力中的经典定律

力中的经典定律

摩擦定律、滚动和滑动定律

在我们的周围，有各种各样的摩擦现象。人走路、坐定和工作，得依靠摩擦；各种车辆行驶，要依靠摩擦；任何房屋建造，离不开摩擦；就是耸入云霄的高山，也要依靠岩石、砂和土之间的摩擦……假如摩擦在世界上突然消失了的话，人无法走路，手无法拿东西，桌椅、板凳就要散架，汽车、自行车装配不起来，任何建筑物也不可能建造起来，一切物体都要向低处滑溜……应用和研究摩擦也就成为力学中的最重要课题之一。

法国著名科幻小说家儒勒·凡尔纳曾在他的《马蒂斯·桑多尔夫》中，描写了一个名叫马蒂夫的大力士，他力大如牛。作者在书中写了这样一件事：

“特拉波科罗”号这艘50吨重的新船停在船坞里，正准备下水，人们只要把绳索砍断，船就会很快滑下去。

“呼”的一声，香槟酒瓶撞在船头上，酒沫飞溅，船工们砍断缆索，新船“特拉波科罗”号立即沿滑架向水中滑去。

突然，有一只快艇驶来，眨眼工夫，快艇已驶到船坞正前方。这时，眼见滑下水的新船“特拉波科罗”号将和这艘快艇相撞，岸上的人都惊恐万状，束手无策。

就在此时，只见马蒂夫一个箭步跨到船跟前，抓住拴在船头的缆索，在埋入地面的铁桩上绕了几圈。他冒着被甩死的危险，用手拉住缆索僵持了大约10秒钟。最后绳索断了。

可是这10秒钟时间已经够了！“特拉波科罗”号进水以后，只轻微地掠了一下快艇，就向前驶去了。快艇脱了险，马蒂夫也安然无恙。

马蒂夫的勇敢行动确实令人敬佩。可是，从力学角度看，任何一个能使出10千克力的人，即使是个孩子，也能创造这一奇迹的。这是因为摩擦力帮了他的忙。下面不妨请你算一算。

原来，绕在铁桩上的绳索在滑动的时候，摩擦力可以达到极大的限度。绳索绕的圈数越多，摩擦力也就越大。摩擦力增长的规律是：如果圈数按照算术级数加多，摩擦力就按几何级数增长。

18世纪数学家、力学家欧拉，曾经确定过摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数有下列关系：

F＝feka

式中f表示我们所用的力，F代表我们所要对抗的力（也就是希望绳索产生的摩擦力）。e表示数2．71828……（自然对数的底），k表示绳和桩子之间的摩擦系数。a表示绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径之比。

把这个公式应用到儒勒·凡尔纳的故事里，所得到的结果非常令人吃惊。由于新船“特拉波科罗”号的重量是50吨，假定船坞的坡度是1／10，那么作用在缆索上的力只有船重的1／10，也就是5吨。

现设k，即缆索和桩子之间的摩擦系数的数值为1／3。并假定马蒂夫曾经把缆索绕桩3圈，那么

把这些数值代入欧拉的公式，可得

所以，尽管马蒂夫是大力士，但他只用10千克的力，就可以把缆索拉住。

1781年，炮声隆隆，英法两国正为争夺殖民地而交战。法国政府看到自己的海军力量不如英国，就决心在改进海军设施的设计上下功夫。

于是，该年法国科学院进行悬赏征文，其中有一个题目是“关于摩擦定律和绳索的牢固性问题”。要求是“做新实验，结果应有大规模应用的价值，并能运用到对海军有价值的机器，例如：滑轮、绞盘和斜面上去。”

没过几个月，一辆马车驶近的响声，在科学院的大门前停止了。原先坐在院秘书处的那个男人，仔细听了一下从门口传来的声音，便站起身来，信步走到窗前，一眼就看出，是皇家工程部的高级军官库仑，从马车里走了下来。

原来是库仑亲自前来送交应征论文。他的这篇题为《简单机械的理论》的论文，紧紧围绕与滑轮、绞盘和斜面密切有关的实验研究，观测得是那样仔细，分析得又是如此透彻。因而不久就赢得了该奖。

库仑以其敏锐的眼光，指出影响摩擦力的因素有：接触表面的性质及其涂层，表面承受的压力，接触时间，表面滑动的速度，空气的湿度或干燥程度等条件，一共12项之多，从而具体明确地表述了摩擦定律、滚动定律和滑动定律。

库仑还以其灵巧的双手，逐项逐项地进行试验，经过艰苦的研究，他总结出下列经验公式：

（1）对于滑动面之间的摩擦：

式中，F表示摩擦力，P表示正压力，μ为摩擦系数的倒数，A表示一恒定不变的力。

（2）对于斜置的滑动面

式中，n为斜面与水平面的夹角，m为力F的作用方向与斜面的夹角。

（3）对于滚动摩擦

式中，r为圆筒半径，k为滚动摩擦系数。正由于库仑对摩擦力的卓有成效的研究，他不仅得了奖，而且于次年当选为法国科学院院士。为了保持较好的科学实验条件，库仑仍在法国军队中服务，但他的名字却传遍了欧洲科学界。

胡克定律

胡克定律是表示弹性力与形变之间关系的定律。弹性力是自然界中广泛存在的一种力。例如，弹簧形变时产生的力，泡沫塑料被压弯后要恢复原状时产生的力；扭转柱体或轴杆的扭转角很小时所受的力等都是弹性力。

弹性力的变化遵循一定规律，这个规律是由胡克首先发现的，但当时却用字谜的形式予以公布。胡克为什么要用字谜公布自己的发现呢？这里面也蕴含着一个耐人寻味的故事。

胡克对空气泵的改进取得很大成功，计时器的研究又引起他极大兴趣。在这以前，摆钟已由伽利略发明，但一台附有摆锤的计时器携带起来很不方便，特别是在航海的船上更是需要便于携带的计时器。

头脑机灵的胡克就想，如果能用螺旋弹簧来代替摆锤，从螺旋簧的振动获得等时信号，不也可以控制计时装置吗？

正是一个奇妙的设想，在这里胡克创造性地把弹簧形变时产生的弹性力和计时器指针运动所需要的推动力紧密地联系起来。

顺着这条思路，聪明能干的胡克把螺旋弹簧安在平行轮的轴上，组成一套能够不断摆动的摆轮，再装进计时器中。新颖的设计方案，立即得到几位有威望的科学家的支持，胡克还准备申请专利。可是不知什么原因，当时这项研究没有继续进行下去。

过了好几年，荷兰物理学家惠更斯制成用螺旋弹簧控制的钟。胡克一得到这个消息，顿时满腹疑虑，心甚不平。他怀疑自己的发明被他人剽窃了。于是，这位能干的实验家，心急火燎地找到时钟制造者汤平，两人在实验室里合作制成了一台弹簧钟。望着这台新计时器，胡克内心充满喜悦，又忧虑重重，以致别出心裁地在上面刻写着“罗伯特·胡克发明于1658年，托马斯·汤平制作于1675年”。发明年份与制作年份先后相差17年，其用心可谓良苦。不仅如此，一心要夺回新计时器发明权的胡克，还集中相当多的精力投入有关弹簧弹性的研究。他进行一系列实验，正是在实验中，探索到一个重要的结论：任何弹簧的弹性都与其张力成正比，并可简短地表达为：“弹性与力成正比”。

