好玩的素数

2．好玩的素数

素数在自然数当中的出现是没有“章法”的，人们总希望能够找到素数的一般表达式，许多数学家投入了大量精力，尚未能如愿．著名数学家马林·梅森和费马也只给出特殊结构的素数表达式．现在找大的素数采用梅森的表达式12−^p，其中指数p是素数，只能靠高级计算机．但是梅森数12−^p是不是素数，还要再用计算机进行验算．

关于素数的论述甚多，下面挑些好玩的素数展示给大家．

法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：形如12²+^[2]（n为自然数）的数叫费马数，记作F_n，可以发现F₀＝12⁰

2+＝3，F₁＝12¹²+＝5，F₂＝12²

2+＝17，F₃＝12³²+＝257，F₄＝12⁴²+＝65537，F₅＝12⁵²+＝4294967297．

前5个是素数，在当时第6个数实在太大了，费马认为是素数．由此提出（费马没有给出证明）形如F_n＝12²+ⁿ的数都是素数的猜想．1732年，欧拉算出F₅＝4294967297＝641×6700417，不是素数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求素数的公式．以后，人们又陆续找到了不少反例，如n＝6时，F₆＝18446744073709551617＝274177×67280421310721，不是素数．至今这样的反例总共找到了46个，却还没有找到第6个正面的例子，也就是说目前只有n＝0、1、2、3、4这5种情况下，F_n才是素数．甚至有人猜想：当n＞4时费马数全是合数!

素数之间的间隔也是“无序”的，有时彼此非常疏远，有时却靠得很紧．数学家已经用计算机列出素数表．一个素数本身的数字排列，素数与素数之间的关系，以及素数与合数之间的关系，都是受到关注的焦点．同时由于各人关注点不同，引起的兴趣各异．

由同一个数字构成的数称作纯元数；有的素数自身对称，是谓对称素数；有的素数自身不对称，但是倒过来读、倒过来写也是素数，因而形成的两个不同素数是对称的，犹如镜子反射所成，是谓回文素数．

有的几个相邻素数，个位数（尾数）相同，如果四个以上同尾数且相邻，在素数表中也是一道风景线，是谓连排素数．有的连续10个自然数中有4个素数，是谓四君子素数．关于对称素数、回文素数和四君子素数，以后还要专门阐述．

素数在大于100的自然数当中的分布是稀疏的，但在有的自然数区间却比较“密集”．比如在自然数72167到72271的105个连续自然数中，有12个相邻素数，占11.4%：

72167，72169，72173，72211，72221，72223，72227，72229，72251，72253，72269，72271．

这其中有5对孪生素数，包括一个对称素数72227，还有四对是回文素数：72221与12227，72229与92227，72251与15227，72253与35227．

从9600551到9600589的39个连续自然数中有9个素数：9600551，9600553，9600557，9600559，9600571，9600581，9600583，9600587，9600589，分别“挤满”在两个10个连续自然数当中，可谓“亲密无间”．其中有四对孪生素数（两组四君子素数）和5个回文素数：

9600551与1550069，9600553与3550069，9600559与9550069，9600571与1750069，9600589与9850069．

从1006301到1006339的39个连续自然数中，包含8个素数（两组四君子素数）：

1006301，1006303，1006307，1006309；1006331，1006333，1006337，1006339．

这些是素数紧密的典型情景，稀疏就很难列举了．

有的素数有几个相同数字并列，有的素数前几位不完全相同，但是后面几位却完全相同，这也很有趣．

素数除了个位数仅限于1、3、7、9（2、5除外），其他的数字排列却很“随机”，但是又有不少却很整齐．比如六位数111119，333331，333337，700001；311111，733333，799999，911111．

有的素数不同的数字少而排列结构又很简单，显得很“清纯”：1399999，1999993，2000003，5888887，6333337，8000009，8999993，9999991．

首位之外后边的数字都相同的那是太稀奇了：5111111111111，31111111111111，911111111111111111111，…．

有的孪生素数前几位数字相同：2222249，2222251；5555507，5555509；9999929，9999931；9999971，9999973．

我们发现了下面的55位孪生素数，由6个987654321链接而成，可谓珍稀：

2987654321987654321987654321987654321987654321987654321，2987654321987654321987654321987654321987654321987654323．

