循环数的序号与循环数等式队列

2．循环数的序号与循环数等式队列

前人已经证明，如果素数p的循环节长度是m，那么m是p-1的因数．如果素数p的循环节长度不是p-1，而是p-1的因数，那么p乘以1、2、3、…、p-1，就不再是p的循环节组成的数字的循环．

素数13的倒数化为小数：＝0．076923076923076923…＝376920.0，076923是素数13的循环节，其长度是6，它是12的因数．

将76923依次乘以1、2、3、…、12（建议在Excel工作表上进行计算），得到：

在这12个数中，6个数是数字076923的有序循环，另外6个数是数字153846的有序循环．

一般地，如果一个素数p的循环节是a，那么数列a、2a、3a、…、（p-1）a就是p、2p、3p、…、（p-1）p的循环节，也称作循环数．首项是a，公差也是a，通项公式是a_n＝na（n＝1，2，3，…，p-1）．

（1）圆阵

我们不妨将循环数在数列中的第几项的位次1、2、3、…、p-1称作“序号”．

如果我们将上表的1、2、3、…、12称作所对应的各数的序号，以同一个循环数为一组，分组列表，并且求各组的序号之和以及各数之和：

有趣的是：两组的各序号之和都是39，各循环数之和都是2999997．

我们把12个序号和它们相对应的12个排成车轮圆阵（如图4-3）．如同时钟，按大小对应钟点（序号）．

图4-3

细心观察圆阵，又会有奇妙的发现．如果“钟点”（即序号）之和（小于13）相等，与之对应的各数之和也相等，而且等于序号之和所对应的那个数；“钟点”（即序号）之和等于13，与之对应的各数之和等于999999；连线平行的两钟点之和相等，与之对应的两数之和也相等．

对于素数p，如果自然数i、j满足，就有，那么内圈的i、j同外圈的数量关系就清楚了．

由13的循环节076923以及13×9＝117，可以得到等式队列：

76923×13＝999999

76923×13×2＝1999998

76923×13×3＝2999997

76923×13×4＝3999996

76923×13×5＝4999995

76923×13×6＝5999994

76923×13×7＝6999993

76923×13×8＝7999992

76923×13×9＝8999991

76923×117×2＝17999982

76923×117×3＝26999973

76923×117×4＝35999964

76923×117×5＝44999955

76923×117×6＝53999946

76923×117×7＝62999937

76923×117×8＝71999928

76923×117×9＝80999919

提示：车轮圆阵的奥妙，请读者进行验算．

值得注意的是，13同素数7、17、19的循环节长度是p-1（依次是6、16、18）不同，素数13循环节的长度是6，6是12的因数．所以，不能用一次有序循环的规律得到12个序号对应的各数，适宜在Excel工作表上进行计算．

当然，分两组分别进行有序循环，而后可以排出如图4-3那样的圆阵．

（2）八卦阵

素数41的循环节是02439，长度是5，是40的因数．在Excel工作表上进行计算，2439依次乘以1、2、3、…、39、40，得到它们的序号和相对应的数如下表：

图4-4

我们注意到：40＝5×8，素数41 的循环节是02439，虽然只有5 位，它同1、2、3、4、…、39、40 的乘积出现八个不同的循环数组．02439 是最小的，将上述八组列成“八卦阵”（如图4-4）．观察对角线方块数字之间的关系，也是有趣的．注意序号和各个循环数的来历，由可以解读“八卦图”．

（3）九宫阵

素数73的倒数循环节是01369863，循环节长度是8，72＝9×8，8与9都是72的因数．01369863依次乘以1、2、3、…、71、72，得到序号和相应的循环数组．分成9个循环数组，每个数组的序号之和为292，而1369863×73＝99999999，292＝73×4，99999999×4＝399999996．所以，每个数组的数据之和都是399999996．