此时的胡克欣喜若狂，但定心一想，又惟恐再次丧失发现权。怎么办呢？踌躇不前的胡克思考再三，决定采用下列字谜的形式：

这个字谜的内在确切含义，要人们去猜度是极困难的。原因在于，它把弹性与力成正比的表述的每个印刷符号都拆开，并按音序重新加以排列。这样一来，胡克自认为是保住了有关弹性定律的发现权。

两年后，胡克在他的《论弹性的势》一书中解开了上面提到的字谜，并宣称他在18年前便发现了这个定律。

胡克在书中，还用四种弹性物体的行为来说明该定律：

（1）一个轴垂直的金属丝螺旋，上端固定，下端荷载秤盘和砝码。随着增加荷载，此螺旋成正比伸长。

（2）把一根钟表发条上紧成垂直的螺线，里端固定，外端附着在一个与此发条同轴的轻巧的齿轮的辋上，后者盘绕有一根线，丝线的松端悬吊一个很轻的秤盘。秤盘中加载多大的砝码，这齿轮即能转过多大的角度。

（3）在一根悬吊的长长的线（胡克建议长度为20、30 和40英尺）的下端装上一个秤盘。每在秤盘中加载一定的砝码，这线就会伸长相应长度，这可以用罗盘测量从地面到秤盘的距离来获知。

（4）给干燥木质的伸臂的自由端加上荷载，可以用来证明挠曲变形也遵循这条定律。

胡克没有明确提到弹性限度问题，但从他的叙述中实际上已暗示了这一条件。

这个定律后来经过柯西于1882年引入应力与应变这一对概念，以及格林1837年的改进，成为在弹性极限内，表示应力与应变之间的线性关系的定律。尽管如此，这个定律现在公认是由胡克提出的。

阿基米德定律

涉及到浮力，人们就会想起阿基米德发现浮力、曹冲称象的故事。其实自然界中的浮力，早为人们所认识，无论在古代还是在现代，都得到广泛的应用。

大家知道，关于浮力的定律，今天就叫阿基米德定律，阿基米德发现这一定律的过程，是通过古希腊学者维特鲁乌所写的书流传下来的。书中叙述了这样一个有趣的故事：

海罗在叙拉古取得王位后，为了庆祝自己的胜利，决定制造一顶纯金王冠放入圣庙，奉献给不朽的神灵，以表示还愿的心意。为此他给工匠称了适当重量的黄金，并限期做出。到了限期，工匠送来了制成的王冠，它精美无比，而且重量和当初称给他的黄金的重量相符。海罗王大喜。但后来传出的消息说，工匠偷窃了黄金，而所缺的分量用白银代替了。海罗王为自己受骗而十分气愤，但是他无法判定工匠的盗窃行为。于是，他就请智慧的阿基米德想办法。阿基米德受命后，一天他去洗澡，一跳进装满水的澡盆。他就发现他身体漫出澡盆多少，就有多少部分的水从盆中溢出。由于他心里老是想着如何解决那个王冠问题，这一发现使他恍然大悟，终于找到了他朝思暮想的方法。

根据这个发现，他做了两件重量与王冠相等的物体，一件是纯金的，另一件是纯银的。然后他在一个大盆里放满了水，先是把银件放了进去，有些水溢出来了。这溢出的水的体积和银件的体积是相等的。然后，他把银件拿出来再用量杯向盆中倒水，直到水又满盆为止。这样他就测出了与一定量的水相对应的银件的体积。

做完这个实验后，他又把金件放入盆中，水又溢出一些，然后取出来，再用量杯把水倒入盆内。他发现这次溢出的水没有上次那么多。这就是说，金件的体积比重量相等的银件的体积小。最后，他又在水盆中放满水，并把王冠放进去，发现王冠排出的水比同样重的金件排出的水要多，这说明金冠里掺入了白银，那个工匠的盗窃行为被揭露了。

根据维特鲁维写的这样的描述，阿基米德是利用“体积替代法”，即利用水来测出不规则物体的体积的方法来解决王冠问题的。在这个故事里实际上他并未用到浮力原理，甚至在操作过程中也根本未利用浮力。因此，用这个故事说明阿基米德发现浮力原理是不确切的。这个方法有些类似我国曹冲称象时用的方法。但是，如前所述，曹冲用的是一种重量替代法。浮力在他的方法中起了重要的作用，他利用了水面上漂浮的物体所受的浮力和重量平衡的原理。

尽管如此，古希腊留下的文献证明，阿基米德的确提出了浮力定律。在《论浮体》一书中，阿基米德从下述的假设开始。液体有下列基本性质：在液体内所有均匀而连续的区域内，受到较大压力的部分对受到较小压力的部分施加向上的力。但是，液体的每一部分发都受到其正上方部分的压力，只要后者正在下沉或受到其他部分的压力。

在这样的基础上，他论证了一些命题，例如：

命题2：任一静止液体的表面是以地心为心的球面（的一部分）。

命题3：凡与等体积液体等重的固体，若置于液体内，它必将浸没到使其表面不致露出液面，但不会浸得更深。

命题5：若将轻于液体的任一固体置于液体内，它将下沉到这样的程度，使该固体（在空气中）的重量等于其排开液体的重量。

命题7：若将一重于液体的物体置于液内，它将下沉到液底，且若在液体内称其重量，则它减轻的重量等于其排开液体的重量。

这后三个命题虽然没有用到浮力的词句，但是确切地说明了物体在液体中所受浮力的规律，命题7尤其是这样。今天我们的叙述是：浸入液体的物体所受的浮力等于它所排开的液体的重量。

万有引力定律

万有引力定律，是人类长期社会生产实践和科学实验的产物。还在公元前4世纪，希腊人就产生了各个天体环绕不动的地球运转的思想。此后，亚里士多德据此制定了关于宇宙结构的“地心说”。到了公元2世纪，亚历山大城的托勒密则用数学方法把这幅宇宙结构图景加以完善化和系统化，用单纯的匀速圆周运动的配合来表示观测到的行星的运动，提出了一个以地球为不动中心的太阳系构造学说。这样一个宇宙模型，虽然在当时观测的精确程度范围内，能够说明某些天体运动的现象，但是，它的哲学基础却是唯心主义的，它没有正确地反映出天体运动的客观真实情况。

这个学说，由于认为宇宙是有限的球形，全部宇宙被封闭在第八层天（恒星天层）的甲壳内，地球位于特殊的中心位置，除地球之外的一切天体都具有严格的正圆的形状，表面绝对光洁，而且循着“最完善的”几何形状——圆周轨道作天然的、永恒的循环运动。所以，这个体系就被宗教利用来论证“天上”与“地上”是严格区分开的宗教信条：“天尊地卑”。“上帝为了人类而创造宇宙，”“人类是天之骄子，居住在宇宙的中心”，等等。这样，托勒密的宇宙体系就成了宗教世界观的重要基础。“地球中心说”和神学融为一体，在西欧一直严密地统治着人们的思想达一千多年之久。

