率3.1416。把它化成分数形式，就是3927/1250。这个结果是当时世界上最好的，印度古代著名数学家老阿耶波多（Arya-bhata）后来也在自己的著作中引用了这个数值，但比祖冲之晚了好几十年。

祖冲之得到这个结果，自然很高兴。可是他并没有满足，而是继续进行了研究，终于得到了更出色的成就。

祖冲之在圆周率方面的更好的成就，在唐初官修的一部历史书《隋书》中保留了下来，并且传到现在。《隋书》卷十六“律历志”中有这样一段记载：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延法宗之徒各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事吏祖冲之更开密法。以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肉数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肉二限之间。密率：圆径113，圆周335。约率：圆径7，周22。”

这段话包括三部分，第一部分是说古代数学中，以3为圆周率值，很粗糙。第二部分是说刘歆、张衡等分别采用新的近似值，但也都不理想。第三部分是说刘宋末年在南徐州做从事吏的祖冲之“更开密法”，把一丈那么长的圆径分成1亿微，求出圆周长的“盈数”（过剩近似值）和“肉数”（不足近似值），而圆周率在“盈肉二限之间”，即：

3.1415926＜π＜3.1415927。

密率为：π=355/113（化为小数是3.1415926）

约率为：π=22/7（化为小数是3.1415927）

祖冲之是我国数学史上第二个用“盈肉二限”来限制一个无理数的大小范围的数学家。上面的不等式是说明无理数π的值不会超出那两个固定数（常数）3.1415927和3.1415926之外。这种方法也是现代数学研究中所常用的。因此，祖冲之在使用这一方法方面也有一定意义。如果我们取盈肉二限的相同部分，即取3.141593作圆周率的近似值，已经准确到小数第六位；如果取二限的平均值，即（3.1415927+3.1415926）÷2=3.14159265作为圆周率的近似值，就准确到小数第8位。这些都是当时世界上最好的结果。900多年以后，中亚数学家阿尔·卡西求出圆周率值的前16位小数，才超过了祖冲之。

至于密度π=355/113的求得，更是世界数学史上的伟大创造。用分数355/113来作为圆周率的值，在外国要到16世纪。公元1537年德国的渥脱（Valentin Otto）重新求出355/113；也有人说是荷兰人安托尼兹（A.Anthonisz，1527—1607）所求得。因此，在欧洲常常有人把355/113称为“安托尼兹率”。但是，都比祖冲之的同一结果晚了一千年以上。因此，世界上公正的人士认为应该把发现355/113的荣誉给予祖冲之，例如日本的三上义夫就建议把它叫做“祖率”。

祖冲之的“盈肉二限”和密率、约率都是沿袭刘徽的割圆术。其实祖冲之不仅继续刘徽的从圆内接正六边形起算，而且他又加以推广，同时从外边正六边形起算。此外，祖冲之直接去求周长，而不是去求面积。

圆内接正六边形的周长永远小于圆的周长，设L_n为圆内接正n边形的周长，D为圆的直径，L_n与D之比就是圆周率的不足近似值，即

L_n/D＜π。（1）

同样的，圆外切正多边形的周长永远大于圆的周长，设L_n′为圆外切正n边形的周长，那么L_n′与D之比就是圆周率的过剩近似值，即

L_n′/D＞π。（2）

由（1）和（2）很自然地得到

L_n/D＜π＜L_n′/D，（3）

L_n/D＜和L_n′/D就是“盈肉二限”。从正六边形起算倍增边数到12次，求到圆内接正6×2¹²（=24576）边形时，得周长L₂₄₅₆₇为314159261，而D=100000000，于是有：L₂₄₅₇₆/D=3.14159261。因是内接，故得3.14159261＜π。

同样求到外切正6·2ⁿ（=24576）边形时，得周长L₂₄₅₇₆′为3141592702，得

π＜3. 141592702。

按四舍五入法则舍去上两个不等式小数第七位以后的奇零，并不影响不等式的成立。祖冲之就这样得到了他的“盈肉二限”：

3.1415926＜π＜3.1415927。

祖冲之使用下面的方法，求出他的密率和约率：

祖冲之在一系列割圆计算当中，得到许多圆周率近似值。由于他求出盈肉二限之后，就没有再往下计算，所以他所求出的那许多圆周率近似值的准确位数都少于盈肉二限，如果用分数来表示就比较容易。原来刘徽就把3.14用几何方法化成157/50。祖冲之在注《九章算术》时也曾把3.1416化成分数3927/1250。后来他可能还是用类似方法把许多圆周率值化成分数形式，而其中22/7和355/113两个分数很整齐，便于记忆，就把它们保留下来。这两个分数值都大于圆周率真值，因而是由圆外切正多边形求得的。计算到圆外切正96边形时得到π=3.14271459…，和22/7（=3.14285714…）只差0.00014255…，故疑22/7由3.1427化得；又当求到圆外切正6144边形时，得π=3.14159295…，和355/113（=3.1415929…）相差极微，故疑祖冲之由小数3.1415929化为分数355/113。因为22/7=3.142857只准确到小数点后第二位，是粗糙而约略的，所以祖冲之便称22/7为“约率”；而355/113=3.1415929…比约率精密得多，故称“密率”。

比刘徽更早推算圆周率的，是我国汉代的经学家和数学家刘钦，距今约两千年。后又经过祖冲之和阿尔·卡西的接力赛，圆周率的计算越来越精确了。