虫口问题不简单

虫口问题不简单

人口问题是当今世界的一大难题，地球上人满为患，难以忍受。类似的问题还很多，如虫口问题，隔些年突然来一次蝗虫泛滥，人类深受其害。人们很想知道:生物群体的数量变化究竟有什么规律可循?

生命具有多样性，种类繁杂而又扑朔迷离。千万个物种共同生活在地球这个巨大的容器中，他们通过相互作用而构成生态系统，以维持生命，共同演化。生态学家为了研究某种生物群体的数量变化，需要做大量的观测、统计，年年如此，以寻找规律。他们积累了大量的数据资料，但往往记录下的是起起落落的数字或峰谷无律的曲线图，如图1－1那样的图不计其数，但难得要领。只是发现当食物充足时，种群数量增多，繁殖多了却导致食物缺乏，种群数量又下降了。不同的生物种群在生存竞争中相互残杀，此长彼消。还有流行病的传播，意外的灾祸，也影响种群数量的巨变。等等因素都促使人们意识到，单靠一般的观察、无穷的数据不能领悟到生态系统的深奥规律了。于是，生态学求助于数理科学。

图1－1　生物种群数量的变化

物理学在自然科学中一直是处于领先地位，它具有丰富的科学思想和概念，具有先进的研究方法和实验仪器，还形成了一套完整有效的研究路线，那就是:

(1)研究对象看作是一个动力学体系，确定描述该体系状态的合适物理量，引入概念;

(2)立体系演化过程的物理－数学模型，先忽略次要因素，将状态量随时间演化与主要因素之间的关系，通过数学方程表述出来;

(3)解方程和数值计算，并将理论计算结果与实际观测结果进行对比、分析，根据综合情况和次要因素，修正并完善模型;

(4)最后的研究结果进行物理讨论和哲学思辩，以求认识上的深化。

研究种群数量的演变，完全可以沿着上述路线进行。为了叙述上的方便，我们以某种无世代交迭的昆虫为例，就是每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵又孵化出一只虫子。用x_n和x_n+1表示第n代和第n+ 1代的昆虫数。由于食物有限和其他种群的捕杀等因素，昆虫(实际上任何物种)是不可能无限增长的，在一定的生存环境中都有一个所能允许的极限值(或称饱和值)x_m。昆虫数量本来是以只数或头数来计数的，当然都是些很大的正整数;如果我们用饱和值x_m为单位计数的话，则x_n的最大取值为1，代表昆虫达到饱和;最小为0，代表此物种灭绝。一般情况只能是小数了，如果取值是0．5，代表昆虫数只有饱和值的一半。

影响虫口数的因素很多，不过就连续的上下两代间的关系来说，上代数量大的下代数量一般比较大，所以最容易想到的也是最简单的关系，就是正比关系:

其中μ是比例系数，一般叫参数，它的大小由种群的类别以及生存环境等因素决定。如果用xn和xn+ 1分别作为直角坐标系的横轴和纵轴，上式可以用一条直线来表示，参数μ为其斜率。凡是能表示成直线关系的等式，叫做线性方程，此(1．1)式是个线性方程。如果知道初始年度即第零代的虫口数X₀，则按照(1．1)式容易求得任意年份即第n代的虫口数:

由此看出，只要μ＞1，虫口就会按照指数规律增加，用不了多少年，整个地球就会虫满为患，以至无穷。否则，如果μ＜1，虫口数按照指数规律减少，当n→∞时，x_n→0，该种昆虫最后灭绝。不是无穷就是灭绝的这两种结局，没有反映出昆虫数量变化的真实情况，所以(1.2)式需要修改。在右端减掉一项，可以使增长率下降。尝试一种最简单的修改，将(1．1)式改为:

经过这一修改，发现(1．3)式能很好地描述虫口数量的变化，而且对细菌等多种物种都适用，具有普遍性。由于第二项μx²_n的出现，该方程中x_n和x_n+1的关系不能再用直线表示了，故这一项称做非线性项。这种不能用直线表示的等式叫做非线性方程。修正后的虫口方程(1．3)，是一个非线性差分方程，通常称为逻辑斯蒂(Logistic)方程，但它与逻辑(logic)并无直接关系。逻辑意为思维推理的规律，而逻辑斯蒂意为熟练的计算术，二者并不相同。看来要认真对待逻辑斯蒂方程^[1]，非具备必要的计算功底不可。事实证明，虫口问题确实不简单。