但是，随着人们对行星运动观测的进步和精确化，为了消除理论计算和实际观测之间的偏差，托勒密的宇宙结构图也被搞得愈来愈复杂、愈混乱。不仅不能帮助人们清楚正确地认识天文现象，而且还产生出一些荒谬推论。这就使许多天文学工作者对这一体系发生了怀疑。

15世纪以后，对资本主义发展十分必要的远洋航行的发展，需要制定极精确的天体运行表以用来准确地确定远离大陆的船只的位置，这就要求对太阳系的真实的构造和各个星体的运行规律有正确的了解，消除地球中心说所带来的谬误。同时，资本主义农牧业的发展，也需要有更精确的历法。当时欧洲以地球中心说为基础的历法，长期混乱不堪，大部分沿用公元前1世纪制定的太阳历，每年定为日，比地球绕太阳公转一周的实际时间约长11分钟。这个差数一年年积累，到16世纪已比实际时间差不多提早了10天，大大影响了农牧业生产。

在当时，用新的宇宙体系去代替托勒密体系，还不仅仅是一个正确与谬误的斗争，而首先是一场尖锐的阶段斗争。因为新兴资产阶级所进行的政治革命，要求必须冲破作为封建宗教思想统治的精神支柱的托勒密的神学宇宙观。

于是，在当时已经获得的丰富的天文观测资料和已经掌握的足够准确的数学方法的基础上，直接受到过资产阶级文化运动影响的波兰天文学家哥白尼明确提出了地球绕轴自转，地球和一切行星都绕太阳公转的“日心地动说”的宇宙图景。

哥白尼的“太阳中心说”，推翻了被封建统治阶级和宗教所维护的托勒密的“地球中心说”，把宗教教义所颠倒了的客观规律重新颠倒过来。这是科学对宗教神学斗争的胜利。哥白尼体系的提出，是整个自然科学史上具有划时代意义的一次革命。它摧毁了地球中心、人类中心的神学宇宙观；它指出地球和其它天体都受着统一的规律的支配，根本不存在“天上”和“地上”的实质性对立，摧毁了“神创观”，为太阳系的自然形成和发展演化的学说的产生开辟了道路。因此，哥白尼学说引起了人类宇宙观的巨大革命，并使人们对自然界的研究从宗教的束缚下解放出来；这个学说的出现，标志着近代自然科学的诞生，也为古典力学的发展开辟了道路。

哥白尼的“日心地动说”提出后，许多人对天体运行作了长时期的大量的观测。

1608年，荷兰的磨眼镜工人发明了望远镜。伽利略得知这一消息后，制成了放大到32倍的望远镜。他第一个把望远镜用于天文观测，获得了一系列使当时人们大为震惊的发现：月球表面有起伏不平的山谷，太阳表面有形状极不规则的黑子。这就彻底破除了关于不同于地球的“理想天球”的宗教观点。金星的相的变化现象，清楚地证实了它的绕日运行；木星的四个卫星的存在，推翻了只有地球是各个天体运转的中心的谬论。伽利略的这些重要发现，成为哥白尼学说的有力证明。

德国天文学家开普勒与当时丹麦天文学家第谷·布拉赫一起进行天文观测。第谷死后，开普勒对第谷的遗稿及大量观测记录进行了整理，发现火星绕日运行的轨道不是亚里士多德和托勒密所断言而又为哥白尼无条件地接受下来的严格的圆形。他通过进一步的辛勤的长期观测和极复杂的运算，在1609年得出火星轨道是椭圆形，太阳位于椭圆的一个焦点上，火星在其轨道上的运动速度不是均匀的等结论。

这一思想，在11世纪时托里多的阿萨拆尔就提出过，但他所据资料不足，到开普勒时则被完全证实。十年之后，1619年，开普勒又总结了第三定律。这样，开普勒相继发现了行星运动的三个定律：

第一定律，所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕着太阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上。（轨道定律）至于各个行星椭圆轨道的具体形状如何，则要根据它们的长、短半轴而定。一般说来，太阳系内各个行星轨道的长半轴和短半轴的长度都十分接近，所以太阳可以近似地看作是位于各行星轨道的中心，行星的轨道也可以近似地看作是圆形的。由此可见，第谷的观测和开普勒的进一步的观测与计算工作是十分精确的，他们由火星的实际轨道与正圆形的微小差异中，发现了自古以来的、甚至也被哥白尼完全接受的关于行星轨道传统观念的错误，对行星轨道的真实形状作出了较正确的几何描绘。

第二定律，一行星的矢径（由太阳中心到行星中心连接的直线）在相等的时间内扫过相等的面积。（面积定律）由这一定律可知，行星运动的线速度在轨道上的不同点处是不相等的。行星经过近日点（行星离太阳距离最小的位置）时线速度最大，而经过远日点（行星离太阳距离最大的位置）时线速度最小。

第三定律，星绕太阳公转周期的平方与行星椭圆轨道的长半轴的立方成正比。（周期定律）这一定律表明，轨道直径越大，行星公转的周期也越长。所以离太阳越远的行星，运转一周的时间也越长。

这样，由于开普勒的发现，终于对行星运动得出了正确的运动学方面的理论描述，并可以作出更为精确的天文学计算。开普勒三定律，成为牛顿作出定量的、动力学解释的观察基础。

开普勒的发现，吸引了许多人都来进行揣测和计算，企图找到下述这一问题的答案：为什么行星要遵循椭圆轨道绕着太阳运转呢？矢经为什么在相同的时间内扫过相等的面积呢？其中有不少人猜想到这是由于某种力作用的结果。实际上，约11世纪初，西班牙的摩尔族人阿尔赫僧已经提及引力问题，并认为距离愈远则引力愈小。不过他认为这种引力只是局限于地球范围，并不存在于宇宙各处。伽利略也想到过使行星、卫星作它们的轨道运动必是由于某种力作用的结果。1650年，海员兼罗盘制造工人罗伯·诺尔曼在研究磁现象时提出了引力概念。1600年，英国医生威廉·吉尔伯特在《论磁体》一书中又假设“使行星维持在它们的轨道上是一种磁性的吸引力”。这都说明，引力的概念在当时已被许多人所接受。开普勒自己也曾探索过这个问题，他指出：行星是由于某种起源于太阳的作用力而沿黄道运动。他认为起源于太阳的力仅在行星运转的黄道面内直线传布，因此必随离太阳的距离的增加而减小，开普勒还正确地指出，行星运动的定律必是某种更普遍的定律的结果。但唯心论的观点阻止了他进一步去认识现象的本质；他同时又认为行星之所以环绕太阳运转，是由于太阳具有“运动的灵魂”，行星是在太阳“德性”的感召之下才有“意识”地运动起来的。1645年，法国天文学家布里阿尔德奥作了一个假设：“开普勒力的减少，和离太阳的距离的平方成反比。”这是科学史上第一次提出平方反比关系的思想。1666年，意大利物理学家玻列利根据对行星运动和木星的四个卫星的运动的观察指出：天体之间必存在着一种使之相互接近的自然倾向力，他把行星受到的这种力表征为从太阳作用到行星的“重力”；为了说明行星的椭圆轨道以及行星离太阳愈近时运行速度愈快，他指出此“重力”必随行星离太阳的距离的减小而增大，因此，这个“重力”是距离的幂的某种函数。

