折射定律与费马原理

折射定律与费马原理

托勒密的折射定律在欧洲流行了一千四百多年。开普勒在阿勒·哈增之后，进行了实验验证后进一步指出：托勒密的折射定律在入射角小于30°时成立，大于30°时不成立。他认为，折射角由两部分组成，其一正比于入射角，其二正比于入射角的正割。这是不正确的。开普勒提出了光的内全反射的概念，他用实验证明，光线由空气射向玻璃，折射角不能大于42°，并根据光路可逆性定理，指出光由玻璃射向空气，当入射角大于42°时，空气中无相应的折射光线，即光线全部返回玻璃，发生了全反射。全反射现象是光由光密介质射向光疏介质界面时的特殊情况，它与折射现象紧密相联；全反射原理，是现代光学纤维通讯的基本依据之一。这些光学知识都记载于1611年他所著的《屈光学》一书中。

1615年，斯涅耳精心地进行了折射实验，他在方形器皿中盛水，水上为空气。在水面上方沿OD方向观察水中发光点F，F点就像在B点一样。斯涅耳对此进行数学推演，他以D为圆心，以DF为半径作圆，并过F点向水面引垂线FA，设FA与OD延长线交点为C，则得

即光线由空气射向某种介质时，入射角的cosecrDFDF/sinr余割与折射角的余割之比保持相同值。

这个实验及折射定律的表述是1626年从斯涅耳的遗稿中发现的。斯涅耳是最先找到光的折射定律的科学家，所以直到现在人们常称折射定律为斯涅耳定律。

1637年，笛卡儿在《屈光学》一书中，提出了折射定律的现代形式。他以运动着的小球作比喻，使小球自一种介质通过与加一种介质的界面产生偏折后，继续前进，即发生了折射现象。他假定，在同一种介质中小球的速度与方向无关，折射时小球平行于折射平面的速度分量保持不变，垂直于折射平面的速度分量发生了变化。他在《屈光学》中写道：“光的作用同这个球的运动遵循同一法则。那就是光线由一透明物体向更容易或更困难接受光线的另外物体斜射时，更容易接受光线的物体与其他物体的界面相比，常常将光线改变为稍偏斜的方向。而且，这正好与那个物体接受光线比别的物体更容易的程度成比例。只是这里必须注意下面问题，即这个倾斜度根据CB或AH，EB或IG这些互相加以比较的线段的长度加以测定。”“对线段AH与线段IG，或诸如此类之间的比，对由同一物质产生的折射，始终相同，无变化。”

笛卡儿接着写道：“由于折射全部归于一个测定，不仅相当准确可靠而且实施起来也没有困难。这是因为要了解产生于同一表面的全部折射，只需要一条光线就足够了的缘故。”

在比喻中，笛卡儿还说：“球碰到软的物体比碰到硬的物体更容易丧失运动，就像碰到有桌布的桌面上比直接碰到桌面本身更难以弹起来一样。这个细微物质的作用在空气中的各部分（由于空气柔软、不坚固地结合在一起，对它作用时，不显示太大的抵抗）比在水中的各部分（水比空气显示更大的抵抗），受到更大的妨碍。或在水中的各部分受到比玻璃或水晶更大的妨害。这并不足为奇。这样，透明物体的组成部分，越硬越坚固就越容易通过光线。”这段话表明，笛卡儿认为，光密介质容易传播光线，即光密介质中的光速大于光疏介质中的光速。基于这些假定，笛卡儿得到了关系式＝＝常数。

这就是光的折射定律的现代形式，人们有时又把它称为光折射的正弦定则。不过笛卡儿认为：这一常数等于第二种介质中的光速与第一种介质中的光速之比。

折射定律是几何光学中最基本最常用的经验定律。笛卡儿关于光在光密介质中的速度大于在光疏介质中的速度的假定，受到了费马的批评。1662年1月1日，费马在写给朋友的一封信中说：“笛卡儿对自己的原理不作任何证明，我这样说是因为，所谓比喻在证明中不起任何作用。而他又错误地运用了比喻，作出了光在较密的物体中比在较疏的物体中更容易前进的假定，这显然是错误的。”……“我在这封信中想指出如下看法：即如果在折射研究中，想运用极其一般而不可动摇的原理——自然常常通过最短的捷径进行了运动的话，就会立即发现我所寻找的计算。”

接着，费马对折射作了分析。他说：“以ACBI为圆，其直径AF、BD隔开了两个性质不同的介质，而且，在这两种介质中间假设较疏的介质在ACB一边，较密的介质在AIB一边。圆的中心为D点。从已知点C向圆心D有光线CD射入。求：被折射的光线射向前进方向上的I点。引出与直径垂直的直线CF、IH。因为点C、直径AB和圆心D是已知条件，点F和直线FD也成了已知条件。那么，两种介质即较密的介质与较疏的介质的抵抗之比，等于已知条件中的线段DF和已知的圆外线段m之比。当然，线段m短于线段DF，这是因为较疏的介质的抵抗比较密的介质的抵抗小的缘故。它与其说是根据其本性，不如说是决定于公理。”

费马认为，介质的抵抗与光速成反比，即光疏介质中的光速大于光密介质中的光速。

接着他又设半径CD＝DI＝n，线段DF＝b，DH＝a，经过较为复杂的推导得到DH＝a＝m。于是，他说：“这样一来，折射点便明确地被发现出来，较密介质的抵抗与较疏介质的抵抗之比，即b与m之比成为线段DF与DH之比。引出直线CD和CF，又由H点向直径引垂线HI——它在点I与圆周相重，折射光线向那里运动。因此由较疏介质向较密介质进行的光线是近于垂直的折射。这一事实与笛卡儿发现的定理完全并普遍地一致。上述分析，是根据我的原理推导出的对这一定理的最为正确的证明。”

费马去世前没有发表著作，在他去世后九年，由他的女儿发表了以他的名字命名的费马原理。费马原理的内容如下：光线在空间两点间传播，其路径的光程必取极小、极大或常值。

据费马原理，可以简捷地说明光在均匀介质中沿直线传播，解释光路的可逆性，导出光的反射定律。用它得出的折射定律形式为＝常量

这是折射定律最确切的表达式。

费马原理是几何光学各经验定律的高度综合与抽象，其思想水平高于经验定律，它是光在介质中传播路径的普遍规律。折射定律的确立与费马原理的提出，为解决光学系统的定量计算提供了理论依据。

1647年，卡列瓦里求得了双凸及双凹透镜的焦距公式，他的结论是：对于曲率半径指向异侧的一切凸透镜和凹透镜，二折射球面的曲率半径之和与向着平行光的那个折射球面的曲率半径之比，等于另一折射球面曲率半径的二倍与焦距之比。即

此式对空气中的玻璃透镜（n＝1.5），显然是正确的。

1693年，哈雷参考卡列瓦里等人的研究成果，得出了透镜焦距的普遍公式，即

式中的n为透镜介质的折射率，f为第二焦距。焦距公式的导出为解决透镜成像规律迈出了重要的一步。