由顺序或逆序数字构成的素数，有：

1234567891234567891234567891（Raphael Finkelsten，1972）（28位混合型），

1234567891234567891234567891234567891234567891234567891234567891234567（Alan Cassel，1978，7个123456789连接1234567，70位）^[3]．

我们还发现属于混合型的，数字排列具有特色，既有顺序排列，也有顺序逆序交错，还有全部由奇数组成的：

9876543217（10位），　　100000000123456789（18位），　　8987654321987654321987654321（28位），

19876543219876543219876543219876543219876543（44位），　98765432100001（14位），

98765432198765432111111111111（29位），　98765432100000000000000000000000000001（38位），

12345676421123456764211234567（29位），　212345678987654321（18位），

123456789876543211234567898765432112345678987654329（51位），　21234567898765432112345678987654321123456789（44位），

81357913579（11位），1357913579135791357913（22位），　7135791357913579135791357913579135791357913579（46位），

1357913579135791357913579135791357913579135791111117（52位），

913579135791357913579135791357913579135791379137913791379（57位），

718940614198911197（18位），　23809523809523809523809523809523809（35位），

1371894061419891119731（22位），

11001100110017（14位），1101101101101101（16位），　1100110011001100110019（22位），

11001100110011001100110017（26位），　1101101101101101101101101101101109（34位），

1100110011001100110011001100110011001（37位），　1101101101101101101101101101101101101103（40位），

1100110011001100110011001100110011001100110019（46位），

110011001100110011001100110011001100110011001100110017　（54位）．

（1）位数相同的素数中最小的：

100000000003（12位），1000000000000000003（19位），1000000000000000000000000000000000000003　（40位）；

（2）位数相同的素数中最大的：

99999999999999997（17位），999999999999999999999999999999991（33位），

999999999999999999999999999999999999999999991（45位）；

（3）全由奇数构成的素数：

111111111111111111111113（24位），11111111111111111111111311111（29位），1111111111111111111111131111179（31位），

1111111111111111111111135777777777777（37位），111111111111111111131111111111111111111（39位），

111111111111111111111113577777777777791111111117（48位，5个不同的奇数），

1111111111111111111111131111179711111311111111111111111111111（61位）．

生日数码福缘素数

一名1993年10月29日出生的学生，他的生日数码19931029就是一个素数；一名2004年3月1日出生的小朋友，他的生日数码20040301也是素数；而一位1983年11月17日出生的老师，她的生日数码19831117＝19×1043743，不是素数．有意思的是在她的生日数码前面或后面添上3，就都是素数了：319831117与198311173．

每个人都有生日数码，存在一个甚至数个含有自己生日数码的素数．素数的存在犹如星空繁星璀璨，如果将星星进行编码，能够找到同自己生日数码相对应的素数，无疑也是一件乐事．

有意义的纪念素数

2011年是辛亥革命百年纪念，从1911年10月10日到2011年10月10日，有纪念素数如下：

191110101002011101019999，100191110109901011102001，19111010100201110101111111111111，

1001911101020111010100191919191919．

2011年也是中国共产党建党九十周年，从1921年7月1日到2011年7月1日，有纪念素数如下：

192107018820110701，1921070190201107017，907119217120117190719，901921070120110701719，192107012011070190719，

1921070190201107019071，719071901921070120110701907171，19210701902011070190719099999999999，

19210701123456789987654321120110701，907119217190201171909999999，9031921719020117190719071909，

90719071192171902011719071907171999，1921070112345678909876543211201107019999，

717190711907192171201171909171102171291170917091717．

从1921年建党，到1949年新中国成立，到1978年改革开放至今，中国共产党经历了不平凡的历程，数码组成一组纪念素数：

19210701194907011978070120110701，7119210701194907019019780701201107019071，

907119210701194907019019780701201107019071，90711921070119490701907119780701201107019071．

同毛主席结缘的素数：毛主席生于1893年12月26日，1976年9月9日逝世，生卒日子数码就是素数1893122619760909．

9、8341、300是同毛主席结缘的数字，它们同生卒日子数码组成素数：189312261976090983413，1893122619760909834177，30083419999999999999991，以及9090909090909090918931226197609092830083419999999999999991（58位），其中素数909090909090909091是素数中的“佼佼者”．

资料：结构“清纯”的素数

【注释】

[1]王树禾．数学聊斋．第二版．北京：科学出版社，2008

[2]吴鹤龄．幻方与素数——娱乐数学两大经典名题．北京：科学出版社，2008