1673年，惠更斯在研究摆的摆动现象中，阐明了离心力的向心力的一些重要特征，并且得出了向心加速度公式。他指出：如果一个物体以速度V在一个半径为r的圆周上运动时，它必受一个向心力的作用，此力产生的向心加速度为V2／r。根据惠更斯所发现的这一公式，结合开普勒第三定律，就可简单而直接地推出行星运动中所受到的向心力依轨道半径的平方的倒数而变的结论。但惠更斯在研究行星的运动时，没有把向心力和吸引力看成是一个东西，错误地认为引力是物体机械运动的结果，而不是物体本身所固有的属性。

和牛顿同时代的，靠工读和给科学家波义耳作实验助手而成为实验物理学家的罗伯特·胡克已经觉察到了引力和地球上物体的重力本质上是相同的。1661年后，胡克曾在山顶上和矿井作实验，企图找出物体的重量随物体离地心距离而变化的关系。这在当时的实验条件下当然是不可能的。但胡克正确地指出，行星运动的轨道曲线必由某种力所引起，并认为行星对太阳的倾向力可以从旋转中心具有某种吸引性质来解释。经过长期的观察，胡克提出了论述引力的三个假设：

“一、据我们在地球上的观察可知，一切天体都具有倾向其中心的吸引力，它不仅吸引其本身各部分，并且还吸引其作用范围内的其它天体。因此，不仅太阳和月亮对地球的形状和运动发生影响，而地球对太阳和月亮同样也有影响，连水星、金星、火星和木星对地球的运动都有影响；”

“二、凡是正在作简单直线运动的任何天体，在没有受到其它作用力使其倾斜，并使其沿着椭圆轨道、圆周或复杂的曲线运动之前，它将继续保持直线运动不变；”

“三、受到吸引力作用的物体，越靠近吸引中心，其吸引力也越大。至于此力数量级，在实验中我还未解决。一旦知道这一数量级，天文学就很容易解决天体运动的定律了。”

1680年1月6日，胡克在给牛顿的一封信中更明确提出了“吸引力与两中心间距离的平方成反比”的假设。

英国天文学家哈雷、数学家伦恩也在1679年近似地把行星绕太阳运行的轨道看作圆形，而由开普勒第三定律和惠更斯发现的向心力公式，证明了作用于各个行星的吸引力必与它们到太阳的距离的平方成反比。他们只是不能证明，行星沿椭圆轨道运行时所受的吸引力也遵从平方反比关系，以及它的逆问题：如果吸引力遵从平方反比关系，行星的运动轨道可以是椭圆的。

可见，在牛顿确立万有引力定律之前，已有不少人在这一定律的探索上取得了重大进展。牛顿关于机械运动的三个基本定律的确立和以变数观念为基础的新的数学方法的形成，给牛顿解决万有引力定律的具体形式问题提供了有力的手段。因此，在这里简单谈一下变量数学的形成历史。

法国人微塔在16世纪末首先采用字母代替已知量和未知量，使所有的代数论证都符号化了。这不仅加速了计算，而且在理论研究中使用字母也很容易显示出各个物理量之间的规律性联系，从而直接展现出各种客观规律的本质内容。1614年，苏格兰的耐普尔发明了对数方法，这是计算方法的一次革新，在实用方面大大缩小和简化了由于商业、航海和天文学的发展而提出的大量计算任务。

随着资本主义的发展，从生产实践的战争需要而提出的关于天体运行规律、透镜的几何形状和聚光性能、弹道学、摆的振动以及矿山开采中地下排水和通风等一系列问题的研究，都要求从运动、变化和发展中来研究事物。因而，原来那些研究固定的量和固定的图形，反映相对静止和平衡状态的常量数学方法就力不胜任了。这就需要在数学中引进变数，向变量数学飞跃。就是在这样的历史条件下，适应于阶级斗争、生产斗争和科学实验的需要，以变数观念为基础的新的数学方法，便逐渐产生出来。伽利略、开普勒、托里切利、笛卡儿、费尔玛、惠更斯和巴洛等人都对新的数学方法进行了研究。而笛卡儿和费尔玛关于解析几何的研究工作，成了数学发展中的转折点，他们把描述运动的函数关系和几何学中曲线问题的研究结合起来，把变数引进了数学，从而使运动和辩证法进入了数学。

在长期积累的大量研究成果的基础上，17世纪后半叶，牛顿直接从变速运动的物理模型中抽象出了微积分概念，莱布尼茨则从曲线的切线的研究中得出了微积分的概念。于是，作为变量数学的主要部分的微积分学和积分学，就初步建立起来，从而初步提供了反映事物运动和变化过程的数学方法，也使过去需要用特殊技巧分别处理的一些困难问题，获得了一般性的解决方法。

牛顿在假定太阳吸引各行星的力，地球吸引月球的力以及地球吸引地面上物体的重力都是同样性质的力，遵从着同样的规律的指导思想下，借助于微积分这一新的数学工具，严格地证明了开普勒的每一个定律分别说明了支配行星运动的力的一种特征：面积定律表明作用于行星的力是沿着行星和太阳的连线方向的。牛顿认为这个力只能是源于太阳的，轨道定律表明太阳作用于给定行星的力是吸引力，它与行星到太阳中心的距离的平方成反比；周期定律表明太阳对于不同行星的吸引力都遵从平方反比关系。牛顿在《自然哲学的数学原理》中写道：

“在任何一曲线上运动的质点，如果它的半径指向一静止的或作匀速直线运动的点，且绕此点扫过与时间成正比的面积，则此质点必受有指向该点的向心力的作用。”

“如果环绕周期的平方与半径的立方成正比，则向心力与半径的平方成反比”。

由此，牛顿就由特殊到一般，从对天体运动规律的具体分析中得出了普遍的万有引力定律。这一定律可表述为：任何两个质点之间和相互吸引力的大小和它们的质量的乘积成正比，和它们之间的距离的平方成反比；其方向则沿两个质点的连线方向。

为了验证万有引力定律所表示的平方反比关系的正确性，牛顿直接运用这一定律将月球环绕地球运行的向心加速度和地面上物体的重力加速度从理论计算和实际观测两个方面进行了比较。首先，牛顿认为这两个加速度都是由于地球对月球和地面上物体的万有引力引起的。在《自然哲学的数学原理》中写道：“月球为重力所吸向地球，并且在这重力的作用下不断从其直线运动偏离出去而保持在它的轨道上；”“在地球上，重物的下落是由于这种引力的作用；”“使月球维持其轨道运动的引力，在月球下落至地面时，也就等于重力，所以我们也可叫它作重力，而在实际上也正是重力。”进而，牛顿指出，如果由万有引力定律所表示的平方反比关系是正确的。那么月球环绕地球运行的向心加速度与地面上物体的重力加速度之比，应等于地球半径的平方与月球到地心距离的平方之比。牛顿的这个推论由实际观测得到了证实。