由8个不完全相同数字构成了9个循环数组，依照一定的规则，排成“九宫阵”（如右表）．

每个方块自成循环，序号之和都是292，各方块循环数之和都是39999996；每个方块8个数一一对应分成4组，序号之和为73，相对应的两数之和99999999．

素数79的循环节为0126582278481，长度是13．6×13＝78，126582278481依次乘以1、2、3、…、72，得到下表．

由于循环节长度只有13，在Excel工作表上进行计算很方便．不过您可以留意，计算到13个的时候，就得到6个不同的循环数．

以上的运算都可以在Excel工作表进行．超过16位且不大于32位的可以用电脑程序的附件中的[计算器]进行，如果超过32位，可以用轮换的办法进行计算．

素数67循环节的长度33，看起来计算量很大，但是如果掌握循环数的计算规则，可以很有趣地进行．比如第一个等式队列，找到第2个循环数以后，可以用调位法完成66个数的排位．等式队列右边也是很有规律的，计算一部分，推出其他，每9个一组，每组计算3个左右．至于第二个等式队列，可以根据前述的定理来计算：素数p同它的循环节的积等于999…99（p-1个9）．

素数67的循环节是014925373134328358208955223880597，长度为33．由此可以得到等式队列：

14925373134328358208955223880597×67＝999999999999999999999999999999999

29850746268656716417910447761194×67＝1999999999999999999999999999999998

44776119402985074626865671641791×67＝2999999999999999999999999999999997

59701492537313432835820895522388×67＝3999999999999999999999999999999996

74626865671641791044776119402985×67＝4999999999999999999999999999999995

89552238805970149253731343283582×67＝5999999999999999999999999999999994

104477611940298507462686567164179×67＝6999999999999999999999999999999993

119402985074626865671641791044776×67＝7999999999999999999999999999999992

134328358208955223880597014925373×67＝8999999999999999999999999999999991

149253731343283582089552238805970×67＝99999999999999999999999999999999990

164179104477611940298507462686567×67＝10999999999999999999999999999999989

179104477611940298507462686567164×67＝11999999999999999999999999999999988

194029850746268656716417910447761×67＝12999999999999999999999999999999987

208955223880597014925373134328358×67＝13999999999999999999999999999999986

223880597014925373134328358208955×67＝14999999999999999999999999999999985

238805970149253731343283582089552×67＝15999999999999999999999999999999984

253731343283582089552238805970149×67＝16999999999999999999999999999999983

268656716417910447761194029850746×67＝17999999999999999999999999999999982

1776119402985074626865671641791043×67＝18999999999999999999999999999999981

14925373134328358208955223880597×67＝999999999999999999999999999999999

14925373134328358208955223880597×134＝1999999999999999999999999999999998

14925373134328358208955223880597×201＝2999999999999999999999999999999997

14925373134328358208955223880597×268＝3999999999999999999999999999999996

14925373134328358208955223880597×335＝4999999999999999999999999999999995

14925373134328358208955223880597×402＝5999999999999999999999999999999994

14925373134328358208955223880597×469＝6999999999999999999999999999999993

14925373134328358208955223880597×536＝7999999999999999999999999999999992

14925373134328358208955223880597×603＝8999999999999999999999999999999991

14925373134328358208955223880597×670＝99999999999999999999999999999999990

14925373134328358208955223880597×737＝10999999999999999999999999999999989

14925373134328358208955223880597×804＝11999999999999999999999999999999988

14925373134328358208955223880597×871＝12999999999999999999999999999999987

14925373134328358208955223880597×938＝13999999999999999999999999999999986

14925373134328358208955223880597×1005＝14999999999999999999999999999999985

14925373134328358208955223880597×1072＝15999999999999999999999999999999984

14925373134328358208955223880597×1139＝16999999999999999999999999999999983

14925373134328358208955223880597×1206＝17999999999999999999999999999999982

14925373134328358208955223880597×1273＝18999999999999999999999999999999981

这里只是列出前面19行的两个等式队列．两个等式队列的右边相同，两者合并写出，就可以得到“双肩挑”的等式队列．