对称数和对称数等式队列

1．对称数和对称数等式队列

文字排列的技巧是汉字特有的魅力之一，宋人的一句诗“山外青山楼外楼”，引得杭州西湖出了“楼外楼”，名满天下．福州则有传统小吃名店“味中味”．此外，还有“天外天”、“苦中苦”、“强中强”，都是用了对称句式．虽然对称句不如回文句那么丰富多彩，但是数字排成的对称数却独树一帜，常见的有队列操练的口令“一二一”、“一二一二一”．

如果一个自然数自身的各位数字是对称排列的，称之为对称数，又称自对称数．如121、12121、12222221、12345677654321．

对称数从左向右读与从右向左读是完全一样的．1991年、2002年、2112年都是对称数年份．当然，最简单的对称数是由同一个数字构成的，比如111、7777、99999，这类数特别地被称作纯元数，不再讨论．

对称数构成的等式队列比较多，有趣且有序和谐，在“缺8数”构建的数字大厦中出现过等式队列．素数123456797654321是“缺8”的对称数，与“901”类型的数的乘积还会得到对称数，有等式队列如下：

123456797654321×91＝11234568586543211

123456797654321×9901＝1222345753575432221

123456797654321×999001＝123333464313464333321

123456797654321×99009901＝12223445313531354432221

123456797654321×9091＝1122345747475432211

123456797654321×909091＝112233463636364332211

123456797654321×90909091＝11223345252525254332211

123456797654321×9090909091＝1122334524141414254332211

123456797654321×909090909091＝112233452413030314254332211

很容易在Excel工作表中进行计算实验，得到等式队列：

56×11＝616

556×11＝6116

5556×11＝61116

55556×11＝611116

555556×11＝6111116

5555556×11＝61111116

55555556×11＝611111116

555555556×11＝6111111116

5555555556×11＝61111111116

55555555556×11＝611111111116

555555555556×11＝6111111111116

5555555555556×11＝61111111111116

55555555555556×11＝611111111111116

78×11＝858

778×11＝8558

7778×11＝85558

77778×11＝855558

777778×11＝8555558

7777778×11＝85555558

77777778×11＝855555558

777777778×11＝8555555558

7777777778×11＝85555555558

77777777778×11＝855555555558

777777777778×11＝8555555555558

7777777777778×11＝85555555555558

77777777777778×11＝855555555555558

这里用的是55…6、77…8，可以选择其他数进行实验．

有的对称数的平方仍然是对称数，得到对称数等式队列：

101×101＝10201

10101×10101＝102030201

1010101×1010101＝1020304030201

101010101×101010101＝10203040504030201

10101010101×10101010101＝102030405060504030201

1010101010101×1010101010101＝1020304050607060504030201

101010101010101×101010101010101＝10203040506070807060504030201

10101010101010101×10101010101010101＝102030405060708090807060504030201

对称数“双肩挑”的等式队列：

5929×169＝1002001＝77077×13

5934929×169＝1003003001＝77154077×13

5940863929×169＝1004006004001＝77231231077×13

5946804792929×169＝1005010010005001＝77308462308077×13

也有对称数的算术根等于对称数，实际是111…11平方的逆运算，也得到纯元数等式队列：

规则的与不规则的自然数的乘积，也会得到对称数：

7×143＝1001

3×333667＝1001001

101101×9901＝1001001001

344441×2906161＝1001001001001

3000000003×333667＝1001001001001001

2147777563×466063627＝1001001001001001001

10011011011001×99990001＝1001001001001001001001

2273273271×440334654777631＝1001001001001001001001001