从牛顿的手稿可知，他在1666年已经进行过月球绕地球运行的验证。但因当时他所利用的地球纬度的测定值是不精确的，因而地球半径的数值也是不精确的，计算出的结果与实际情况之间出现了较大的差异。1671年，法国天文学家皮卡尔在巴黎北面由精密的大地测量测出地球的纬度是110．4千米，而不是96千米，从而计算出了地球（看作正球形）半径的较精确的数值。

1675年，英国皇家学会得知了皮卡尔的新测定值。1682年后，牛顿运用这一测定值算出了月球到地心的距离约为地球半径的60倍，于是得出了月球环绕地球运行的向心加速度与地面上物体的重力加速度这两个观测值，在测量误差的范围内恰好和它们到地心的距离的平方成反比，从而证实了牛顿的发现。

对于存在着万有引力这一科学结论，人们很自然地会发问：既然地球上的物体之间存在着万有引力的相互作用，为什么人们却丝毫也觉察不出来呢？既然地球吸引着月亮，太阳吸引着地球和各个行星，为什么月亮不落向地球，而地球和各个行星也没有被吸引到太阳上去呢？

对于前一个问题，牛顿回答说：“地面上”物体相互间作用的引力与地球吸引它们的重力相比较，正如前者的质量与后者的的质量之比一样。因此，相互间的引力虽然存在，但由于它太小了，所以不能为人们所观察到。”

对于后一个问题，牛顿回答道，这完全是由于月亮环绕地球，地球以及各个行星环绕太阳以很大的速度运转的缘故。他指出，根据抛射体的运动，就很容易理解月亮和行星是可以在向心力作用下维持于固定轨道上运行的。如果在高山顶上水平地架起一尊大炮，用炮火把一枚炮弹平射出去，炮弹就会在重力作用下离开其发射时应走的水平直线，而在空中划出一条抛物线。

炮弹在落到地面以前，就会沿着这一曲线飞过一段距离。发射的速度越大，它落地前经过的距离就越远，弹道曲线的弯曲程度也减小。如果给予这颗炮弹以足够大的速度，以致弹道曲线始终和地面平行，那么这颗炮弹就不会落回地面，而会像月亮一样绕地球运转。

在万有引力的问题上，牛顿的具体贡献在于：第一，他找到了万有引力定律的正确数学表达式；第二，他确定了这一定律的普遍性。在万有引力定律确立以后，牛顿就曾敏感地说到：“可以肯定，这种力量只能来自这样一个原因，它能穿过太阳和行星的中心，而不因此受到丝毫的减弱。”但他却没有，在当时也不可能去深入探讨引力的根源问题。

直到20世纪初，爱因斯坦在广义相对论中才对万有引力的几何特性作了一个说明，指出一切物质都以特殊的方式“歪曲”着时空，而这种“时空的弯曲”，正以万有引力的形式出现。随后，物理学界还提出了引力波和引力量子的假说来解释引力现象。这都有待于作进一步的理论和实验的研究。

牛顿发现万有引力定律，是经过尖锐的斗争和科学实践的验证，才于牛顿晚年和逝世以后逐渐得到普遍承认的。

第一，关于地球形状的问题，成为牛顿理论的第一个重大考验。在运用万有引力定律解释出岁差现象（春分点西移的现象）时，牛顿提出，由于地球绕轴迅速地自转，赤道部分的物质就发生隆起，使地球成为两极稍扁的扁球体。赤道隆起部分与黄道成约23°5′的交角，一部分离太阳较近，另一部分离太阳较远，因而所受太阳的引力作用也不相同。同样，月球对地球赤道隆起部分也有这样的影响。太阳与月球的这种摄动作用，使地球自转轴的方向发生了缓慢的、周期性的移动，从而产生了岁差现象。这样，牛顿就从理论上推测到地球的形状在两极是扁平的。由于当时人们对于地球的构造还毫无所知，因而牛顿只能假定地球的密度是均匀的，从而近似地计算出地球的扁率为1／230。但当时在欧洲科学界占统治地位的笛卡儿物理学派则持相反的观点。按照笛卡儿的学说，地球的形状在两极处应是伸长的。巴黎天文台长雅克·卡西尼及其他几个法国科学家不仅反对牛顿关于地球是扁圆的这一理论，而且以错误的实际测量经验断言，地球是椭圆的，并且以极轴为最长。两种结论的争论，最后由进一步的实际的大地测量得到了解决。

1735年，巴黎科学院同时派出了两个测量远征队，一队赴赤道地区的别鲁安（在秘鲁），一队到纬度较高的拉普兰德。他们分别在两地的经度圈上各测量了等角的一段弧长。结果表明：纬度一度的长度，在赤道地区是56737法国古尺（每尺约合1．949米），而在极地则是57419法国古尺，比赤道地区长1500千米，因而表明经度圈在两极处是扁平的这一结论；但由于测量结果有误，但计算结果在数值上和牛顿的理论推算结果的相差很大。直到1810年，经过新的精密测量，得知法国纬度一度之长的平均值为57025法国古尺，将此值与赤道地区测得的数值加以比较，求得地球扁率为1／334，比较接近了牛顿的理论计算结果。

第二，在牛顿时代，慧星被人们看作是一种奇怪而神秘的现象，不相信它和别的行星一样遵循同样的力学规律。牛顿一反传统偏见，指出行星的运动规律同样可以应用于慧星。哈雷根据牛顿的这一论断，对1682年出现的大慧星（后被命名为哈雷慧星）的轨道进行计算，指出这一慧星和1531年、1607年出现的大慧星是同一颗慧星。哈雷根据计算预言，这颗慧星将在3／4个世纪以后的1758年再次出现。1743年，法国数学家克雷罗计算了遥远的行星（木星和土星）对哈雷慧星的摄动作用（即由于这些行星的引力作用而使哈雷慧星偏离其原来轨道的现象），指出这种摄动的影响，哈雷慧星的出现应稍稍推迟一些，它经过近日点的日期不在1758年，而在1759 年4月份。果然，这一慧星于1759年又映辉于夜空，它经过近日点的日期与预算的日期只差一个月。这对牛顿力学原理的真理性和天体力学方法的可靠性，提供了一个有力证明。

第三，引力恒量的测定，从地面上的实验中直接证实了万有引力定律。两个质量不大的物体间的引力是非常小。因此，牛顿万有引力定律的直接验证以及引力恒量的测定，是一个十分困难的实验问题。牛顿曾设想过两种测定引力恒量的方法。第一种是测定悬挂于大山旁边的铅垂线由于受到大山物质的吸引而发生的偏向，来测定山的质量与地球质量的比值，进而计算出引力恒量之值；第二种方法就是直接测定两个物体之间的引力。但牛顿却根据计算错误地作出结论说，无论用哪一种方法，它的效果都是如此微弱，以致无法测量出来。牛顿之后的科学实践表明，这些测定方法都是可以实现的。

1750年，法国数学家布格尔在南美洲厄瓜多尔的琴玻拉错山旁第一个利用铅垂线偏向法进行了测量，但由于恶劣的气候的影响，测量结果不够准确。此后，又有很多人利用这个方法进行了多次测量。但由于无法准确地量度山的密度，所以由这个方法所得结果的精确度是较差的。

根据牛顿提出的直接测量两个物体之间的引力的思想，1798年英国物理学家开文迪士首次采用扭秤法较精确地测定了引力恒量之值。此后还有不少人先后不断改进了这一设计，反复进行了多次测量。

除了这两种方法之外，还有许多人采用其它方法对引力恒量的数值进行了大量测定，取得了越来越精确的测量结果。

第四，海王星的发现，是牛顿天体力学理论的一个辉煌的成就。

1781年，英籍德国人威廉·赫舍尔发现了位于土星轨道之外的天王星，这在当时就被人们认为是距太阳最远的行星了。从18世纪末到19世纪初，人们对天王星的运动的观测和理论计算的结果之间存在着较大的偏差，并且这种偏差是重复地、有规则地出现的。天王星的运动的这种偏差，不能用距它最近的土星、木星的摄动作用作出解释。于是就使人们想到，这种偏离很可能是由于位于天王星轨道之外的，尚未被发现的另一个有规则地运动着的行星的摄动作用造成的。虽然从已知的行星去计算它的摄动作用这一问题是人们已经解决了的，但是要解决与它相反的问题，即从已知的摄动效果去求未知的摄动星的质量、轨道和运动情况，这却是一个十分复杂而困难的问题。

英国年青的大学生亚当斯在1843年到1845年，法国天文台的勒维烈在1845年各自独立地根据牛顿力学原理进行了这一困难的复杂的计算工作，从而确定了这一未知行星的质量、轨道和位置。亚当斯的计算结果，在1845年10月21日送交给了英国格林威治天文台的天文学家艾里，但艾里却无视亚当斯这个“小人物”的计算，因而根本不打算用望远镜去寻找。1846年9月18日，勒维烈写信给当时拥有详细星图的柏林天文台的加勒，信中写道：“请你把你们的天文望远镜指向黄经326°处的宝瓶座内的黄道的一点上，你就将在离此点约1°左右的区域内，发现一个圆而明显的新行星，它的光度约近于九等星。”加勒在接到信的当年即1846年9月23日夜间，就在离所指出的黄道点相差52′处发现了一颗此前未知的新星。第二天晚上又观察出这颗星相对于恒星背景有了移动，这正是一颗行星。这就是规则地对天王星产生摄动作用的海王星。海王星的发现，不仅证实了牛顿力学原理的正确性，而且也完全证实了哥白尼太阳系学说的真实性。

1930年，根据类似的计算，天文学家洛威耳又发现了一颗行星——冥王星，它距太阳比海王星还远。

牛顿万有引力定律得到人们确认的历史，生动地证明了：只有通过实践，才能够发现真理，也只有通过实践，才能够检验真理和发展真理。

弹性碰撞问题

17世纪中叶，碰撞问题成了科学界共同关心的课题。当时刚建立起来的英国皇家学会决定要在实验上、理论上弄清碰撞的规律，便向几位科学家悬赏征文。有三位科学家应征提交论文，他们是瓦利斯、雷恩、惠更斯。

第一个把研究成果递交给皇家学会的是英国数学家瓦利斯。他主要考查非弹性体沿它们重心联线运动时的碰撞，但在论文中也讨论了斜碰撞的情形。在此之后，还发表了关于弹性碰撞的结果。

在最初推导公式时，瓦利斯就应用了在笛卡儿著作中已出现的“运动量”的概念。他认为推动一个给定物体所需的作用力，与该物体的大小和速度成正比。

如果设两个碰撞物体为m1和m2，它们碰撞前各自的速度变为v1和v2，碰撞后的公共速度为μ，则瓦利斯得到的结果为：

当这两个物体开始同向运动时

当这两个物体开始相向运动时

第二个递交研究结果的是英国建筑学家雷恩，他是英国皇家学会的创始会员之一，并以圣保罗大教堂和这一时期许多其它公共建筑的建筑师而著称。他主要通过和鲁克一起做的悬置物实验，发现了弹性碰撞的经验定律，但是他没有能从理论上推导出它们。

第三个递交研究结果的是荷兰的惠更斯，他是英国皇家学会的第一个外国会员。虽然他的论文最迟递交，但内容最完整。可惜的是这篇应征论文当时没有公开刊登。惠更斯的碰撞理论是在他死后出版的《物体碰撞运动》一书中，才首次被人发现。

惠更斯主要研究和论述了弹性体的对心碰撞。所谓对心碰撞，就是两个物体在碰撞前，是沿着联结两物体中心的直线运动的。

作为论述碰撞运动的基础，他提出下述三条公理：

（1）“运动起来的物体，在未受到阻碍作用时，将以不变的速度沿直线继续运动。”显然，这就是惯性原理。

（2）“相等的两个物体以大小相等方向相反的速度碰撞时，它们以同样的速度弹回。”根据这个公理，惠更斯把研究范围局限在弹性碰撞问题上。

（3）“物体的运动以及它们的速度，必须看作是相对于另一些我们认为是静止的物体而言的，而不必考虑这些物体是否还参与另外的共同运动。因此，当两个物体相碰撞时，即使它们同时参与另一匀速运动，在也具有这个共同运动的观察者看来，两个物体的相互作用就好像不存在这个共同运动一样。”这是运动相对性原理，惠更斯碰撞理论的特点是彻底地应用了运动相对性。

根据这三条公理，惠更斯作出断言，两个质量相同并以相同的速度相向运动的物体，在发生对心碰撞之后，都保留碰撞前的速度而相互弹开。这个结论为实验所证实。

接着，惠更斯研究了两个质量相同的物体以不同的速度发生对心碰撞的情形。这里，他独具匠心地运用了相对性原理：想象一个人站在以速度μ作匀速运动的船上，用吊起的两个相同的钢球作碰撞实验。

对船而言，两球以同样的速度μ相接近而碰撞。根据公理（3），船上的人所看到的就是平时所看到的那种最简单的碰撞，在碰撞后（对船而言）两球将保持碰撞前的速度而被弹开。

这个过程对于站在岸上的人来说，两球是以不同的速度（v＋u）和（v－u）相向碰撞的，碰撞后两球的速度则分别变为（v－u）和（v＋u）于是可得出结论：两个相同的球以不同的速度发生对心碰撞后，将彼此交换速度。

当然，最一般的情形是两个质量不同、运动速度也不同的物体的对心碰撞。为了处理这类问题，惠更斯提出了两条假设：

（1）“一个较大的物体如果碰撞另一个静止的较小的物体，较大的物体就会给较小的物体以某个速度，自己的速度减少。”

（2）“两个碰撞物体，如果一方的速度绝对值不变的话，那么另一方也不会改变。”

从假设（1）中可以得出这样的推论：较小的物体在碰撞静止的较大物体时，前者也会给后者某些速度。为了说明这个问题，惠更斯认为，可以把运动的较小物体移到速度看作为零的船上，这样就可以证明：两个物体的相对速度在碰撞前后，只改变符号，而不改变其绝对值。

如以较大物体静止时的情况为例，即m2＞m1，μ2＝0，μ表示碰撞的速度，v表示碰撞后的速度。由于碰撞，较大物体得到的速度v2＞0。

假如把上述试验移到相对于河岸速度为的船上进行，则较小物体和较大物体相对于岸的速度为

即较大物体速度的绝对值不变，所以根据假设（2），较小物体速度的绝对值也不变，于是

或v2－v1＝μ1可是，因为假设较大物体在碰撞前是静止的（相对船来讲），所以μ1＝（μ2－μ1）

则得

v2－v1＝－（μ2－μ1）

从而，相对速度只改变符号而不改变绝对值。相对于河岸的速度也可以同样说明。只要选择适当的船的速度，就能很简单地把上述结果推广到最初不是处于静止状态的较大物体的情形。不妨请你自己试一试。

惠更斯以这些结果为基础，在碰撞问题的研究中进一步得出了许多重要的定理。他在应征论文中写道：“两个物体所具有的运动量在碰撞中都可以增多或减少，但是它们的量值在同一方向的总和却保持不变，如果减去反方向的运动量的话。”

他还指出，“两个、三个或任意多个物体的共同重心，在碰撞前后总是朝着同一方向作匀速直线运动”。这已是较完善的动量守恒定律的表述。惠更斯既看到了动量数量的变化，又强调了方向的问题，实际上是把矢量概念引进了力学，从而为牛顿三大运动定律的提出和矢量力学的建立作了概念的准备，这是力学思想的一个重大进步。

在另一个定律中，惠更斯写道：“在两个物体的碰撞中，它们的质量和速度平方乘积的总和，在碰撞前后保持不变。”这已是完全弹性碰撞中机械能守恒定律的最初表述，在相当一段时间内曾被称为“活力守恒”。

我们不免要为惠更斯如此全面、如此精湛的研究成果肃然起敬，因此他理所当然地成为这次悬赏征文的得奖者。

据说，惠更斯从1652年就开始研究弹性物体的碰撞，到1668年参加悬赏征文，其间有长达16年之久的研究生涯，这为他全面、精湛地解决碰撞问题，无疑奠定了坚实的基础。

有了这个基础，再加上惠更斯既重实验，又重推理，还善于运用数学工具透彻地解决问题，更是如虎添翼。

1637年，布拉格大学校长——物理学教授马尔西在他的著作《运动的比例》中，发表了他研究碰撞问题的一些成果。

当时这位马尔西教授在描述碰撞现象时，专门画了一尊大炮，使人感到十分奇特，也令人难以思议。

一个大理石球对心撞击一排大小相等的大理石球，运动将传递给最后一个球，中间的球一点也不受影响，就像第一个球直接撞到最后一个球那样。也就是说，第一个大理石球静止于桌面，另一个具有相等质量的大理石球水平的射向第一个球，两球相撞，当第一个球以第二个球射来的速度飞离桌面时，第二个球则停留在桌面上。这表明马尔西教授已知道，一个物体与另一个大小相同的处于静止状态的物体作弹性碰撞，就会失去自己的运动，而把速度等量地交给另一物体。至于今天，我们可以直接根据牛顿第三定律或动量守恒定律来解释上述的碰撞现象。

（1）根据牛顿第三定律，在两球接触这个短暂的时间间隔△t内，相互作用力大小相等、方向相反。所以作用在球A上的减速力（制动力）等于作用在球B上的加速力，而且由于这两个球的质量相等，这样其中一个球的实际减速度等于另一个球的加速度。

假如球A失去它的全部速率且全为球B所得，则球B得到的速率等于球A失去的速度，亦即

（2）根据动量守恒定律，这两个球组成一个封闭系统，因为影响这一现象的仅仅是两球之间的相互作用力。于是

因所有矢量都位于同一直线且具有同一方向，则矢量加法在这里就变成代数加法。代入已知数据便得

两种方法，一个结果。这个结果和马尔西教授的实验研究相一致，并且是定量分析的结果，当然更加准确和深入。无疑，马尔西教授用大炮的轰击来描述这现象，确实有点令人惊奇。

动量守恒定律

动量守恒和动能守恒的规律是在牛顿时代发现的两条重要定律。它们和牛顿定律既有联系，又有区别。“守恒”概念的建立无疑是科学思想发展史上的一个非常重要的成就，对于人们认识自然来说，守恒定律实际上比牛顿定律有更为深远的意义。

明确的运动守恒的思想最早出现在17世纪哲学家法国笛卡儿所著的《哲学原理》一书中，该书中有下面一段话：

“万物运动的普遍的原因很明显地只能是上帝。他在创世开始时创造了万物，并赋于它们以运动和静止，而且直到现在，由于他的简单而平凡的协助，仍在整体上保持着他在开始时所创造的那么多运动和静止的量。尽管运动仅只是运动物质的一种状态，但是在物质中仍然存在一个确定的量，这个量就宇宙总体来说永不增加或减少，虽然对某一单独部分它可能变化。”

尽管把原因归之于上帝，但这里笛卡儿是很明确地表达了“宇宙中运动量守恒”的思想。

表示运动多少的这一“确定的量”是什么呢？笛卡儿认为是“物质的量”（笛卡儿对质量的意义并没有清楚的概念）和运动的“快慢”的乘积。用他的话说：“一块物质的运动比另一块的运动快两倍，但它的量只是另一个的一半，这两块物质具有同样的运动量。”

笛卡儿曾用几个命题来说明他的“运动守恒”的规律性。例如，他的一个命题是：“如果物A和物B相遇，并且吸引住物B，则A失去多少运动，物B在这次相遇时，从物A也得了多少运动。”这是一个完全非弹性碰撞。如果是A追赶B而发生碰撞，笛卡儿的命题是对的。另一个命题：“如果两物如A和B全等，并且以同样的快慢做面对面的运动，当其相遇时，两物都会向反向射回，而其快慢不变。”如果这是指的两个物体的完全弹性碰撞，笛卡儿的命题也是对的。

但是，用现今科学的观点来审查哲学家笛卡儿的“运动守恒定律”时，就会发现他有严重的错误。这就是他在考虑“运动量”时不考虑运动的方向。他说：“方向不属于运动的本质。”因此，他的“运动量”，用现代的语言说，是物体的质量和速率的乘积。这样，他举出的另一些命题，虽然按他的运动量概念，运动是守恒的，但实际上并不能发生。例如，他的另一个命题是：“如果两物体A和B的量相等，而B的运动稍快于A，则二者做面对面的运动而相遇时，不仅A被射回相反的方向，并且B还把自己所多的速度的一半给予A，两物皆以相等的速度朝一个方向运动。”在这个命题中，“笛卡儿运动量”在相遇前后是守恒的，都是m（vA＋vB）。但是实际上并不能发生，因为它至少违反了我们知道的正确的动量守恒定律。

笛卡儿所以发生这样的错误，从思想方法上讲，是因为他过于相信自己的观念或“理性”，而忽视感性知识和实际经验，其实，只要做些很简单的实验就可以发现他用质量和速度的乘积表示运动量来说明运动守恒是错误的。例如，两个相同的泥块以相同的速率相向运动而相遇时，最后都要停下来。这样经过碰撞，两个物体的“笛卡儿运动量”都消失了，显然是违背他自己的命题的。惠更斯首先注意到了这一点，而牛顿则更为明确地纠正了笛卡儿的错误。

最早用实验来系统地研究物体碰撞规律的是瓦里斯、雷恩和惠更斯。他们分别于1668年和1669年受邀向伦敦皇家学会写过有关的报告，并且雷恩还在皇家学会当众演示过单摆球的相向碰撞实验以证实他的关于碰撞的理论，关且他们的结论是一致的。瓦里斯和雷恩只说明碰撞的某些特点，惠更斯则对问题进行了完整而详尽的分析。

瓦里斯只研究了完全非弹性碰撞，他指出碰撞中的决定因素是动量，即质量和速度的乘积。如果两个动量相同的非弹性物体相向碰撞，结果将是二者静止。如果它们的动量不同，碰撞后的动量将是二者原来的动量之差。用这个差除以二者的质量之和，就可以得到碰撞后的速度。用现在的通用符号表示，质量分别为m1和m2的两物体碰撞后的速度V′就应该是

其中v1和v2分别表示两物体碰撞前的速度。由于v1和v2方向相反，所以应取不同的正负号。因而上式中的m1v1＋m2v2实际上是求二动量数值之差。计算两个物体的总动量时，已考虑到要根据它们的方向不同而取不同的符号，这表明瓦里斯已认识到动量应该是个有方向的量，即现今叫做矢量的一种物理量。

惠更斯是荷兰数学家、物理学家和天文学家。1629年生于海牙，1655年获法学博士学位，但以后转入科学研究，并取得多方面的成就。1663年成为伦敦皇家学会第一个外国会员，以后又成为当时法国科学院唯一的外国院士。在物理学方面，他解决了求物理摆的摆动中心问题；测定了重力加速度值；改进了摆钟；得出了离心力公式；研究了光的波动理论等。

惠更斯对完全弹性碰撞作了全面、详尽的研究，但他的论文《论碰撞作用下物体的运动》当时没有公开发表，是在他死后于1703年作为遗作发表的。

惠更斯发现两个质量相同的弹性体（他的实验中用的硬质木球就很近似）以大小相等而方向相反的速度碰撞时，将以同样的速度分开。他还发现，在两个弹性体碰撞前后，以表示的“活力”（现在叫动能）的总量是不变的。他把这些做为基本假设，再利用速度的相对概念，推导出了许多有趣的正确的结果。下面举两个例子。

（1）两个相同的弹性体碰撞时将交换速度。设想在一个小船上做实验，使两个相同的弹性球以大小相等、方向相反的速度v相碰，碰后二者以原速返回。今设船速度v均匀前进，当人站在岸上观察两小球的速度时，根据速度的合成，在碰前，二球的速度应分别为2v和0；在碰后，二球的速度分别变成为0和2v，即二球碰撞时交换了速度。如果船以速度u进行，则在岸上观察时，二球碰前的速度就分别为u＋v和u－v，而碰后应为u－v和u＋v，还是交换了速度。在所有这些情况下，无论在船上和在岸上观察，经过碰撞两球的总动量（考虑到速度的方向）都是保持不变的。

（2）两个弹性体在碰撞前后的相对速度是相等的设想在一个小船上做实验，使一个质量为m，速度为v的物体和一个质量为M而静止的物体发生碰撞。碰撞以后，M的速度设为w。今设船沿和v相反的方向以速度w／2均匀行进。则在岸上看来，m和M碰前的速度分别为v－w／2和－w／2；在碰撞后，M的速度变为＋w／2；m的速度设为x。这样，M的速度就只是改变了符号而数值不变。根据“活力”的守恒关系，有

或此式可知，经过碰撞，m的速度也只能是改变符号而数值不变，即x＝－（v－w／2），因而碰撞后两物体的速度分别为－（v－w／2）和＋w／2。因此，碰撞前二者相互接近的速度为（v－w／2）－（－w／2）＝v，就和碰撞后二者相互分离的速度－（v－w／2）－（＋w／2）＝－v相等（除了符号的不同）。由于速度的相对性，这一结果应该不只是在岸上看，即使在船上看，也是正确的。它也是关于弹性碰撞的一个普遍的结论。

前面曾讲过，牛顿也曾用两个单摆仔细研究了物体碰撞的规律，得出的结论是两个物体经过碰撞在相反的方向上产生相等的动量变化。这实际上也就是说两个物体在碰撞过程中动量是守恒的。他把这个结果作为建立第三运动定律的一个根据。反过来，以第二、第三运动定律为基本定律也可以一般地解决碰撞问题，得出瓦里斯和惠更斯的所有结果。

首先，可以根据第二和第三两条运动定律导出动量守恒的结果。经m1和m2分别表示两物体的质量，以v1 和v2分别表示它们在碰撞的速度（设沿一条直线）。以分别表示二者碰撞后的速度（沿碰撞前的同一条直线），以F1和F2分别表示碰撞过程中二者各自受对方的作用力，以△t表示碰撞过程的时间，则在没有另外的物体对它们作用情况下，对二者分别应用牛顿第二定律，就

根据牛顿第三定律，F1和F2的大小相等，方向相反，即F1＝－F2

将上两式代入此式，消去△t可得

这就是说，在没有其他外力的作用下，这两个物体的总动量在碰撞过程中是守恒的。这就是动量守恒定律。

牛顿在《原理》中，曾作了上述的论证，并把其结论作为运动定律的第三个推论明确地写成：对于一组物体来说，用同方向的动量相加和反方向的动量相减的方法求得的总动量不会由于各物体之间的相互作用而发生变化。由于在上面的推导中，对F1和F2的性质未加任何限制，不管是弹性力或非弹性力均可。因此动量守恒的结论对于任何两物体（即不管是否弹性球）的碰撞都是适用的。在完全非弹性的情况下，碰撞后两物体将以同一速度v′运动。根据上式就可得

这就是瓦里斯的公式。对于弹性碰撞，两物体碰撞后的速度不同，但也可以用第二定律进一步求解。为此可以把碰撞过程分成两个阶段，前一阶段是两个物体从接触到由于相互挤压而形变达到最大的阶段。在这一阶段末尾二者的相对速度为0，即以同一速度u运动。根据动量守恒定律，有

在这一阶段里，m1的速度减小了v1－u，而m2的速度增加了u－v2。碰撞的后一阶段是由于物体的弹性而产生相互排斥，使二者形状逐渐复原，最后相互分离，各自速度达成v1′、v2′的阶段。物体具有弹性意味着这后一阶段里的相互作用力经过和前一阶段里的相同的演变，只是次序相反罢了。因而各自发生的速度改变也和前一阶段一样，即在后一阶段里，m1的速度又减小了v1 －u，而m2的速度又增加了u－v2。因而经过这两个阶段后，m1和m2的速度就分别变成了

将上面求出的u值代入此二式，可得

在这两个结果中，如果m1＝m2，即两个相同的弹性体发生碰撞后，则，即二者交换了速度。也很容易证明，即碰撞前后两物体的相对速度相同。利用上面两个结果还可以证明，不但有

即整个碰撞过程前后动量守恒，而且有

即弹性体碰撞前后，它们的“活力”是守恒的。这些都是惠更斯的基本假设或他推出的结论。

这样，我们根据牛顿定律导出了瓦里斯和惠更斯的全部结果，这就显示了牛顿定律作为力学的统一的基本定律的概括性。这也说明牛顿比他的同代人更深刻地掌握了力学现象的规律。